工学电磁场理论第十二周课件.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,工学电磁场理论第十二周课件,工学电磁场理论第十二周课件工学电磁场理论第十二周课件 电磁场理论第十二周讲稿5.5 电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量,5.6 电磁场的矢量势和标量势,5.7 推迟势和似稳电磁场,作业：5-14 5-15 5-17,5.18 5.19 5.22 2021/4/8,电磁场理论第十二周讲稿,5.5,电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量,5.6,电磁场的矢量势和标量势,5.7 推迟势和似稳电磁场,作业：,5-14 5-15 5-17,5.18 5.19 5.22,2026/10/18,电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量,一、电磁场的能量守恒定律,坡印亭,定理,二、坡印亭矢量,能流密度矢量,三、正弦场的复数坡印亭矢量与复功率,例题,2026/10/18,电磁场的矢量势和标量势,一、电磁场的矢量势和标量势,二、洛仑兹条件与电磁动态势的波动方 程达朗贝尔方程,2026/10/18,推迟势和似稳电磁场,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2、似稳电磁场和似稳条件,3、电磁理论与电路理论之间的关系,2026/10/18,电磁场是一种特殊形式的物质，而能量又,是物质的主要属性，电磁波的传播过程，,就是电磁能量的传播过程。应用矢量恒等,式，并代入麦克斯韦第一和第二方程,得,电磁场的能量守恒定律,2026/10/18,电磁场的能量守恒定律,因,同理有,故,由于电场和磁场的能量密度分别为,则,2026/10/18,电磁场的能量守恒定律,为电磁场的能量密度。因此,应用高斯散度定理，有,W,是电磁场的总能量,因 则,2026/10/18,电磁场的能量守恒定律,上式表明单位时间,V,内增加的电磁能量和损,耗的能量只能从闭合面,S,外流进来。于是,是穿出,S,的功率。电磁场,能量守恒定律，也称为坡印亭定理的微分形,式为,对应的积分形式是,2026/10/18,电磁场的能量守恒定律,当,S,在无限远处时有,若,V,内有局外场时，因,则 代入坡印亭定理，故有,和,这便是普遍情况下的坡印亭定理。,2026/10/18,坡印亭矢量能量密度矢量,是穿出,S,的功率，则,是穿出单位面积的功率，定义,称为坡印亭矢量，即电磁场的能量密度矢,量或功率流。这是一个表示,电磁能流传播的重要物理量，,E、H、S,三者相互垂直。,2026/10/18,坡印亭矢量能量密度矢量,若场域,V,内无传导电流，则有,称为电磁能流的连续性方程，它与,定理连续性方程 相对应。,2026/10/18,应用矢量恒等式,代入,得,正弦场的复数坡印亭矢量与复功率,2026/10/18,正弦场的复数坡印亭矢量与复功率,或,应用高斯散度定理，可得,左端是流入的功率，右端实部是损耗功率，,虚部是 乘以磁场能量与电场能量的有效,值之差。,2026/10/18,正弦场的复数坡印亭矢量与复功率,于是，复功率为,复数坡印亭矢量,有功功率（平均功率）为,其中,是坡印亭矢量的平均值。而无功功率则是,能量转换的量度，即,2026/10/18,正弦场的复数坡印亭矢量与复功率,穿入的复功率和有功,功率及无功功率组成,功率三角形。,2026/10/18,例题,设同轴线内导体的半径为 ，外导体的内外半径分别为 和 ，其电导率为 ，内外导体中载有等值而异号的电流,I,，两导体间的电压为,U,，,其中填充介质的介电常数为 。试求同轴线传输的功率及导体中的损耗功率。,2026/10/18,例题,r,=0,时,S,i,=0,。,2026/10/18,例题,r,=,r,3,时,S,e,=0,。,传输能量的,S,分量,其中,Q,0,是单位长度导线所带的电荷,。,2026/10/18,例题,虽然,P,=,U I,在形式上与电路的结果相同，但,能量不是在导线中传输的，而是在介质中,传输的，导线只是引导能量传输的方向，,好象导游小姐，导线输能是小姐导游。,介质中内导体附近的场为,2026/10/18,其中 内导体的功耗是介质传,输的能量通过其表面流入的。同样，在外,导体表面有,例题,2026/10/18,例题,求上,例,中同轴线介质中的场,因问题与方位角无关，故电势满足,得,2026/10/18,例题,由边界条件 和,可知，,E,t,=E,z,与,z,无关，故有,解得,则,故,若取 且 则,2026/10/18,例题,故,由,得,因此,2026/10/18,例题,内外导体表面的电荷面密度分别为,内外导体表面单位长度的电荷量分别为,2026/10/18,例题,可见，与静电场不同，,载流同轴线内外导,体表面上的电荷分布并不均匀，而且与,z,成,正比，正是由于它在,z,方向上的变化，才在,导线内形成了切向即,z,方向的电场，从而引,起电流的流动。,2026/10/18,应用麦克斯韦方程组直接求解电磁场很困,难，与静态场一样，引入势函数间接求解。,由,引入动态矢量势,A,，,即,或,电磁场的矢量势和标量势,2026/10/18,电磁场的矢量势和标量势,则,得,故,2026/10/18,洛仑兹条件与达朗贝尔方程,由前面论述可知，,Maxwell方程组中,已经使用了两个,方程，剩余两个,方程；,2026/10/18,洛仑兹条件与达朗贝尔方程,即,由,即,2026/10/18,洛仑兹条件与达朗贝尔方程,可见未规定,A,的散度，,A,和 都,不惟一,，因,对任意标量函数,f,，对应同一电磁场，有,故必须规定,A,的散度，若,选择,则动态势与场源的关系简单，,A,和 也分开了，分别依赖于电流和电荷密,度，方程形式也对称。