江苏专用高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.1几何证明选讲第二课时圆的进一步认识讲义理苏教版.ppt

,14.1,几何证明选讲,第,2,课时,圆的进一步认识,基础知识,自主学习,课时作业,题型分,类,深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.,圆周角与圆心角定理,(1),圆心角定理：圆心角的度数,等于,.,(2),圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数,的,.,推论,1,：同弧,(,或等弧,),所对的,圆周角,.,同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等,.,推论,2,：半圆,(,或直径,),所对的圆周角,等于,.,反之，,90,的圆周角所对的弧为半圆,(,或弦为直径,).,知识梳理,其所对弧的度数,一半,相等,90,2.,圆的切线的性质及判定定理,(1),判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆,的,.,(2),性质定理：圆的切线垂直于经过切点,的,.,推论,1,：经过圆心且与切线垂直的直线必经,过,.,推论,2,：经过切点且与切线垂直的直线必经,过,.,3.,切线长定理,从圆外一点引圆的两条切线，,切线长,.,4.,弦切角定理,弦切角的度数等于其所夹弧,的,.,切线,半径,切点,圆心,相等,度数的一半,5.,与圆有关的比例线段,定理,名称,基本图形,条件,结论,应用,相交弦定理,弦,AB,，,CD,相交于圆内点,P,(1),PA,PB,；,(2),ACP,_,(1),在,PA,，,PB,，,PC,，,PD,四,线段中知三求一；,(2),求弦长及角,割线,定理,PAB,，,PCD,是,O,的割线,(1),PA,PB,；,(2),PAC,_,(1),求线段,PA,，,PB,，,PC,，,PD,；,(2),应用相似求,AC,，,BD,PC,PD,BDP,PC,PD,PDB,切割,线,定理,PA,切,O,于,A,，,PBC,是,O,的割线,(1),PA,2,；,(2),PAB,_,(1),已知,PA,，,PB,，,PC,知二可求一；,(2),求解,AB,，,AC,切线,长,定理,PA,，,PB,是,O,的切线,(1),PA,；,(2),OPA,_,(1),证明线段相等，已知,PA,求,PB,；,(2),求角,PB,PC,PCA,PB,OPB,6.,圆内接四边形的性质与判定定理,(1),性质定理：圆内接四边形的,对角,.,(2),判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆,.,互补,考点自测,1.(2016,南通二模,),如图，从圆,O,外一点,P,引圆的切线,PC,及割线,PAB,，,C,为切点,.,求证：,AP,BC,AC,CP,.,证明,因为,PC,为圆,O,的切线，所以,PCA,PBC,，,又,CPA,BPC,，故,CAP,BCP,，,2.(2015,重庆,),如图，圆,O,的弦,AB,，,CD,相交于点,E,，过点,A,作圆,O,的切线与,DC,的延长线交于点,P,，若,PA,6,，,AE,9,，,PC,3,，,CE,ED,2,1,，求,BE,的长,.,首先由切割线定理得,PA,2,PC,PD,，,CD,PD,PC,9,，又,CE,ED,2,1,，,因此,CE,6,，,ED,3,，,解答,3.(,2017,扬州质检,),如图，,ABC,中，,BC,6,，以,BC,为直径的半圆分别交,AB,，,AC,于点,E,，,F,，若,AC,2,AE,，求,EF,的长,.,A,A,，,AEF,ACB,，,解答,4.,如图，在,ABC,中，,ACB,90,，,A,60,，,AB,20,，过,C,作,ABC,的外接圆的切线,CD,，,BD,CD,，,BD,与外接圆交于点,E,，求,DE,的长,.,解答,在,Rt,ACB,中，,ACB,90,，,A,60,，,ABC,30.,AB,20,，,CD,为切线，,BCD,A,60.,由切割线定理得,DC,2,DE,DB,，,DE,5.,题型分类深度剖析,题型一圆周角、弦切角和圆的切线问题,例,1,(2016,全国乙卷,),如图，,OAB,是等腰三角形，,AOB,120.,以,O,为圆心,，,OA,为半径作圆,.,(1),证明：直线,AB,与,O,相切；,证明,设,E,是,AB,的中点，,连结,OE,.,因为,OA,OB,，,AOB,120,，,所以,OE,AB,，,AOE,60,，,在,Rt,AOE,中，,OE,AO,，即,O,到直线,AB,的距离等于,O,的半径,，,所以,直线,AB,与,O,相切,.,(2),点,C,，,D,在,O,上，且,A,，,B,，,C,，,D,四点共圆，证明：,AB,CD,.,证明,因为,OA,2,OD,，,所以,O,不是,A,，,B,，,C,，,D,四点所在圆的圆心,.,设,O,是,A,，,B,，,C,，,D,四点所在圆的圆心，作直线,OO,.,由已知得,O,在线段,AB,的垂直平分线上，,又,O,在线段,AB,的垂直平分线上，所以,OO,AB,.,同理可证，,OO,CD,，所以,AB,CD,.,(1),圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小,.,(2),涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径,(,或半径,),或向弦,(,弧,),两端作圆周角或弦切角,.,思维,升华,跟踪训练,1,(1)(2016,无锡模拟,),如图所示，,O,的两条切线,PA,和,PB,相交于点,P,，与,O,相切于,A,，,B,两点，,C,是,O,上的一点，若,P,70,，求,ACB,的大小,.,解答,如,图所示，连结,OA,，,OB,，则,OA,PA,