微积分入门学习资料.doc

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微积分入门
一. 微商（导数）
1.用来分析变化的工具
2.斜率=dy/dx
3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b
4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限
5.极限的模式：lim(x→a)f(x) 不存在（如lim(x→a)1/x) ‚lim(x→a)f(x)存在，但不 是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1)) ƒlim(x→a)f(x)存在，是f(a).
6.求导公式：lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h
二． 导函数
1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f ’(x)=lim(h→0)( f(x+h) -f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx
2.导数表示的两种方式:A.如上 B.(莱布尼茨法）dy/dx df(x)/dx F’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y
3.求导基本公式：p=C p’=0(p为常数）‚(px)’=p ƒ{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x)
4.常用求导公式：（x^n)’=lim(h→0)((x+h) ^n-x^n)/h=n*x^(n-1)
‚{f(x)*g(x)}’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x) ƒy=sinx y’=cosx ; y=cosx y’=-sinx
④y=e^x y’=e^x ; y=Lnx y’=1/x
⑤{f(x)/g(x)}’=(f ‘(x)*g(x)-f(x）*g’(x))/g^2(x)
5.y=f(x)的一阶微商f’(x)=dy/dx=lim(dx→0)(f(x+dx)-f(x))/dx
二阶微商f’’(x)=df ‘(x)/dxd^2*y/d*x^2
n阶微商（x)=d(x)/dx=d^n*y/d*x^n
=dx/dt= ; =d/dt==d^2x/dt^2=
三． 求导规则和公式
1.函数y=(x)是y=f(x)的反函数，由x和y的互反关系，易得
d(x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f ‘(y)
2.如果y=f(u),u=g(x），则复合函数y=f(g(x))的导数为
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f ‘(u)*g’(x)
3.如果y与x的函数关系由参数方程y=y(t),x=x(t)给出，则有：
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=/
4.对于两个函数u(x),v(x)的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得
的d[u(x)+&-v(x)] / dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)
5.对于两个函数u(x),v(x)的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得
d[u(x)v(x)]/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v ‘(x)+v(x)u ‘(x)
四． 导函数的基本性质
1.[af(x)] ‘ =af ‘(x)
2.[f(x)+g(x)] ’ =f ‘(x)+g’(x)
1&2[af(x)+bg(x)] ’ =af ‘(x)+bg ‘(x) (a,b为常数）
3.[f(x)*g(x)] ‘=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
函数积求导的方法推导：
[f(x)*g(x)] ‘=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
推导：[f(x)*g(x)] ‘=lim(h→0)[{f(x+h)g(x+h)}-{f(x)g(x)}]/h
=lim(h→0)[{f(x+h)-f(x)}*g(x+h)+f(x)*{g(x+h)-g(x)}] /h
=f ‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)

4.[(x+b)^n]’=n(x+b)^(n-1)
5.[(ax+b)^n]’=an(ax+b)^(n-1)
五. 二项式定理（展开(x+h)^n)
1.(x+h)^n=+h+++
∆.nCk表示“从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式）
如 nC1=n.
2.(x+h)^1=x+h → 1 1
(x+h)^2=x^2+2xh+h^2 → 1 2 1
(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 → 1 3 3 1
(x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4→ 1 4 6 4 1
（系数）杨辉三角 3.=
=1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+......
==1+x+x^2+......
系数
函数的导数：（最初比）
令o=0,得最末比（流数）导数 & 反流数（1/+1）
六．使用导数绘制图形
例1：绘制y=2x^3+3x^2-12x+6的图像
y ’ =6x^2+6x-12=0
X1=-2 →=26 x2=1 →=-1
x
...
-2
...
1
...
f ’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↑
26
↓
-1
↑
要点：求导找到极值点 ‚求极值点间的增减趋势
例1图
例2：判断曲线凹凸的方法→求二次微分f ’’(x)的正负
下凸→切线斜率增大→f ‘(x)为增函数→f ‘’(x)>0
上凸→切线斜率减小→f ‘(x)为减函数→f ‘’(x)<0
凹凸性增减表（f(x)=x^3-3x f ‘(x)=3x^2-3)
x
...
-1
...
0
...
1
...
f ’(x)
+
0
-
-
-
0
+
f ‘’(x)
-
-
-
0
+
+
+
f(x)
↑
2
↓
0
↓
-2
↑
增加上凸 减小上凸 减小下凸 增加下凸

