数学竞赛初赛试题分析.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,数学竞赛初赛试题分析,数学竞赛初赛试题分析数学竞赛初赛试题分析第,四,届,大,学,生,数,学,竞,赛,初,赛,试,题,分,析一、填空题 评讲,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。,第,四,届,大,学,生,数,学,竞,赛,初,赛,试,题,分,析,一、填空题 评讲,3,对于,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,1.,设是柱面,x,2,+y,2,=4,介于,1z3,之间的外侧曲面部分，则,因 在,XOY,平面上的投影为零，,4,对于,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,投影,5,对于,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,所以：原式,=0,注意到：被积函数 关于 为偶函数,积分区域 关于坐标面,yoz,对称，则积分,0,想一想，若第二个积分为,注意到：,前侧取“,+,”,后侧取“,-,”,7,不能用格林公式，,不能直接用斯托克斯公式,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,2.,设,L,为空间圆周曲线：，,则积分,8,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,由对称性,（称为“轮换对称性”）,9,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,注：除重积分外，都可以将积分区域,代入被积函数,10,解：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,3.,设,S,是球面 的外侧，则,积分,奥高公式,由对称性,11,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,原式,换球坐标系,（）,12,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,不能代入，若代入并换成,R,2,，那么被积函数,只在“球体”的表面上取值了！,三重积分是要求在整个“球体”上取值,13,分析：这是第一类曲线积分，,它的实际背景可看成分布在曲线上的质量。考查：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,4.,设,L,为圆弧段：，,则曲线积分,曲线 对称于,y,轴，,分布密度 关于 是奇函数,14,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,4.,设,L,为圆弧段：，,则曲线积分,L,关于,Y,轴对称,(,轴对称！,),关于,X,为奇函数,15,二重积分的几何背景：,算曲顶柱体的体积,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,5.,设平面区域 （,R0,），,则二重积分,第,四,届,大,学,生,数,学,竞,赛,初,赛,试,题,分,析,二、选择题 评讲,17,则,（,A,）,x=0,必是,g(x),的第一类间断点,.,（,B,）,x=0,必是,g(x),的第二类间断点,.,（,C,）,x=0,必是,g(x),的连续点,.,（,D,）,g(x),在点,x=0,处的连续性与,a,的取值有关,.,1.,设 在 内有定义，且,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,18,考察：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,若,a=0,，则,g(x),在,x=0,处连续,若,a0,，则,g(x),在,x=0,处间断,（可去间断点）,选,D,19,（,A,）极限不存在,（,B,）极限存在但不连续,（,C,）连续但不可导,（,D,）可导,2.,设函数 则 在,x=0,处,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,20,无穷小量,有界变量,计算极限,先考察连续性：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,排除,A B,21,右导数都不存在，所以在,x=0,处不可导,又因为,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,所以 极限不存在,选,C,22,（,A,）,1,（,B,）,2,（,C,）,3,（,D,）,4,3.,当 时，与 是同阶,无穷小，则,n,的值应该是,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,当 时,23,所以选,C,而,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,24,整理后上下求导也可作出,请同学自行验证,【,注,】,：本题也可不用皮亚诺展开式,用罗必塔法则也行,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,25,解：,A B C D,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,4.,设函数 连续，则,换元必换限,26,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,而：,27,取,f(x)=1,，则,选项变为,本题虽然不是明显的用特殊值法的题，但其选项均为抽象函数形式的结果，也可用特殊值法试试，不管能不能选出，至少可以先排除一些。,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A x B -x C 2x D -2x,28,5.,设函数,f(x),二阶可导，,若,f(x),有,极值，且,曲线,y=f(x),有拐点，则曲线,y,=f(x),的图形可能为,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,有,极值,-,用一阶导数的符号判定,有,拐点,-,用二阶导数的符号判定,29,A,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,曲线凹,所以无极值也无拐点,曲线,无极值,30,B,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,（,0,，,0,）点两边,二阶导数变号,曲线,无极值,所以（,0,，,0,）是曲线,的拐点,31,C,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,无拐点,曲线是凹的,X=0,是曲线极小值点,32,D,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,（,0,，,0,）点两边,二阶导数变号,有拐点,有两个极值点,有两个极值点,曲线,33,由,6.,若 ，在 内,则 在 内,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,D,C,B,A,函数是奇函数,34,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,函数是奇函数,单调增加且凹,现画一草图,看图说话,可见,35,7.,设 的导数在 处连续，又,，则,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,（,A,）是 的极小值点,.,（,B,）是 的极大值点,.,（,C,）是曲线 的拐点,.,（,D,）不是 的极值点，,也不是曲线 的拐点,.,36,于是,解,:(,用判定极值的第二充分条件,),第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,又因 在,a,点连续,37,由极值的第二判定定理可知,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,在 处取得极大值,38,是一开口向下的抛物线，在顶点处取极大值,此时,解法二，,用特殊值法,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,取 ，显然满足题设条件,取积分常数,C=0,39,最后提示下：也可用“,保号性,”做,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,在 点附近：,上下异号,也可判断出是极大值,40,（,A,）没有渐近线,.,（,B,）仅有水平渐近线,.,（,C,）仅有铅直渐近线,.,（,D,）既有水平渐近线也有铅直渐近线,.,8.,曲线,【】,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,两让,41,让,分母趋于零，即让,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,让,得水平渐近线,:y=1,得垂直渐近线,:X=0,42,的参考图形,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,y=1,水平渐近线,x=0,垂直渐近线,偶函数,43,分析：此题考查定积分的定义，由于定积分的定义式是一个特殊结构的极限，这种数列极限问题要想到用定积分来处理，关键是找被积函数和积分区间,9.,等于,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A,D,C,B,44,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,45,下限：起步于,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,注,换,换,上限：终止于,46,下限,0,，上限,1,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,换,换,别误选,C,换元换限,47,10.,设周期函数 