，,OB,PB,.,(2),如图，圆,O,的半径为,1,，,A,、,B,、,C,是圆周上的三点,，,且,满足,ABC,30,，过点,A,作圆,O,的切线与,OC,的,延长线,交于点,P,，求,PA,的长,.,解答,如图，连结,OA,，由圆周角定理知,AOC,60,，,题型二四点共圆问题,例,2,如图所示，已知,AP,是,O,的切线，,P,为切点，,AC,是,O,的割线，与,O,交于,B,、,C,两点，圆心,O,在,PAC,的内部，点,M,是,BC,的中点,.,证明,(1),证明：,A,，,P,，,O,，,M,四点共圆；,如图，连结,OP,，,OM,，因为,AP,与,O,相切于点,P,，,所以,OP,AP,，,因为,M,是,O,的弦,BC,的中点，,所以,OM,BC,，,于是,OPA,OMA,180.,由圆心,O,在,PAC,的内部，可知四边形,APOM,的对角互补,，,所以,A,，,P,，,O,，,M,四点共圆,.,(2),求,OAM,APM,的大小,.,由,(1),得，,A,，,P,，,O,，,M,四点共圆，,所以,OAM,OPM,，,由,(1),得,OP,AP,，因为圆心,O,在,PAC,的内部，,可知,OPM,APM,90,，,所以,OAM,APM,90.,解答,(1),如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆,.,(2),如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆,.,(3),如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆,.,思维,升华,证明,跟踪训练,2,如,图所示，四边形,ABCD,是,O,的内接四边形，,AB,的延长线与,DC,的延长线交于点,E,，且,CB,CE,.,(1),证明：,D,E,；,由题设知，,A,，,B,，,C,，,D,四点共圆，,所以,D,CBE,，由已知得,CBE,E,，,故,D,E,.,证明,(2),设,AD,不是,O,的直径，,AD,的中点为,M,，且,MB,MC,，证明：,ADE,为等边三角形,.,如图，设,BC,的中点为,N,，连结,MN,，,则由,MB,MC,知,MN,BC,，,故点,O,在直线,MN,上,.,又,AD,不是,O,的直径，,M,为,AD,的中点,，,故,OM,AD,，即,MN,AD,.,所以,AD,BC,，故,A,CBE,.,又,CBE,E,，故,A,E,，,由,(1),知，,D,E,，所以,ADE,为等边三角形,.,题型三与圆有关的比例线段,例,3,(2015,陕西,),如图，,AB,切,O,于点,B,，直线,AO,交,O,于,D,，,E,两点，,BC,DE,，垂足为,C,.,(1),证明：,CBD,DBA,；,因为,DE,为,O,的直径，,则,BED,EDB,90,，,又,BC,DE,，所以,CBD,EDB,90,，,从而,CBD,BED,，,又,AB,切,O,于点,B,，得,DBA,BED,，,所以,CBD,DBA,.,证明,(2),若,AD,3,DC,，,BC,，,求,O,的直径,.,解答,由,(1),知,BD,平分,CBA,，,故,DE,AE,AD,3,，即,O,的直径为,3.,(1),应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等,.,(2),相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明,.,解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用,.,思维,升华,跟踪训练,3,(1),如图，已知圆中两条弦,AB,与,CD,相交于点,F,，,E,是,AB,延长线上一点，且,DF,CF,，,AF,FB,BE,4,2,1,，若,CE,与圆相切，求线段,CE,的长,.,解答,由相交弦定理得,AF,FB,DF,CF,，由于,AF,2,FB,，可解得,FB,1,，,(2)(2014,湖北,),如图，,P,为,O,外一点，过,P,点作,O,的两条切线，切点分别为,A,，,B,.,过,PA,的中点,Q,作割线交,O,于,C,，,D,两点,.,若,QC,1,，,CD,3,，求,PB,的长,.,解答,由切割线定理得,QA,2,QC,QD,4,，解得,QA,2.,由切线长定理得,PB,PA,2,QA,4.,课时作业,1.(2015,江苏,),如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,ABC,的外接圆,O,的弦,AE,交,BC,于点,D,.,证明,求证：,ABD,AEB,.,因为,AB,AC,，,所以,ABD,C,.,又因为,C,E,，所以,ABD,E,，,又,BAE,为公共角，可知,ABD,AEB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.(,2017,苏北四校联考,),如图，,AB,是圆,O,的直径，,C,，,D,是圆,O,上位于,AB,异侧的两点,.,证明：,OCB,D,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,因为,B,，,C,是圆,O,上的两点，,所以,OB,OC,.,故,OCB,B,.,又因为,C,，,D,是圆,O,上位于,AB,异侧的两点，,故,B,，,D,为同弧所对的两个圆周角，,所以,B,D,.,因此,OCB,D,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2015,湖南,),如图，在,O,中，相交于点,E,的两弦,AB,，,CD,的中点分别是,M,，,N,，直线,MO,与直线,CD,相交于点,F,，证明：,MEN,NOM,180.