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第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念课时一：集合有关概念课时一：集合有关概念1.1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。断一个给定的东西是否属于这个整体。2.2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3.3.集合的中元素的三个特性：集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3.3.集合的表示集合的表示：如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR|x-32,x|x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4 4、集合的分类、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55 5、元素与集合的关系：、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R课时二、集合间的基本关系课时二、集合间的基本关系1.“1.“包含包含”关系关系子集子集（1）定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作：（或 B）BA 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；BA（2）A 与 B 是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA2 2“相等相等”关系：关系：A=BA=B (55(55，且，且 5555，则，则 5=5)5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)或若集合 AB，存在 xB 且 x A，则称集合 A 是集合 B 的真子集。如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B3.3.不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1 个真子集，2n-1 个非空子集，2n-2 个非空真子集课时三、集合的运算课时三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作AB（读作A 交 B）I，即 AB=x|xA，I且 xB由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：AB（读作UA 并 B），即 AB U=x|xA，或 xB)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作CSA=ACS,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2SA性性 质质A A=A A=A B=BAIA BA A BBAUA=A AU=AAUB=BUA AUBAUBB(CuA)(CuB)=Cu(AUB)(CuA)U(CuB)=Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=课时四：函数的有关概念课时四：函数的有关概念1函数的概念：设函数的概念：设 A A、B B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f f，使对于集合，使对于集合 A A 中的中的任意一个数任意一个数 x x，在集合，在集合 B B 中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数 f(x)f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称 f f：ABAB 为从集合为从集合A A 到集合到集合 B B 的一个函数的一个函数记作：y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2 2）与）与 x x 的值相对应的的值相对应的 y y 值叫做函数值，函数值的集合值叫做函数值，函数值的集合f(x)|f(x)|xAxA 叫做函数的值域叫做函数的值域函数的三要素：定义域、值域、对应法则函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 3、区间的概念：、区间的概念：（1 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2 2）无穷区间）无穷区间（3 3）区间的数轴表示）区间的数轴表示4 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。5、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。（3）函数图像变换的特点：1）函数 y=f(x)关于 X 轴对称 y=-f(x)2）函数 y=f(x)关于 Y 轴对称 y=f(-x)3）函数 y=f(x)关于原点对称 y=-f(-x)2映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2 2定义域定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3 3、相同函数的判断方法、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)课时六：课时六：1 1值域值域 :先考虑其定义域先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；(2)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(3)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。(4)分离常数法课时七课时七1.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数：注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性课时八函数的单调性(局部性质局部性质)及最值及最值1 1、增减函数、增减函数（1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2 2、图象的特点图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3 3、函数单调区间与单调性的判定方法、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取 x1，x2D，且 x1x2；1 作差 f(x1)f(x2)；2 变形（通常是因式分解和配方）；3 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；4 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）5(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.课时九：函数的奇偶性（整体性质）课时九：函数的奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（2）、奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；1若对称，则进行下面判断；确定 f(x)与 f(x)的关系；2作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；3 若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数；2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x)f(-x)=1 来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.课时十、函数最值及性质的应用课时十、函数最值及性质的应用1 1、函数的最值、函数的最值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值1 利用图象求函数的最大（小）值2 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：3如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；2、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与 0 作比较，作商法是与 1 作比较。4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用 f(0)=0，但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数 f(0)=0）。指数、对数、幂函数知识归纳指数、对数、幂函数知识归纳知识点一：指数及指数幂的运算知识点一：指数及指数幂的运算1.1.根式的概念根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时偶数时，正数的次方根 有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是 0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n2.n 次方根的性质：次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.3.分数指数幂的意义：分数指数幂的意义：；注意：注意：0 的正分数指数幂等与 0，负分数指数幂没有意义.4.4.有理数指数幂的运算性质：有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质知识点二：指数函数及其性质1.1.指数函数概念指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.2.指数函数函数性质：指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算知识点三：对数与对数运算1.1.对数的定义对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.2.几个重要的对数恒等式几个重要的对数恒等式：，.3.3.常用对数与自然对数常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中).4.4.对数的运算性质对数的运算性质如果，那么 加法：减法：数乘：换底公式：知识点四：对数函数及其性质知识点四：对数函数及其性质1.1.对数函数定义对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.2.对数函数性质：对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象 定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数知识点五：反函数1.1.反函数的概念反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.2.反函数的性质反函数的性质(1)原函数与反函数的图象关于直线关于直线对称对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数函数要有反函数则它必须为单调函数要有反函数则它必须为单调函数.3.3.反函数的求法反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数知识点六：幂函数1.1.幂函数概念幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.2.幂函数的性质幂函数的性质 (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.高中数学必修 4 知识点第一章 三角函数 Pvx y A O M T 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象x限角第一象限角的集合为36036090,kkkooo第二象限角的集合为36090360180,kkkoooo第三象限角的集合为360180360270,kkkoooo第四象限角的集合为360270360360,kkkoooo终边在轴上的角的集合为x180,kk o终边在轴上的角的集合为y18090,kk oo终边在坐标轴上的角的集合为90,kk o3、与角终边相同的角的集合为360,kk o4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度15、半径为 的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是rllr6、弧度制与角度制的换算公式：，2360o1180o180157.3oo7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，为弧度制rlCSlr，2Crl21122Slrr8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是,x y，则，220r rxysinyrcosxrtan0yxx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：，sin cos tan A11、同角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1 cos,cos1 sin ；sin2tancossinsintancos,costan12、函数的诱导公式：，1 sin 2sinkcos 2cosktan 2tankk ，2 sinsin coscos tantan，3 sinsin coscostantan，4 sinsincoscos tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限，5 sincos2cossin2 6 sincos2cossin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数sinyx1的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的sinyxsinyx倍（横坐标不变），得到函数的图象Asinyx A数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数sinyx1的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyxsinyx的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的sinyxsinyx倍（横坐标不变），得到函数的图象Asinyx A14、函数的性质：sin0,0yx AA 振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：A2 12fx函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则sinyx A1xxminy2xxmaxy，maxmin12yyA maxmin12yy 21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象函数性质 定义域RR,2x xkk值域1,11,1R最值当时，22xkk；当 max1y22xk时，kmin1y 当时，2xkk；当max1y2xk时，kmin1y 既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222kk上是增函数；在k32,222kk上是减函数k在上是2,2kkk增函数；在2,2kk上是减函数k在,22kk上是增函数k对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