微分几何曲面doc教学文案.doc

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§3.1  曲面及其相关概念

1. 曲面及其参数表示

曲面的坐标形式的参数方程:
.
曲面的向量形式的参数方程:
, .
简记为
, .
称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标.

例1 (1) 圆柱面
cos，sin，z = z,
. 其中常数为截圆的半径．
    当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.

　　(2) 球面
coscos，cossin，sin，
. 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径．
    当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.

(3) 旋转面
把xz平面上一条曲线
：x =，
绕z轴旋转，得旋转面:
x =，y =，．
    当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.

    (4) 连续函数的图象

该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点的曲纹坐标.

坐标曲线
曲线：, 即.
曲线：, 即.
一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线.

曲纹坐标网

例2  （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z.

（2）球面（例1（2））: coscos，cossin，sin.

(3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，．

(4) 连续函数的图象（例1（4））

2. 光滑曲面  曲面的切平面和法线

在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量．

定义  曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和r(,)不平行.
正则曲面: 处处是正则点的曲面.

例  在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量
;
经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量
.
由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面.

定理3.1.1  曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示．

曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向.

曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t).
Γ的向量式参数方程:
r = r(u(t), v(t)) = r(t).
其切方向
(t) = r+ r.
也可写为
dr = ru du + rv dv.

定理3.1.2  曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量r和r所决定的平面上．称此平面为曲面在这一点的切平面．

曲面上一点的一个切方向的表示:
du:dv----表方向dr = ru du + rv dv, 也表方向 -dr = -ru du - rv dv. 二者视为同一方向.
例如, du:dv = (-2):3表方向dr = -2ru + 3rv , 也表方向 -dr = 2ru - 3rv . 二者视为同一方向.

例  环面

(为常数, )上的点即点. 该点处的切方向表示方向

曲面：r = r(u, v)上在点(,)的切平面的方程：
(m- r(,)，r(,)，r(,)) = 0，
或写成坐标的形式：
．

特例  对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有
r= {1，0，}，r= {0，1，}.
所以曲面在点(,)的切平面的方程为：
.

法方向: 垂直于切平面的方向.
法线: 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线.
法向量: n = rr.
单位法向量: n=．
曲面的法线方程:
m = r(,) +r(,)r(,).
    若曲面的坐标形式的参数方程为, 则法线方程为

特例  对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有
.

例3  求圆柱面r = {}(为常数)上任意点的切平面和法线的方程．
解  因为
r=，r={0,0,1}．
所以，在任意点的切平面方程为
，
即
.
在任意点的法线方程为
，
即

§3.2  曲面上的双参数活动标架

1. 曲面的双参数活动标架
定义曲面：r = r(u, v)的第一基本量
E(u, v) = rr，
F(u, v) = rr，
G(u, v) = rr.
令
,
.
根据Lagrange恒等式，有
( rr)( rr) = r r－(rr)= EG－F．
于是
．
令

由此得到曲面上的正交右手系标架[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)]. 由于它依赖于两个参数u和v, 故称之为曲面的双参数活动标架.
注1  和e所张成的平面就是曲面在一点处的切平面．
注2  不要记e2的上述繁琐的表达式. 要计算e2, 首先计算e1和e3 , 然后用直接计算e2 .
注3  r和r也可由和e线性表示. 即
r=，r= + e.

例1  给出正螺面r ={}(b≠0为常数)上的一个双参数活动标架．
解  因为
r={cos v, sin v, 0}，r={ -u sin v, u cos v, b}，
于是
E = rr= 1，F = rr= 0，G= rr=．
r={cos v, sin v, 0}，
e=(rr)={ b sin v , -b cos v , u},
={-u sin v, u cos v , b}.

