数学分析-第二章-数列极限.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3 数列极限存在的条件,定义,：,单调递增,单调递减,单调数列,单调减少,单调增加,如,：,10/22/2026,1,定理9（单调有界定理）,1,单调递增,有上界,的数列必有极限，且它的,极限,等于数列的上确界,.,2,单调递减,有下界,的数列必有极限，且它的极限,等于数列的下确界.,10/22/2026,2,几何解释:,注1:,此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，,在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由,递推公式,给出的数列的极限问题）。,定理9（单调有界定理）,在实数系中，,单调,有界,数列必有极限.,注2：,由于数列极限与数列中的有限项无关，因此定理9可以叙述为：,在实数系中，,数列自某项之后,单调有界，则必有极限.,10/22/2026,3,证,：,设,a,n,单调减有下界，从而有下确界。,另一方面，由于,a,是,a,n,的一个下界，故,.,|,|,0,e,e,$,a,a,N,n,N,n,10/22/2026,4,例1,证,10/22/2026,5,例2,证,两边取极限，得,.,0,lim,0,0,),1,(,=,=,=,n,n,n,x,x,a,故,则,当,1,1,1,+,n,n,x,x,a,n,时，,当,只要n充分大,10/22/2026,8,10/22/2026,9,例4,S为有界集，证明：若supS=,a,S，则存在严格递增数列,x,n,S,使得,证,a,x,1,x,2,x,3,x,n,10/22/2026,10,如此继续，得到,x,n-1,后，取,10/22/2026,11,计算复利息问题:设本金为A,0,利率为r,期数为t:,1.若每期结算一次，则本利和,A,为,2.若每期结算,m,次，则本利和,A,m,为,3.若立即产生立即结算，则本利和即为,连续复利,10/22/2026,12,在金融界有人称,e,为银行家常数。,10/22/2026,13,10/22/2026,14,利用算术平均值不等式和二项式展开式可以分别证明：,f,(,n,),f,(,n+,1),（,n,=1,2,3,）,f,(,n,)2,n-1,再证有界性,10/22/2026,17,从这个例子我们看到，一个有理数列的极限却是无理数，这说明有理数域对极限运算不封闭，极限理论必须在实数范围内研究。,同时，这个例子也这说明在有理数域内单调有界定理不成立。,e 是无理数,10/22/2026,18,例6 利用例5求：,解,10/22/2026,19,例7,10/22/2026,20,定理10（Cauchy收敛准则）,2.收敛数列的各项越到最后，离得越近，以至于充分后面的任何两项之距离可以任意小（挤到一起了）。,1.Cauchy条件说明，利用数列本身就可以判断是否收敛，而不借助数列之外的数,a,.,注,10/22/2026,21,定理10（Cauchy收敛准则）,Cauchy条件,该定理从理论上解决了数列极限的存在性问题。,满足Cauchy条件的数列，称为基本列,.,3.,Cauchy准则,的另一种形式,：,10/22/2026,22,例6,证,10/22/2026,23,由Cauchy准则，,a,n,收敛。,注：本题教材上P35用的是“单调有界定理”证明的。,10/22/2026,24,例7 证明,证,由Cauchy准则，,a,n,发散。,p,n,n,n,+,+,+,+,+,+,1,2,1,1,1,L,10/22/2026,25,第二章习题课,数列极限的定义,10/22/2026,26,数列极限的等价命题,10/22/2026,27,收敛数列的性质,1、唯一性；2、有界性；,3、保号性；4、保不等式性；,5、迫敛性；6、子列收敛性；,7、四则运算性。,10/22/2026,28,数列极限存在的条件,单调有界定理。,Cauchy收敛准则。,这两个定理都只是在实数系内成立。,10/22/2026,29,求数列,a,n,极限的方法：,1、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；,2、极限的四则运算；,4、利用单调有界定理；,3、利用重要极限,5、证明奇偶子列收敛于同一个数。,6、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。,7、利用迫敛性。,10/22/2026,30,几个常用数列的极限,10/22/2026,31,解题方面注意点：,1、-N定义求极限，N的找法。,*,不再含有n,*,取整后取作N,10/22/2026,32,2、证明数列,a,n,单调的方法。,10/22/2026,33,例1,下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。,答,（1）发散。,（2）1。,（3）1/6。,（4）0。,由迫敛性即得。,（5）1/2。,10/22/2026,34,例2,证,10/22/2026,35,10/22/2026,36,例3,解,将分子、分母同乘以因子(1-,x,),则,10/22/2026,37,解,例5,10/22/2026,38,例6,证,10/22/2026,39,由Cauchy准则，,x,n,收敛。,10/22/2026,40,例7 证明,证,10/22/2026,41,由Cauchy准则，,x,n,收敛。,10/22/2026,42,解,例8,10/22/2026,43,例8,10/22/2026,44,例8,10/22/2026,45,P39 3(1),证,10/22/2026,46,P39 3(2),证,10/22/2026,47,P39 6.,解,10/22/2026,48,