这称为洛仑兹条件。,2026/10/18,洛仑兹条件与达朗贝尔方程,于是微分方程,简化为,这是动态势的,波动方程，称为达朗贝尔方程。,因,J,和 由 联系着，故在实际应用,中，由,J,求,A,则得到,B,，再由洛仑兹条件求,得 ，从而得到,E,。,2026/10/18,洛仑兹条件与达朗贝尔方程,在无源区，达朗贝尔,方程变为齐次的。,静态场退化为势函数,的拉普拉斯方程。,对正弦电磁场，有,称为波数。这是动,态势的亥姆霍兹方程。,2026/10/18,洛仑兹条件与达朗贝尔方程,洛仑兹条件为,可得正弦电磁场分别为,对于无源区，有,实际上，这时电磁场可直接由电磁场的,齐次亥姆霍兹方程求出。,2026/10/18,1、达朗贝尔方程的解推迟势,电磁波的传播具有一定的速度，故传播一段距离,需要一定的时间。,距离波源为,R,的观察点，某一时刻的势函数是由,较早时刻 的波源所决定。这表明电磁作,用是以有限的速度传递的。,在真空中电磁波的速度就是光速,c,。,由于观察点处的电磁场决定于较早时刻的场源，,因此，场点处的标量势 和矢量势,A,称为,推迟势,。,2026/10/18,下面求推迟势。,先考虑某一体积元内变化电荷所产生的标量势。,设坐标原点处有一变化的点电荷 ，其密度,为 ，于是标量势所满足的达朗贝,尔方程可表示为,其中,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,由于点电荷的势函数具有球对称性，则 仅为,r,和,时间,t,的函数，而与极角和方位角无关。因此，,上式用球坐标可以表示为,除原点外，即 处，满足齐次波动方程,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,上式又可以写为,该式是关于 的一维波动方程，其解为达朗,贝尔公式,，即,1、达朗贝尔方程的解推迟势,回忆：数学物理方法,2026/10/18,式中 是以速度,v,沿+,r,方向离开波源的球面,波，而 是以速度,v,沿-,r,方向朝着波源会聚,的球面波。,对于辐射问题，一般只需考虑沿+,r,方,向行进的球面波。,将 的宗量改为 ，则,式中 也是,r,、,t,的函数，它的具体形,式由场源激发时的条件所决定。,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,根据静电势的泊松方程 的解,可将结论推广到时变场，可以推想,的解应为,证明过程如下,:,作一个半径为 的小球包围原点，并在小球内计算,下列积分,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,令 ，则有 ，上式中第二项趋,近于零，而第一项则为,考虑到,则,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,对于在有限区域,V,内连续分布的变化电荷，电荷,元 在,P,点所激发的标量势为,根据场的迭加原理，可得 内所有电荷在场点所,激发的总标量势为,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,类似地，,矢量势,A,在,有限区域 内连续分布的变化,电流在场点所激发的矢量势应为,对于正弦电磁波,1、达朗贝尔方程的解推迟势,2026/10/18,如果波源变化较快或者场点距离波源较远，则推,迟作用显著；反之，若波源变化缓慢或场点距离,波源较近，虽有推迟作用但不明显。,若 ，可不考虑推迟作用。此,时有,满足上述条件的电磁场称为似稳电磁场，也称为,缓变场或准静态场,2、似稳电磁场和似稳条件,2026/10/18,近区,近区的电磁波是束缚电磁波；频率随其场域的扩,大而降低。,感应区,远区,远区的电磁波是自由电磁波。,对于似稳场或近区场可不计推迟作用；而对于迅,变场或感应区和远区场则必须考虑推迟作用。,2、似稳电磁场和似稳条件,2026/10/18,似稳场或近区场的动态标量势和矢量势可分别表,示为,对于场源随时间按正弦规律变化的似稳场或近区场，则有,2、似稳电磁场和似稳条件,2026/10/18,在无界的导电媒质中的似稳电场必将引起传导电流密度 和位移电流密度 。对麦克斯韦第一方程,取散度，并考虑到第四方程，可得,其解为,式中,称为,弛豫时间,。,在时变场的情形下，与静电场的情形相同，导电媒质内部没有自由电荷 。,3、电磁理论与电路理论之间的关系,2026/10/18,由于导电媒质中似稳场变化缓慢，或正弦似稳场的频率很低，有 或 ，则导电媒质中的位移电流可以忽略，并且导电媒质中的电荷密度 ，,于是,导电媒质中的似稳电磁场方程组可表示为,3、电磁理论与电路理论之间的关系,2026/10/18,对于如图所示的似稳场中的一个由电阻,R,、,电感,L,和电容,C,所组成的串联电路，似稳条件很容易满足。可由似稳场的方程得到似稳电路方程。似稳场的场源中的传导电流密度为,3、电磁理论与电路理论之间的关系,2026/10/18,上式右端第一项中的被积式是长为,l,的电路的电阻，故,积分为电路的总电阻。,右端第二项是动态标量势梯度的线积分，积分数值与,路径无关，故只在电容器内部积分，即认为电场全部,集中于电容器内，故该项等于电容器极板间的电压，,即 。,右端第三项，由于电容器极板间的距离很小而近似于闭,合回路积分，而,A,的闭合回路积分是磁通，故该项是感,应电动势。,3、电磁理论与电路理论之间的关系,2026/10/18,即,这就是似稳电路方程。,在正弦电磁场的情况下，用复数表示上式则为,此外，还可以得到类似的,节点电流定律,。,3、电磁理论与电路理论之间的关系,2026/10/18,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,