例2图
由上凸→下凸拐点坐标（0 , 0）拐点处切线:y= - 3x
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d f ’(x)=3ax^2+2bx+c
七． 积分（面积）与导数（斜率）的关系
1.积分是导数的逆向运算，即f(x)=(d/dx)(关于t求f(t)积分）
导数(x^n)’=? 积分（?)’=nx^(n-1)
为积分符号（Summation合计)
2.对f(x)求不定积分得到的函数为原函数，如=(1/3)x^3+C(C为积分常数）
求导函数（导数算式）+初始条件（信息） 基础函数（原函数）
3.
证明：设F’(x)=f(x) , G’(x)=g(x)
[aF(x)+bG(x)] ’=aF’(x)+bG’(x)=af(x)+bg(x)

例：
=
=(a/4)x^4+(b/3)x^3+(c/2)x^2+dx+K(K为积分常数）
4.不定积分的原函数有无数个
证明：F(x)和G(x)均为f(x)的不定积分
F’(x)=f(x) g’(x)=f(x)(F(x)-G(x))’=F’(x)-G’(x)=0F(x)-G(x)=C
八． 1.定积分（从a到b )
∆..定积分的结果不是函数，而是常数
‚∆x与dx的最大区别在于是否引入了极限的概念
2.定积分的性质

‚
ƒ
④
⑤
3.常用初等函数积分公式

‚
ƒ
④
⑤
九．

lim(n→0)长方形1+长方形2+...+长方形n
=lim(n→0)宽*（长1+长2+...+长n）
=lim(n→0)宽*长(n)=lim(n→0)((b-a)/n){f(x1)+f(x2)+...+f(xn)}
1.
.S1S2
S1=lim(n→0)((b-a)/n) S2=lim(n→0)((b-a)/n)
如果长方形宽无限缩小，那么S1S2

2. 例：求函数f(x)=x^2在[0 ，1]之间，函数图象与x轴围成的图形面积
S=lim(n→0)
=lim(n→0)(1/n^3)((n-1)n(2n-1)/6)=lim(n→0)(1/6)(1-1/n)(2-1/n)=1/3
公式： f(xk)=f(a+k(b-a)/n)=(k/n)^2
十．定积分的推导

S=lim(∆x→0)[(F(xn)-F(xn-1))+(F(xn-1)-F(xn-2))+...+(F(x1)-F(xo))]
=F(b)-F(a)
=F(xn)-F(x0)

∆S=S(x+∆x)-S(x) & ∆S=f(x)∆xS’(x)=f(x)
对S(x),由S’(x)=f(x)得：S(x)=f(x)dx=F(x)+C
当x=a时：S(a)=0 S(a)=F(a)+C=0 S(x)=F(x)-F(a)
当x=b时:S=F(b)-F(a)
面积函数：F(x)=
微积分的基本定理：f(x)=(d/dx)
证明：设f(x)和其产生面积S(x) dS(x)=f(x)dx

十一． 积分所求面积为负：f(x)值为负 ‚积分方向相反（与）
例1：若f(x)=(x-1)(x+1),求函数y=f(x)与x轴围成的部分面积
（负）→

例2：求y=(x-1)(x-2)(x-3)和x轴围成的图形面积

=1/4+1/4=1/2
十二． 1. 二次函数图象与x轴所围面积公式（)

=
=
2.

例：求f(x)=x^2, g(x)= - x^2+2x+4所围成的图形面积

十三．1.换元积分
若x=g(u) , 则dx=g ‘(u)du ,则
2.分步积分
由d(uv)=udv+vdu可得：

十四.
1.微商在函数逼近中的应用：泰勒级数和小量展开
在x=xo附近可以把函数y=f(x)展开为泰勒级数

... (x<<1)

(x<<1)
2.物理公式中的微积分
F=ma→(位移二次求导得a）
‚(加速度） →(关于t求积分） （速度） →
mx(位移）=(1/2)mgt^2+D
设t=0时，x=0, 则：mx=(1/2)mgt^2 → x=(1/2)gt^2
ƒ以初速度Vo将球斜向上抛出

水平方向（x）: F(x)=0 → x=

=(运行轨迹）

只供学习与交流