第六章-弯曲变形(上).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章,弯曲变形,6.1 概述,工程例子,限制,弯曲变形,桥式起重机的主梁,利用,弯曲变形的例子,车辆上的叠板弹簧,弯曲变形分析目的,刚度问题、振动问题以及静不定梁的内力分析、压杆稳定性问题等,6.1 概述,梁,的挠曲线、挠度和转角,在横力或力偶作用下，,梁,的轴线由直线变为曲线，此弯曲后的轴线称为,梁,的,挠曲线,、,挠曲轴,在,平面(对称)弯曲,的条件下，挠曲线是一条连续、光滑的,平面曲线,6.1 概述,对于细长梁，略去剪力对变形影响,平截面假设成立:变形的横截面与挠曲轴垂直,q,弯曲变形基本未知量,(,w,q,),唯一确定,x-,截面变形后位置,符号规定：图示坐标系中,w:+-；,q,:+-,6.1 概述,NOTATION:,1.,小挠度理论中独立的变量只有一个,w,。,2.,小挠度理论的局限性,钱伟长研究表明：宁波某个大桥无法合拢的原因：小变形设计,6.2梁变形微分方程,6.2梁变形微分方程,挠曲轴表达,纯弯曲(,M),横力弯曲(,M,F,s,):,细长梁,忽略,F,s,对变形贡献,力学模型的近似：,Euler,梁不考虑剪力对变形影响,Timosheko,梁考虑剪力对变形影响,6.2梁变形微分方程,M,和(,d,2,w/dx,2,),的符号,从而,梁挠曲线的近似微分方程,M,0,M 0，I0,若,y,轴向下会如何？,积分法求梁的变形,积分法求,梁,的变形,对等截面直梁，由挠曲线微分方程,得,其中，,C,和,D,为积分常数，由相应的边界条件确定。,这就是二次积分法,Example-1,解 如图建立,坐标系,，设支承的,约束反力,分别为,F,Ax,，,F,Ay,和,F,By,。,A,M,0,l,B,x,x,y,F,Ay,F,By,F,Ax,o,例,图示的等截面简支梁长为,l,，,抗弯刚度为,EI,，,在右端受有集中力偶,M,0,的作用,，,求梁任一截面的转角和挠度。,由整体平衡得,F,Ax,=0，,F,Ay,=F,By,=M,0,/,l,从而，截面的,弯矩,为,M,(,x,)=,xF,Ay,=,xM,0,/,l,Example-1,利用梁的挠曲线微分方程,由边界条件,得,得,A,M,0,l,B,x,x,y,F,Ay,F,By,F,Ax,o,Example-1,于是，梁的挠曲线方程为,转角方程为,最大挠度满足,由此得,代入挠曲线方程，可得最大挠度为,A,M,0,l,B,w,max,x,x,o,y,F,Ay,F,By,F,Ax,A,l,P,B,a,b,C,x,x,y,F,Ay,F,By,F,Ax,例 图示的等截面简支梁长为,l,，,抗弯刚度为,EI,，,受集中力,P,的作用，求梁任一截面的转角和挠度。,Example-2,解 如图建立坐标系，设支承的约束反力分别为,F,Ay,，,F,Ax,和,F,By,，,并且由整体平衡得,F,Ax,=0，,F,Ay,=Pb,/,l,F,By,=Pa,/,l,o,Example-2,同理，对,CB,段,得,Example-2,由边界条件,和连续性条件,得,求解此代数方程，得,A,l,P,B,a,b,C,x,x,y,F,Ay,F,By,F,Ax,Example-2,梁的最大转角,当,x,=0,时，转角为,当,x,=,l,时，转角为,于是，当,a,b,时，最大转角为,Example-2,梁,的最大挠度,梁,的最大挠度发生在,w,=0,处。首先确定,w,=0,的位置当,x,=0,时，转角,A,=,w,A,0,，,而当,x,=,a,时，转角,C,因此，当0,xa,时，必存在,w,=0,的点,x,0,。,令,得,A,l,P,B,a,b,C,x,x,y,F,Ay,F,By,F,Ax,Example-2,因此，可用梁的中点挠度代替梁的最大挠度。梁的中点挠度为,当,a,=,b=l,/2,时，最大挠度发生在,梁,的中点,最大转角为,Example-2,对于简支梁，不论受（,F,q）,作用，只要挠曲轴上无拐点（朝一个方向弯曲）,Notation,优点：积分法通用性强，非线性也适用,缺点：力系分布复杂时，分段点过多，提许多连续性条件，工作量过大,为克服上述缺点，提出奇异函数法，,M(x),用奇异函数法表示，不用再提连续条件。,Example-3,EI=const，,画挠曲轴大致形状,2.分段利用积分法,G,点处，,M=0。G,点为拐点（2阶导数）,AG,段，,M0，,下凹,1.画弯矩图,G,BC:M=+const,M0,下凹,CD:M=0,D,点挠度,w,正负需计算定,积分法求梁的变形-,阶梯函数法,利用挠曲线方程,从而,由边界条件,A,l,P,B,a,b,C,x,x,o,y,F,Ay,F,By,F,Ax,积分法求梁的变形-,阶梯函数法,可得,可见，利用阶梯函数，可以避免连接条件，简化问题的求解,因此，梁的挠度,A,l,P,B,a,b,C,x,x,o,y,F,Ay,F,By,F,Ax,利用阶梯函数,x-a,0,求解梁变形的方法成为,阶梯函数法,积分法求梁的变形-,阶梯函数法,阶梯函数法的变形,奇异函数法,麦考利函数,（,Macauley,函数）的定义,y,x,x-a,麦考利函数,a,麦考利函数的积分性质,麦考利函数与阶梯函数的关系,积分法求梁的变形-,阶梯函数法,内力通用方程,x,y,例 图示的等截面简支外伸梁,，,承受集中力,F,和集中力矩,M,e,的作用，且,M,e,=,Fa,。,设抗弯刚度为,EI,，,求梁截面,A,的转角和挠度。,Example-1,解 如图建立坐标系，设支承的约束反力分别为,F,By,和,F,cy,。,由整体平衡得,F,By,=2F,F,Cy,=-F,A,F,B,a,a,C,M,e,a,x,F,By,F,Cy,Example-1,则梁的内力矩为,A,F,B,a,a,C,M,e,a,x,x,y,F,By,F,Cy,利用挠曲线微分方程,于是，,Example-1,由边界条件,得,由此求得,代入挠度表达式，得截面,A,的挠度,A,F,B,a,a,C,M,e,a,x,x,y,F,By,F,Cy,Example-2,从左向右研究简单，不用求支反力，,但不能直接利用奇异函数法,q,q,例 图示的等截面悬臂梁长为,l,，,抗弯刚度为,EI,，,端部受集中力,P,的作用,，,求梁任一截面的转角和挠度。,Example-3,解 如图建立坐标系，从而，截面的弯矩为,利用挠曲线微分方程,可得,P,Example-3,由边界条件,可得,因此，梁的挠度和转角分别为,最大挠度和转角分别为,P,Example-3,解 如图建立坐标系，由于梁的分布载荷,q,(,x,)=0，,利用挠曲线为微分方程，可得,从而，,利用边界条件,另一解法,P,可求得,从而，梁的挠曲线方程为,截面转角为,P,Example-3,