江苏专用高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算讲义文苏教版.ppt

,3.1,导数的概念及运算,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,导数与导函数的概念,(1),设函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上有定义，,x,0,(,a,，,b,),，若,x,无限趋近于,0,时，,比值,无限趋近于一个常数,A,，则称,f,(,x,),在,x,x,0,处可导，并称该常数,A,为函数,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数,(derivative),，记作,.,(2),如果函数,y,f,(,x,),在开区间,(,a,，,b,),内的每一点处都有导数，其导数值在,(,a,，,b,),内构成一个新函数，这个函数称为函数,y,f,(,x,),在开区间内的导函数,.,记作,f,(,x,),或,y,.,知识梳理,f,(,x,0,),2.,导数的几何意义,函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处的导数的几何意义，就是曲线,y,f,(,x,),在点,P,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线的斜率,k,，即,k,.,3.,基本初等函数的导数公式,基本初等函数,导函数,f,(,x,),C,(,C,为常数,),f,(,x,),_,f,(,x,),x,(,为常数,),f,(,x,),_,f,(,x,),sin,x,f,(,x,),_,f,(,x,0,),0,x,1,cos,x,f,(,x,),cos,x,f,(,x,),_,f,(,x,),e,x,f,(,x,),_,f,(,x,),a,x,(,a,0,，,a,1),f,(,x,),_,f,(,x,),ln,x,f,(,x,),_,f,(,x,),log,a,x,(,a,0,，,a,1),f,(,x,),_,sin,x,e,x,a,x,ln,a,4.,导数的运算法则,若,f,(,x,),，,g,(,x,),存在，则有,(1),f,(,x,),g,(,x,),；,(2),f,(,x,),g,(,x,),；,(3),(,g,(,x,),0).,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),知识拓展,1.,奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数,.,3.,af,(,x,),bg,(,x,),af,(,x,),bg,(,x,).,4.,函数,y,f,(,x,),的导数,f,(,x,),反映了函数,f,(,x,),的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小,|,f,(,x,)|,反映了变化的快慢，,|,f,(,x,)|,越大，曲线在这点处的切线越,“,陡,”,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),f,(,x,0,),是函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,附近的平均变化率,.(,),(2),f,(,x,0,),与,f,(,x,0,),表示的意义相同,.(,),(3),曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点,.(,),(4),与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线,.(,),(5),函数,f,(,x,),sin(,x,),的导数是,f,(,x,),cos,x,.(,),考点自测,1.(,教材改编,),若,f,(,x,),x,e,x,，则,f,(1),.,答案,解析,2e,f,(,x,),e,x,x,e,x,，,f,(1),2e.,1,因为,(,cos,x,),sin,x,，所以,错误；,答案,解析,3.(,教材改编,),曲线,y,5e,x,3,在点,(0,，,2),处的切线方程为,.,答案,解析,5,x,y,2,0,因为,y,|,x,0,5e,0,5,，,所以曲线在点,(0,，,2),处的切线方程为,y,(,2),5(,x,0),，,即,5,x,y,2,0.,4.(,教材改编,),若过曲线,y,上一点,P,的切线的斜率为,4,，则点,P,的坐标,为,.,答案,解析,5.(,教材改编,),函数,f,(,x,),x,3,的斜率等于,1,的切线有,条,.,答案,解析,2,y,3,x,2,，设切点为,(,x,0,，,y,0,),，,题型分类深度剖析,题型一导数的计算,例,1,求下列函数的导数,.,(1),y,x,2,sin,x,；,(2),y,ln,x,；,解答,y,(,x,2,),sin,x,x,2,.