在 内可导，,周期为,4.,又 ，则曲线,在点 处的切线斜率为,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,在 内可导,解：,48,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,在,内可导,49,【,注,】,：,周期函数,f(x),在自变量,x,相距,整数倍周期,的点处的各种性态,（如：函数值，导数值，极值）均相同,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,50,11.,已知 ，,设 ，则,F(x),为,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A,B,C,D,51,解：,F(x),可导，,当然必定连续,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,易知 在,0,2,上连续,A,不连续,52,解：,F(x),可导，,当然必定连续,易知 在,0,2,上连续,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,C,不连续,53,解：,F(x),可导，,当然必定连续,易知 在,0,2,上连续,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,D,不连续,综上,A,C,D,被排除,B,54,解：,F(x),可导，,当然必定连续,易知 在,0,2,上连续,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,连续，还可验证可导,选,B,55,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,【,注,】,：,在,I,上有第一类间断点，则,连续，,在,I,上连续，则 可导，,56,（,A,）,0,个,.,（,B,）,1,个,.,（,C,）,2,个,.,（,D,）无穷多个,.,12.,设函数,f(x),在闭区间,a,b,上连续，,且 ，则,方程,在开区间（,a,b,）内的根有,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,57,记,则,考察,零点,的个数,解,1,：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,又,根据零点定理,F(x)=0,在,(a,b),内只有一个根,选,B,取 ，显然满足题设条件，,而此时原方程化为,58,解,2,：特殊值法,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,而该方程显然在（,a,，,b,）内只有一个实根，,可见,ACD,不正确,选,B,59,13.,曲线 与,x,轴所围图形,面积可表示为,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A,B,C,D,所围的面积要为正（几何值）非定积分的有向代数和，,当曲线在,x,轴下侧时，需在定积分前添负号求出,60,根,一个实根,+,共轭复根,三个不等的实根,下面先讲三次方程根的问题,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,三个相等的实根,61,有三个不等的实根,的情形,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,62,仅有一个实根,（一对共轭复根）的情形,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,63,三个相等的实根,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,64,算这块面积时添负号就行了,回到此题,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,方程 有三个不等的实根,选,C,65,14.,通过坐标系的原点，且与微分方程,的一切积分曲线均正交的曲线方程是,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A B,C D,66,的切线斜率,过原点,即：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,的斜率是,的法线斜率是,选,A,67,给一个大致的图像演示,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,68,A,B,C,D,15.,具有特解,的三阶常系数齐次线性微分方程是,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,69,解：,对应的微分方程为,特征方程为,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,选,B,【,注,】,：条件,y,2,y,3,中的常系数在选择中有什么作用吗？,不起作用,70,16.,设在,XOY,全平面上有,则在下列条件中使,成立的是,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A,D,C,B,71,所以当 时：,解：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,选,C,72,解一：,交换累次积分的积分顺序,17.,设,f(x),为连续函数，,则 等于,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,D 0,A,B,C,73,从而,于是,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,选,B,74,解法二：特殊值法,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,选,B,75,下面我们先来复习下第一类曲面积分的物理意义,18.,设,S,1,为,S,在,第一卦限中的部分，则有,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A,B,C,D,空间“壳”的质量,76,曲面关于,XOZ,坐标平面对称,曲面为上半球面：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,函数,是关于,y,的奇函数,左右半球面正负,质量相互抵消,77,曲面关于,YOZ,坐标平面对称,曲面为上半球面：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,函数,是关于,x,的奇函数,前后半球面正负,质量相互抵消,78,而,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,函数,是关于,x,的奇函数,函数,是关于,y,的奇函数,同理：,ABD,都错,79,从物理上看：正确,另：,现在看,C,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,？,关于,x,、,y,是偶函数,用两倍,曲面关于,yoz,对称,曲面关于,xoz,对称,选,C,80,19.,设 ，则级数,_,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,A,与 都收敛,B,与 都发散,C,收敛而 发散,D,发散而 收敛,81,解：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,82,易知：,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,选,C,一般项趋于零，且,递减的交错级数,收敛,83,20.,设函数 ，而,其中,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,则 等于,_,分析：不能从这个就说是偶函数（只是半区间）,正弦级数，可见对,f(x),做的是奇开拓,84,图,1,（函数图）,做奇开拓,用三个图来 说话,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,不能说是偶函数,（因是半区间）,85,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,1,（函数图）,图,2,（一个周期内,的和函数图）,取平均值,由狄利克雷结论,86,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,2,（一个周期内,的和函数图）,现在我们来周期延拓图,2,（,T=2,）,图,3,正弦级数在,R,上的和函数 图，是周期为,T=2,的周期函数,87,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,3,（正弦级数在,R,上的和函数图，是周期为,T=2,的周期函数）,选,B,88,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,3,（正弦级数在,R,上的和函数图，是周期为,T=2,的周期函数）,又如：,89,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,3,（正弦级数在,R,上的和函数图，是周期为,T=2,的周期函数）,又如：,90,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,3,（正弦级数在,R,上的和函数图，是周期为,T=2,的周期函数）,另：,91,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,图,3,（正弦级数在,R,上的和函数图，是周期为,T=2,的周期函数）,又另：,92,讲座到此结束。,祝同学们取得好成绩，进入复赛！,复赛将于下学期初举行，望能挤进,复赛的同学暑假好好研习数学，,取得最后的成功！,谢谢大家！,第四届大学生数学竞赛初赛试题分析,成都理工大学教务处、信息管理学院 主办,谢谢,