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图所示，因为,M,，,N,分别是弦,AB,，,CD,的中点，,所以,OM,AB,，,ON,CD,，,即,OME,90,，,ENO,90,，,因此,OME,ENO,180,，,又四边形的内角和等于,360,，,故,MEN,NOM,180.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.,如图，,AB,是圆,O,的直径，直线,CE,与圆,O,相切于点,C,，,AD,CE,于点,D,，若圆,O,的面积为,4,，,ABC,30,，求,AD,的长,.,解答,由题意可知圆,O,的半径为,2,，在,Rt,ABC,中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.(2016,苏锡常镇四市联考,),如图，已知,CB,是,O,的一条弦，,A,是,O,上异于,B,，,C,的任意一点，过点,A,作,O,的切线交直线,CB,于点,P,，,D,为,O,上一点，且,ABD,ABP,.,求证：,AB,2,BP,BD,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,AP,与,O,相切于点,A,，,AB,为,O,的弦，,ADB,PAB,，,又在,DBA,和,ABP,中，,DBA,ABP,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6,.(,2016,南京、盐城联考,),如图，过,O,外一点,P,作,O,的切线,PA,，切点为,A,，连结,OP,与,O,交于点,C,，过,C,作,AP,的垂线，垂足为,D,，若,PA,12 cm,，,PC,6 cm,，求,CD,的长,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设,O,的半径为,r,，,由,切割线定理得,AP,2,PC,(,PC,2,r,),，,即,12,2,6,(6,2,r,),，解,得,r,9,.,连结,OA,，则有,OA,AP,.,又,CD,AP,，所以,OA,CD,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.(2016,苏州模拟,),如图，已知,AB,是,O,的直径，,CD,是,O,的弦，分别延长,AB,，,CD,相交于点,M,，点,N,在,O,上，,AN,AC,.,证明：,MDN,2,ACO,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图，连结,ON,，因为,AN,AC,，,ON,OC,，,OA,是公共边，,所以,ANO,ACO,，故,OAC,OAN,.,又,OAC,ACO,，,所以,NAC,OAC,OAN,ACO,OAC,2,ACO,.,因为,A,，,C,，,D,，,N,四点共圆，所以,MDN,NAC,，,所以,MDN,2,ACO,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.(2016,徐州模拟,),如图，,PA,是圆,O,的切线，切点为,A,，,PA,2,，,AC,是圆,O,的直径，,PC,与圆,O,交于点,B,，,PB,1,，求圆,O,的半径,R,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,由切割线定理可得,PA,2,PB,PC,，,所以,BC,PC,PB,3,，,因为,AC,是圆,O,的直径，所以,ABC,90,，,所以,AB,2,BC,BP,3,，,所以,AC,2,BC,2,AB,2,9,3,12,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.,如图，,ABC,为圆的内接三角形，,BD,为圆的弦，且,BD,AC,.,过点,A,作圆的切线与,DB,的延长线交于点,E,，,AD,与,BC,交于点,F,.,若,AB,AC,，,AE,6,，,BD,5,，求线段,CF,的长,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,设,EB,x,，则,ED,x,5,，,由切割线定理知,x,(,x,5),6,2,，,x,4.,AB,AC,，,ABC,ACB,，,又,ACB,ADB,，,EAB,ADB,，,EAB,ABC,，,AE,BC,，又,AC,ED,，,四边形,EBCA,为平行四边形,.,AC,EB,4,，,BC,AE,6,，由,AFC,DFB,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.(2016,全国丙卷,),如图，,O,中的,中,点,为,P,，弦,PC,，,PD,分别交,AB,于,E,，,F,两点,.,解答,(1),若,PFB,2,PCD,，求,PCD,的大小；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,连结,PB,，,BC,，,则,BFD,PBA,BPD,，,PCD,PCB,BCD,.,所以,BFD,PCD,.,又,PFB,BFD,180,，,PFB,2,PCD,，,所以,3,PCD,180,，因此,PCD,60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2),若,EC,的垂直平分线与,FD,的垂直平分线交于点,G,，证明,OG,CD,.,因为,PCD,BFD,，所以,EFD,PCD,180,，,由此知,C,，,D,，,F,，,E,四点共圆，其圆心既在,CE,的垂直平分线上，,又在,DF,的垂直平分线上，,故,G,就是过,C,，,D,，,F,，,E,四点的圆的圆心，,所以,G,在,CD,的垂直平分线上,.,又,O,也在,CD,的垂直平分线上，,因此,OG,CD,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,