(sin,x,),2,x,sin,x,x,2,cos,x,.,解答,(3),y,；,解答,求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量,.,思维升华,跟踪训练,1,(1),f,(,x,),x,(2 016,ln,x,),，若,f,(,x,0,),2 017,，则,x,0,.,答案,解析,f,(,x,),2 016,ln,x,x,2 017,ln,x,，,故由,f,(,x,0,),2 017,，得,2 017,ln,x,0,2 017,，,则,ln,x,0,0,，解得,x,0,1.,1,(2),若函数,f,(,x,),ax,4,bx,2,c,满足,f,(1),2,，则,f,(,1),.,答案,解析,2,f,(,x,),4,ax,3,2,bx,，,f,(,x,),为奇函数且,f,(1),2,，,f,(,1),2.,题型二导数的几何意义,命题点,1,求切线方程,例,2,(1)(2016,南通一调,),在平面直角坐标系,xOy,中，直线,l,与曲线,y,x,2,(,x,0),和,y,x,3,(,x,0),均相切，切点分别为,A,(,x,1,，,y,1,),和,B,(,x,2,，,y,2,),，则,的值为,.,答案,解析,(2),已知函数,f,(,x,),x,ln,x,，若直线,l,过点,(0,，,1),，并且与曲线,y,f,(,x,),相切，则直线,l,的方程为,.,答案,解析,x,y,1,0,点,(0,，,1),不在曲线,f,(,x,),x,ln,x,上，,设切点为,(,x,0,，,y,0,).,解得,x,0,1,，,y,0,0.,切点为,(1,，,0),，,f,(1),1,ln,1,1.,直线,l,的方程为,y,x,1,，即,x,y,1,0.,命题点,2,求参数的值,例,3,(1)(2016,徐州模拟,),函数,y,e,x,的切线方程为,y,mx,，则,m,.,答案,解析,e,设切点坐标为,P,(,x,0,，,y,0,),，由,y,e,x,，,得,，,从而切线方程为,，,又切线过定点,(0,，,0),，从而,，,解得,x,0,1,，则,m,e.,几何画板展示,(2)(2016,苏州暑假测试,),已知函数,f,(,x,),x,1,，若直线,l,：,y,kx,1,与曲线,y,f,(,x,),相切，则实数,k,.,答案,解析,则,f,(,x,0,),k,，即,1,k,，且,kx,0,1,x,0,1,，,1,e,几何画板展示,命题点,3,导数与函数图象的关系,例,4,如图，点,A,(2,，,1),，,B,(3,，,0),，,E,(,x,，,0)(,x,0),，过点,E,作,OB,的垂线,l,.,记,AOB,在直线,l,左侧部分的面积为,S,，则函数,S,f,(,x,),的图象为,右,图中的,.,答案,解析,函数的定义域为,0,，,),，当,x,0,，,2,时，,在单位长度变化量,x,内面积变化量,S,大于,0,且越来越大，,即斜率,f,(,x,),在,0,，,2,内大于,0,且越来越大，,因此，函数,S,f,(,x,),的图象是上升的且图象是下凸的；,当,x,(2,，,3),时，在单位长度变化量,x,内面积变化量,S,大于,0,且越来越小，,即斜率,f,(,x,),在,(2,，,3),内大于,0,且越来越小，,因此，函数,S,f,(,x,),的图象是上升的且图象是上凸的；,当,x,3,，,),时，在单位长度变化量,x,内面积变化量,S,为,0,，,即斜率,f,(,x,),在,3,，,),内为常数,0,，,此时，函数图象为平行于,x,轴的射线,.,导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面,(1),已知切点,A,(,x,0,，,f,(,x,0,),求斜率,k,，即求该点处的导数值：,k,f,(,x,0,).,(2),已知斜率,k,，求切点,A,(,x,1,，,f,(,x,1,),，即解方程,f,(,x,1,),k,.,(3),若求过点,P,(,x,0,，,y,0,),的切线方程，可设切点为,(,x,1,，,y,1,),，由,求解即可,.,(4),函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处,的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢,.,思维升华,答案,解析,3,设切点的横坐标为,x,0,，,解得,x,0,3,或,x,0,2(,舍去，不符合题意,),，,即切点的横坐标为,3.,答案,解析,1,典例,若存在过点,O,(0,，,0),的直线,l,与曲线,y,x,3,3,x,2,2,x,和,y,x,2,a,都相切，求,a,的值,.,求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况,.,错解展示,求曲线的切线方程,现场,纠错系列,3,现场纠错,纠错心得,几何画板展示,返回,解,易知点,O,(0,，,0),在曲线,y,x,3,3,x,2,2,x,上,.,(1),当,O,(0,，,0),是切点时，,由,y,3,x,2,6,x,2,，得,y,|,x,0,2,，,即直线,l,的斜率为,2,，故直线,l,的方程为,y,2,x,.,依题意,4,4,a,0,，得,a,1.,返回,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.