2. 外微分形式
在平面上建立直角坐标系，点的坐标用(u, v)表示. du和dv是坐标的微分．用表示坐标微分之间的外乘运算. 规定
dudv = -dvdu,
dudu =0,
dvdv =0.
设f(u, v)是定义在平面区域D上的函数，则f(u, v)dudv称为D上的以dudv为基底的二次外微分形式．
设f(u, v)和g(u, v)都是定义在平面区域D上的函数. 则f(u, v)du + g(u,v)dv称为D上以du和dv为基底的一次外微分形式，也称为发甫（Pfaff）形式．
区域D上的函数f(u, v)称为0次外微分形式.
对于两个一次外微分形式
，,
和的外乘规定为

=
.
它是一个二次外微分形式.
设都是一次外微分形式. 则
（为常数），
，
，
．
设D是平面上的一个区域，D上的两个Pfaff形式
，
和

分别对应D上的两个向量场a = {},b = {}. 若它们在D上的每一点处都是线性无关的，则称这两个Pfaff形式线性无关．　

引理3.2.1  设给定平面区域D上的两个Pfaff形式和. 若，，则存在D上的函数f(u, v)，使得
.

引理3.2.2（Cartan引理）  设给定平面区域D上的两个线性无关的Pfaff形式和（即）. 若另有D上的两个Pfaff形式和, 使得
,
则存在D上的函数（i,j = 1,2），使得
  （i =1,2）,
并且（i,j = 1,2）．

    外微分运算
对于0次外微分形式f(u, v)，定义
df(u, v) =；
对于一次外微分形式, 定义
==.
对于二次外微分形式，定义
=．
注  外微分把外微分形式的次数提高一次．

引理3.2.3(Poincaré引理)  设为平面区域D上的任意次外微分形式. 则
．

引理3.2.4  设f和g都是0次外微分形式，和都是Pfaff形式. 则
d(fg)=(df)g + f(dg)，
d(f)=df + fd，
d(f)=(d)f - df，
d()=0．
证明作为练习留给读者．

3 双参活动标架的基本方程
给定曲面: r = r(u,v)上的一个双参数活动标架为[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)].
设

其中和(i,j=1,2,3)都是关于du和dv的Pfaff形式，其系数为(u,v)的函数．

命题  ，.
证明  .
.

引理3.2.5  , (i,j=1,2,3)．

根据引理3.2.5, 有
,
, , .
故有双参数活动标架的基本方程

其中本质的相对分量是、、、和. 其具体表达式可由下列关系式导出:

例2  确定正螺面r ={u cos v, u sin v, bv}(b≠0为常数)上的双参数活动标架的基本方程中的本质分量.
解  由例1, 可知
E=1, F=0, G=．
所以
r={cos v, sin v, 0}，
=r={-u sin v, u cos v, b}，
e=rr={b sin v, -b cos v, u}.
，
，
.
d=d{cos v, sin v, 0}={0,0,0}du +{-sin v, cos v, 0}dv,
de=dsin v, -cos v,
={-u sin v, u cos v, b}du + {cos v, sin v, 0}dv.

,

注  由于比简单, 所以在计算时, 不用公式.

4. 双参数活动标架的结构方程

5. 双参数活动标架的基本定理

6. 双参数活动标架结构方程的代数认识
引理3.2.9  在曲面上, 处处有.

定理3.2.11

其中a、b和c都是和的函数.

例3  对正螺面r ={u cos v, u sin v, kv}, 将其相对分量和用和表示时的系数函数求出来.
解
，，.
, .
于是，由
,
可得
.
由, 可得
.

§3.3  曲面上的第一、第二基本形式

定义3.3.1  设给定曲面
: r = r(u, v).
选取双参数活动标架[r；，e，e]. 则

称为曲面的第一基本形式. 其中(i=1, 2)是与的通常乘积（不是外微分形式的外乘）.

引理3.3.1  I . 其中、和为曲面的第一类基本量.

定义3.3.2  设给定曲面：r = r(u, v). 则
Ⅱ= -drde
称为曲面的第二基本形式.

    命题(第二基本形式的几种表达法)
Ⅱ=-drde=re==.
    证明  微分等式两边, 得
re= -drde.
于是Ⅱ=re.
Ⅱ.
Ⅱ.

例2  求圆柱面Σ:r ={,,z}(为常数)的第一基本形式.
解 
r= r={-,,0}, r= r={0,0,1}.
于是
,,.
,.
所以
Ⅰ.

例3  求球面r ={,,}(为常数)的第一基本形式.
解
r= r={-,,0}，
r= r={，，}.
从而
, , .
于是
，.
所以
Ⅰ.

