高考数学一轮复习-第八章-立体几何-第5讲-直线、平面垂直的判定与性质配套.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,5,讲 直线、平面垂直的判定与性质,考纲要求,考点分布,考情风向标,1.,理解以下判定定理,.,如果一条直线与一个平面内,的两条相交直线都垂直，那么,该直线与此平面垂直,.,如果一个平面经过另一个平,面的垂线，那么这两个平面互,相垂直,.,2.,理解以下性质定理，并能够,证明,.,垂直于同一个平面的两条直,线平行,.,如果两个平面垂直，那么一,个平面内垂直于它们交线的直,线与另一个平面垂直,.,3.,能运用公理、定理和已获得,的结论证明一些空间图形的位,置关系的简单命题,2011,年新课标第,18,题,(1),以四棱锥为背,景，证明线线垂直；,2012,年新课标第,19,题,(1),以三棱柱为背,景，证明面面垂直；,2013,年大纲第,11,题考查线面所成的角；,2013,年新课标,第,18,题考查直线与平面,的位置关系；,2013,年新课标,第,19,题,(1),以三棱柱为背,景，证明线线垂直；,2014,年新课标,第,19,题,(1),以三棱柱为背,景，证明线线垂直；,(2),考查线面位置判定,定理、性质定理,及求三棱柱的高；,2015,年新课标,第,18,题,(1),以四棱锥为背,景，证明面面垂直；,2016,年江苏第,16,题、天津第,17,题考查,平行与垂直的证明；,2017,年新课标,第,18,题考查面面垂直及,侧面积的计算,1.,垂直是立体几何的必考,题目，且几乎每年都有一,个解答题出现，所以是高,考的热点，是复习的重点,.,纵观历年来的高考题，立,体几何中没有难度过大的,题，所以复习要抓好三基：,基础知识，基本方法，基,本能力,.,2.,要重视和研究数学思想、,数学方法,.,在本节中“化,归”思想尤为重要，不,论,何种,“,垂直,”,都要化归到,“,线线垂直,”,，观察与分,析几何体中线与线的关系,是解题的突破口,项目,图形,条件,结论,判定,a,b,，,b,(,b,为,内的任意直线,),a,a,m,，,a,n,，,m,，,n,，,m,n,O,a,a,b,，,a,b,1.,直线与平面垂直,项目,图形,条件,结论,性质,a,，,b,a,b,a,，,b,a,b,(,续表,),2.,平面与平面垂直,3.,直线与平面所成的角,(1),如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所,成的角等于,0.,(2),如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于,90.,(3),平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条,斜线与平面所成的角，其范围是,(0,，,90).,斜线与平面所成的,线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小,的角,.,4.,二面角,从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角,.,从,二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内,分别作垂直于棱的,两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,.,平面角是,直角的二面角叫做直二面角,.,1.,垂直于同一条直线的两条直线一定,(,),D,A.,平行,C.,异面,B.,相交,D.,以上都有可,能,2.(2017,年新课标,),在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为棱,),C,CD,的中点，则,(,A.,A,1,E,DC,1,C.,A,1,E,BC,1,B.,A,1,E,BD,D.,A,1,E,AC,3.,如图,8-5-1,，在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，下列结论中正,确的个数是,(,),D,图,8-5-1,BD,1,AC,；,BD,1,A,1,C,1,；,BD,1,B,1,C,.,A.0,个,B.1,个,C.2,个,D.3,个,4.