三棱锥顶点射影问题.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,三棱锥顶点射影问题,三角形的“,心,”,1,、重心,:,三条中线的交点,2,、垂心,:,三条高的交点,3,、外心,:,三条边垂直平分线的交点（或说外接圆的圆心）,4,、内心,:,三个角平分线的交点（或说内接圆圆心）,5,、,中心,（,正,特有,）,正的重心、垂心、内心、外心重合的点,例,1,：已知三棱锥,P-ABC,的三条侧棱,PA=PB=PC,试判断点,P,在底面,ABC,的射影的位置？,P,A,B,C,O,OA=OB=OC,O,为三角形,ABC,的,外心,例,2,：已知三棱锥,P-ABC,的三条,侧棱,PA,PB,PC,两两垂直,试判断点,P,在底面,ABC,的射影的位置？,P,A,B,C,O,为三角形,ABC,的,垂心,D,O,例,3,：已知三棱锥,P-ABC,的,顶点,P,到底面三角形,ABC,的三条边的距离相等,试判断点,P,在底面,ABC,的射影的位置？,P,A,B,C,O,为三角形,ABC,的,内心,O,E,F,典型：,四面体,P-ABC,的,顶点,P,在平面上的射影为,O,(1)P,到三顶点距离相等,(3)P,到三边,AB,、,BC,、,AC,距离相等,(2),侧棱两两垂直,P,A,B,C,O,外,垂,内,O,是,ABC,的,心,O,是,ABC,的,心,O,是,ABC,的,心,对棱两两垂直,O,P,A,B,C,例：,四面体,P-ABC,中，,若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直,O,是垂心,垂,O,是,ABC,的,心,(1),若,PA=PB=PC,，则,O,是,ABC,的,.,P,A,B,C,O,外心,关于三角形的四心问题,设,O,为三棱锥,P,ABC,的顶点,P,在底面上的射影,.,综合练习：,(2),若,PA=PB=PC,C=90,0,则,O,是,AB,的,_,点,.,中,P,A,B,C,O,关于三角形的四心问题,综合练习：,垂心,E,F,P,A,B,C,O,(3),若三条側棱两两互相垂直,则,O,是,ABC,的,.,关于三角形的四心问题,综合练习：,E,F,P,A,B,C,O,(5),若三条側棱与底面成相等的角，则,O,是,ABC,的,_.,外心,关于三角形的四心问题,综合练习：,A,B,C,D,证明,：,E,例,：,在空间四边形,ABCD,中，,AB=AD,，,CB=CD,，,求证：对角线,AC BD,。,CE,AE,E,BD,连接,的中点,取,AC,BD,ACE,AC,平面,Q,=,ACE,BD,E,CE,AE,平面,又,Q,BD,CE,DC,BC,=,Q,BD,AE,AD,AB,=,Q,练习,例,1,、已知直角,ABC,所在平面外有一点,P,，且,PA=PB=PC,，,D,是斜边,AB,的中点，,求证：,PD,平面,ABC.,A,B,C,P,D,证明：,PA=PB,，,D,为,AB,中点,PDAB,，连接,CD,，,D,为,RtABC,斜边的中点,CD=AD,又,PA,PC,PD=PD,PADPCD,而,PDAB,PDCD,CDAB=D,PD,平面,ABC,例,2,、如图 平面,、,相交于,PQ,，,线段,OA,、,OB,分别垂直平面,、,，,求证：,PQAB,P,Q,O,A,B,证明：,OA,PQ,OAPQ,OB,PQ,OBPQ,又,OAOB=0,PQ,平面,OAB,而,AB,平面,OAB,PQAB,S,A,B,C,H,S,A,B,C,H,1.,如图,已知点,M,是菱形,ABCD,所在平面外一点，且,MA=MC,求证：,AC,平面,BDM,M,A,B,C,D,O,P,A,B,C,O,3.,如图，圆,O,所在一平面为 ，,AB,是圆,O,的直径，,C,在圆周上,且,PA AC,PA AB,求证：（,1,）,PA BC,（,2,）,BC,平面,PAC,例：平面内有一个三角形,ABC,，平面外有一点,P,，自,P,向平面作斜线,PA,，,PB,，,PC,，且,PA,PB,PC,，若点,O,是,ABC,的外心，求证：,PO,平面,ABC,.,【,解,】,如图所示，分别取,AB,，,BC,的中点,D,，,E,，连接,PD,，,PE,，,OD,，,OE,.,因为,PA,PB,PC,，,所以,PD,AB,，,PE,BC,，,因为,O,是,ABC,的外心，,所以,OD,AB,，,OE,BC,，,又因为,PD,DO,D,，,OE,PE,E,，,所以,AB,平面,PDO,，,BC,平面,PEO,，,于是有,AB,PO,，,BC,PO,，,AB,BC,B,，,从而推得,PO,平面,ABC,.,