(2016,天津,),已知函数,f,(,x,),(2,x,1)e,x,，,f,(,x,),为,f,(,x,),的导函数，则,f,(0),的值为,.,答案,解析,3,因为,f,(,x,),(2,x,1)e,x,，,所以,f,(,x,),2e,x,(2,x,1)e,x,(2,x,3)e,x,，,所以,f,(0),3e,0,3.,2.,已知曲线,y,ln,x,的切线过原点，则此切线的斜率为,.,答案,解析,因为切线过点,(0,，,0),，所以,ln,x,0,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.,若直线,y,x,是曲线,y,x,3,3,x,2,px,的切线，则实数,p,的值为,.,答案,解析,y,3,x,2,6,x,p,，设切点为,P,(,x,0,，,y,0,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.,若,f,(,x,),2,xf,(1),x,2,，则,f,(0),.,答案,解析,4,f,(,x,),2,f,(1),2,x,，,令,x,1,，则,f,(1),2,f,(1),2,，得,f,(1),2,，,所以,f,(0),2,f,(1),0,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016,江苏扬州中学期中,),若,x,轴是曲线,f,(,x,),ln,x,kx,3,的一条切线，则,k,.,答案,解析,e,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设点,M,(,x,0,，,y,0,),是曲线,f,(,x,),上的一点，,则曲线,f,(,x,),ln,x,kx,3,在点,M,处的切线方程为,x,轴是曲线,f,(,x,),ln,x,kx,3,的一条切线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由题意可知,f,(,x,),，,g,(,x,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.,已知函数,f,(,x,),满足,f,(,x,),f,(1)e,x,1,f,(0),x,x,2,，那么,f,(,x,),的解析式为,.,答案,解析,由已知得,f,(,x,),f,(1)e,x,1,f,(0),x,，,所以,f,(1),f,(1),f,(0),1,，即,f,(0),1.,又,f,(0),f,(1)e,1,，所以,f,(1),e.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016,南京模拟,),曲线,y,log,2,x,在点,(1,，,0),处的切线与坐标轴所围成三角形,的面积等于,.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.,若函数,f,(,x,),x,2,ax,ln,x,存在垂直于,y,轴的切线，则实数,a,的取值范围,是,.,答案,解析,2,，,),f,(,x,),存在垂直于,y,轴的切线，,f,(,x,),存在零点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.(2016,扬州中学期末,),已知点,P,在曲线,y,上，,为曲线在点,P,处的,切线的倾斜角，则,的取值范围是,.,答案,解析,1,tan,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,(1),求曲线在点,P,(2,，,4),处的切线方程；,在点,P,(2,，,4),处的切线的斜率为,y,|,x,2,4.,曲线在点,P,(2,4),处的切线方程为,y,4,4(,x,2),，,即,4,x,y,4,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),求曲线过点,P,(2,，,4),的切线方程,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(,x,0,1)(,x,0,2),2,0,，,解得,x,0,1,或,x,0,2,，,故所求的切线方程为,x,y,2,0,或,4,x,y,4,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.,设函数,f,(,x,),ax,，曲线,y,f,(,x,),在点,(2,，,f,(2),处的切线方程为,7,x,4,y,12,0.,(1),求,f,(,x,),的解析式；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),证明：曲线,y,f,(,x,),上任一点处的切线与直线,x,0,和直线,y,x,所围成的三角形的面积为定值，并求此定值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设,P,(,x,0,，,y,0,),为曲线上任一点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,令,y,x,，得,y,x,2,x,0,，,从而得切线与直线,y,x,的交点坐标为,(2,x,0,，,2,x,0,).,故曲线,y,f,(,x,),上任一点处的切线与直线,x,0,，,y,x,所围成的三角形的面积为定值且此定值为,6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,