(2013,年新课标,),已知,m,，,n,为异面直线，,m,平面,，,n,平面,.,直线,l,满足,l,m,，,l,n,，,l ,，,l ,，则,(,),D,A.,，且,l,B.,，且,l,C.,与,相交，且交线垂直于,l,D.,与,相交，且交线平行于,l,解析：,根据所给的已知条件作图，如图,D58.,由图可知,与,相交，且交线平行于,l,.,故选,D.,图,D58,考点,1,直线与平面垂直的判定与性质,例,1,：,(20,14,年山东,),如图,8-5-2,，在,四棱锥,P,-,ABCD,中，,AP,PC,的中点,.,求证：,(1),AP,平面,BEF,；,(2),BE,平面,PAC,.,图,8-5-2,证明：,(1),如图,D59,，,图,D59,设,AC,BE,O,，连接,OF,，,EC,.,由于,E,为,AD,的中点，,AE,BC,.,四边形,ABCE,为平行四边形,.,又,AE,AB,，则,ABCE,为菱形,.,O,为,AC,的中点,.,又,F,是,PC,的中点，,在,PAC,中，,PA,OF,.,OF,平面,BEF,，且,PA,平面,BEF,，,AP,平面,BEF,.,(2),由题意知，,ED,BC,，,ED,BC,，,四边形,BCDE,为平行四边形,.,因此,BE,CD,.,又,AP,平面,PCD,，,AP,CD,.,因此,AP,BE,.,四边形,ABCE,为菱形，,BE,AC,.,又,AP,AC,A,，,AP,，,AC,平面,PAC,，,BE,平面,PAC,.,【,规律方法,】,直线与直线垂直,直线与平面垂直平面与,平面垂直,直线与平面垂直直,线与直线垂直，通过直线与平,面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题,.,出现中点时，平,行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆,周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角,.,【,互动探究,】,1.,已知直线,PA,垂直于以,AB,为直径的圆所在的平面，,C,为,),圆上异于,A,，,B,的任一点，则下列关系中不正确的是,(,图,8-5-3,A.,PA,BC,C.,AC,PB,B.,BC,平面,PAC,D.,PC,BC,解析：,AB,为直径，,C,为圆上异于,A,，,B,的一点，所以,AC,BC,.,因为,PA,平面,ABC,，所以,PA,BC,.,因为,PA,AC,A,，所,以,BC,平面,PAC,.,从而,PC,BC,.,故选,C.,答案：,C,考点,2,平面与平面垂直的判定与性质,例,2,：,(20,17,年新课标,),如图,8-5-4,，,在四棱锥,P,-,ABCD,中，,AB,CD,，且,BAP,CDP,90.,(1),证明：平面,PAB,平面,PAD,；,(2),若,PA,PD,AB,DC,，,APD,90,，且四棱锥,P,-,ABCD,图,8-5-4,(1),证明：,由已知,BAP,CDP,90,，得,AB,AP,，,CD,PD,.,由于,AB,CD,，故,AB,PD,，从而,AB,平面,PAD,.,又,AB,平面,PAB,，所以平面,PAB,平面,PAD,.,(2),解：,如图,D60,，在平面,PAD,内作,PE,AD,，垂足为,E,，,图,D60,【,规律方法,】,垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想,的常见类型,.,证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行,.,证明线面垂直，需转化为证明线线垂直,.,证明线线垂直，需转化为证明线面垂直,.,证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证,明线线垂直,.,【,互动探究,】,2.,如图,8-5-5,，在立体图形,D,-,ABC,中，若,AB,CB,，,AD,CD,，,E,是,AC,的中点，则下列结论正确的是,(,),图,8-5-5,A.,平面,ABC,平面,ABD,B.,平面,ABD,平面,BDC,C.,平面,ABC,平面,BDE,，且平面,ADC,平面,BDE,D.,平面,ABC,平面,ADC,，且平面,ADC,平面,BDE,解析：,要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的,一条直线与另一个平面垂直,.,因为,AB,CB,，且,E,是,AC,的中点，,所以,BE,AC,，同理有,DE,AC,，于是,AC,平面,BDE,.,因为,AC,在平面,ABC,内，所以平面,ABC,平面,BDE,.,又由于,AC,平面,ADC,，所以平面,ADC,平面,BDE,.,故选,C.,答案：,C,考点,3,线面所成的角,例,3,：,(20,16,年天津,),如图,8-5-6,，,四边形,ABCD,是平行四边,形，平面,AED,平面,ABCD,，,EF,AB,，,AB,2,，,BC,EF,1,，,AE,，,DE,3,，,BAD,60,，,G,为,BC,的中点,.,图,8-5-6,(1),求证,FG,平面,BED,；,(2),求证平面,BED,平面,AED,；,(3),求直线,EF,与平面,BED,所成角的正弦值,.,(1),证明：,取,B,D,的中点为,O,，连接,OE,，,OG,.,在,BCD,中，因为,G,是,BC,的中点，,又因为,EF,AB,，,AB,DC,，,所以,EF,OG,，且,EF,OG,，,即四边形,OGFE,是平行四边形,.,所以,FG,OE,.,又,FG,平面,BED,，,OE,平面,BED,，,所以,FG,平面,BED,.,(2),证明：,在,A,BD,中，,AD,1,，,AB,2,，,BAD,60,，由,余弦定理可得,BD,.,进而可得,ADB,90,，即,BD,AD,.,又因为平面,AED,平面,ABCD,，,BD,平面,ABCD,，,平面,AED,平面,ABCD,AD,，,所以,BD,平面,AED,.,又因为,BD,平面,BED,，,所以平面,BED,平面,AED,.,(3),解：,因为,EF,AB,，所以直线,EF,与平面,BED,所成角即,为直线,AB,与平面,BED,所成角,.,过点,A,作,AH,DE,于点,H,，连接,BH,，又因为平面,BED,平面,AED,ED,，由,(2),知,AH,平面,BED,.,所以直线,AB,与平面,BED,所成角即为,ABH,.,【,规律方法,】,(1),证明线面平行，一般利用线面平行判定定,理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往,往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取,BD,的,中点为,O,，可证四边形,OGFE,是平行四边形，从而得出,FG,OE,.,(2),面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直,的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂,直的证明有时需要利用平面几何条件，如本题可由余弦定理解,出,ADB,90,，即,BD,AD,.,(3),求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂,直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点,A,作,AH,DE,于点,H,，则,AH,平面,BED,，从而直线,AB,与平面,BED,所成,角即为,ABH,.,再结合三角形可求得正弦值,.,【,互动探究,】,3.,如图,8-5-7,，在三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，各棱长都相等，侧,棱垂直于底面，点,D,是侧面,BB,1,C,1,C,的中心，则,AD,与平面,BB,1,C,1,C,所成角的大小是,_.,图,8-5-7,解析：,如图,D61,，取,BC,的中点,E,，连接,AE,，,DE,，则,AE,平面,BB,1,C,1,C,.,所以,ADE,为直线,AD,与平面,BB,1,C,1,C,所成的角,.,设三棱柱的所有棱长为,a,，,图,D61,答案：,3,4.(2016,年安徽皖南八校联考,),四棱锥,V,-,ABCD,中，底面,ABCD,是边长为,2,的正方形，其他四个侧面的腰长为,3,的等腰,三角形，则二面角,V,-,AB,-,C,的余弦值的大小为,(,),解析：,如图,D62,，取,AB,中点,E,，过,V,作底面的垂线，垂,足为,O,，连接,OE,.,图,D62,答案：,B,难点突破,立体几何中的探究性问题二,例题：,已知四棱锥,P,-,ABCD,的直观图及三视图如图,8-5-8.,(1),求四棱锥,P,-,ABCD,的体积；,(2),若点,E,是侧棱,PC,的中点，求证,PA,平面,BDE,；,(3),若点,E,是侧棱,PC,上的动点，是否无论点,E,在什么位置，,都有,BD,AE,？并证明你的结论,.,图,8-5-8,思维点拨：,(1),由直观图及,三视图确定棱锥的底面和高，再,求体积,.,(2),欲证,PA,平面,BDE,，需找一条与,PA,平行并在平面,BDE,内的直线，结合,E,为,PC,的中点，,AC,与,BD,的交点为,AC,的中,点，设,AC,的中点为,F,，故取直线,EF,.,(3)“,无论点,E,在,PC,上的什么位置，都有,BD,AE,”,的含,义是,BD,平面,PAC,.,(1),解：,由四棱锥,P,-,ABCD,的直观图和三视图知，该四棱锥,的底面是边长为,1,的正方形，侧棱,PC,底面,ABCD,，且,PC,2,，,(2),证明：,如图,8-5-9,，连接,AC,，交,BD,于点,F,，则,F,为,AC,的中点,.,图,8-5-9,又,E,为,PC,的中点，,PA,EF,.,又,PA,平面,BDE,，,EF,平面,BDE,，,PA,平面,BDE,.,(3),解：,无论点,E,在什么位置，都有,BD,AE,.,证明如下：,四边形,ABCD,是正方形，,BD,AC,.,PC,底面,ABCD,，且,BD,平面,ABCD,，,BD,PC,.,又,AC,PC,C,，,BD,平面,PAC,.,无论点,E,在,PC,上什么位置，都有,AE,平面,PAC,，,无论点,E,在,PC,上什么位置，都有,BD,AE,.,