第三章线性代数.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,3.1 线性方程组和Gauss消元法,一.基本概念,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=,b,2,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=,b,m,(3.1),设,A,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,b,=,b,1,b,2,b,m,x,=,x,1,x,2,x,n,Ax,=,b,系数矩阵,A,b,增广矩阵,第三章,线性方程组,3.1线性方程组和Gauss消元法,第三章 线性方程组,第三章,线性方程组,3.1线性方程组和Gauss消元法,线性方程组的分类,齐次线性方程组(,b,=0),非齐次线性方程组(,b,0),线性方程组的解,Ax,=,b,无解,有解,(不相容),(相容),唯一解,无穷多解,(通解),表示全部解的表达式,阶梯形线性方程组的有三中基本类型,2,x,1,+3,x,2,x,3,=,1,2,x,2,+,x,3,=,2,0,=,1,x,1,x,2,+2,x,3,=,8,2,x,2,+,x,3,=,1,x,3,=,5,x,1,+2,x,2,+,x,3,+,x,4,=2,x,3,+4,x,4,=,3,无解,有唯一解,有无穷多解,第三章,线性方程组,3.1线性方程组和Gauss消元法,二,.,Gauss消元法,三.阶梯阵的形状与线性方程组的解,2,x,1,+3,x,2,x,3,=,1,2,x,2,+,x,3,=,2,0,=,1,x,1,x,2,+2,x,3,=,8,2,x,2,+,x,3,=,1,x,3,=,5,x,1,+2,x,2,+,x,3,+,x,4,=,2,x,3,+4,x,4,=,3,0=,0,无解,有唯一解,有无穷多解,2,3,4,1,0 2,1,2,0 0,0,1,1,1,2,8,0 2,1,1,0 0,1,5,1 2,1,1,2,0 0,1,4,3,0 0,0 0,0,解的情况,Ax,=,b,Ax,=,b,A,b,A,b,r,2,=,r,1,+1,r,2,=,r,1,=3,r,2,=,r,1,4,第三章,线性方程组,3.1线性方程组和Gauss消元法,注,1:,当判别线性方程组的解的情况时，用阶梯形矩阵即可；,当方程组有解时，最好化成行最简形矩阵来求解，这样,可以直接读出解.,注2:,当方程组有,无穷多解,时，,自由未知量不是任意选取,的，一,般,取非,主列,（主元所在的列）,对应的变量,为自由未知量.,第三章,线性方程组,3.1线性方程组和Gauss消元法,注3:,只能用,矩阵的,初等,行,变换,来求解线性方程组，而,不能夹杂,初等列变换,.,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,3.2 齐次线性方程组,齐次线性方程组,a,11,x,1,+,a,12,x,2,+,a,1,n,x,n,=,0,a,21,x,1,+,a,22,x,2,+,a,2,n,x,n,=0,a,m,1,x,1,+,a,m,2,x,2,+,a,mn,x,n,=0,(3.2),零,/,平凡解,非零,/,平凡解,a,11,a,21,a,m,1,a,12,a,22,a,m,2,a,1,n,a,2,n,a,mn,x,1,+,x,2,+,x,n,=0,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,一,.,齐次线性方程组有非零解的条件,定理,3.1,.,A,m,n,x,=0有非零解r(,A,),n,.,推论,3.1,.,m,n,A,m,n,x,=0有非零解.,推论,3.2,.,A,n,n,x,=0有非零解|,A,|=0.,二,.,齐次线性方程组的解的性质,性质,1,.若,都是,A,x,=0的,解向量,则,+,也,是,A,x,=0的,解向量.,性质,2,.若,是,A,x,=0的,解向量,k,R,则,k,也,是,A,x,=0的,解向量.,是,A,x,=0的,解,k,1,k,2,R,则,k,1,+,k,2,也是,A,x,=0的,解,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,V,=,R,n,|,A,=0,A,x,=0的,解集,构成一个向量空间,A,x,=0的,解空间,.,三,.,基础解系,齐次线性方程组,A,x,=0的,解空间的基称为,该,齐次线性方程组的,基础解系,.,若,1,2,s,是,A,x,=0,的一个基础解系,则,A,x,=0,的通解就可以表示成,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,其中,k,1,k,2,k,s,为常数.,结构式通解,3.2 齐次线性方程组,第三章 线性方程组,例,3,.求,的基础解系与通解.,解,:,初等,行,变换,该方程组的基础解系可取为,通解为,3.3 非齐次线性方程组,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,一,.,非齐次线性方程组的相容性,定理,3.4,.设,A,R,m,n,b,R,m,则,(3),当,秩(,A,b,)=秩(,A,),n,时,Ax,=,b,有,无穷多解,且通解中含有,n,秩(,A,),个自由未知量,.,(1),Ax,=,b,有解,秩(,A,b,)=秩(,A,);,(2)当,秩(,A,b,)=秩(,A,),=,n,时,Ax,=,b,有,唯一解,;,第三章 线性方程组,3.3 非齐次线性方程组,二,.,非齐次线性方程组的解的结构,1.齐次线性方程组,A,x,=,0,称为非齐次线性,方程组,A,x,=,b,的,导出组,.,性质,1,.,设,1,2,都是,A,x,=,b,的解,则,1,2,是,A,x,=,0,的解.,性质,2,.,是,A,x,=,b,的解,是,A,x,=,0,的解,则,+,是,A,x,=,b,的解.,2.非齐次线性方程组的解向量的性质,第三章 矩阵的相抵变换和秩,线性方程组,3.4 线性方程组解的结构,三.解非齐次线性方程组,A,m,n,x,=,b,的一般步骤,A b,初等,行,变换,行,阶,梯,阵,r,(,A,)=,r,(,A b,),?,行,最,简,形,无解,N,初等,行,变换,Y,定理,3.5.,设,0,是,Ax,=,b,的一个解,1,n,r,是,Ax,=,的,基础解系,则,Ax,=,b,的,结构式,通解,为,x,=,k,1,1,+,k,n,r,n,r,+,0,.,称,0,为,Ax,=,b,的一个,特解,.,令非主列变量为,e,1,e,n-r,求得基解;令其为0,求得特解.,