例4  正螺面是这样一种曲面, 它是一条动直线的运动轨迹. 该动直线与一条称为旋转轴的定直线垂直相交,并围绕轴作匀速转动, 同时, 动直线还沿轴的方向作匀速直线运动. 求正螺面的第一基本形式.

解  取旋转轴为轴，轴的正向与动直线的匀速直线运动方向一致. 以表示旋转时的角速度, 表示作匀速直线运动的速度. 取时的位置为轴. 以表示上的点到轴的有向距离. 于是在时刻, 与轴正向的夹角, . 从而
, , .
即
, , .
令(常数). 则正螺面有参数方程
, , .
从而其向量式方程为
.
其中和为参数. 故
, .
从而
, , .
于是
,.
所以
Ⅰ.

例5  求球面r ={,,}(为常数)的第二基本形式.
解  由例3可知
={-,,0},
e={-,-,},
e={,,}.
,
,

={-,,0}{,,}
,

所以
Ⅱ．

例6  求正螺面r (为常数)的第二基本形式.
解  因为
r,
r.
.
,
e,
e.
，
，
 ,
.
所以
Ⅱ.

§3.4  曲面上第一、第二基本形式的几何

1. 曲面上曲线的弧长
    命题  设给定曲面上的曲线. 则的弧长
.
其中、和为第一类基本量.

2. 曲面上两方向的夹角
曲面上的切方向的表示法

给定曲面. 其上的一点的切方向可表示为
(1) ;
(2) ----指方向;
(3) ----指方向.
注  因为，故和可互相决定. 因而和实际上是同一方向的不同表示而已. 上式给出了这两种表示之间的内在联系.

命题  曲面上的两个切方向和的夹角
．
切方向和的夹角
．
证明 

定理3.4.1  曲面上一点处的两个方向和互相垂直
.
曲面上一点处的两个方向和互相垂直
.

定义  两条相交曲线在其交点处的切线的夹角称为这两条曲线在该交点处的夹角. 若该夹角为直角, 则称这两条曲线在该交点处正交.

    命题  曲面上的-曲线和-曲线的夹角
．

推论  曲面的曲纹坐标网是正交网(即任何-曲线和-曲线均正交).

3. 正交曲线族和正交轨线

定义  与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线.

命题  微分方程所代表的曲线族的正交轨线的微分方程是
．

4. 曲面的正交曲纹坐标网
定理3.4.2  在任意正则曲面上总可以取到正交的曲纹坐标网.

命题  若曲纹坐标网是正交网, 则
，,.
，．

5. 曲面域的面积
命题  曲面的面积
．

6. 曲面上曲线的曲率

定义3.4.2  设点是曲面上的曲线上的一点, 是在点的曲率, 是在点的主法向量. 则称为在点的曲率向量, 称为在上的点处沿曲线的切方向的法曲率. 当时, 规定法曲率.

推论1  在法曲率的定义中,
.
其中是和的夹角.

推论2  在法曲率的定义中, 设为, 为, . 则
,
.
其中, 是的自然参数, 为从转到的单位切向量的有向角(在切平面上, 以为横轴正向, 为纵轴正向, 建立坐标系). 于是是的函数.
证明  显然, 有
, .
设的副法向量为，与的夹角为. 则

于是
.

引理  对曲面上的一条曲线, 其弧长的微分满足
.
证明  .

    命题  曲面上在一点处沿任意方向()的法曲率
.
其中两类基本形式I和II均在P点取值.
证明  在上, 取经过点且在处的切方向为()的任一曲线. 沿用上述推论2中的符号. 则对, 有
.
但
,
故
, .
从而由推论2及上述引理, 有
.

法曲率的几何意义

定义  法截面和法截线

法截线的曲率向量. 于是和的夹角或.
当时，向方向弯曲, 且.
当时，向的反方向弯曲, .
总之，曲面上一点处沿某一切方向的法曲率，其绝对值等于相应法截线在这点的曲率，其符号视曲面在该方向上向的哪一侧弯曲而定：若曲面向的正侧弯曲，则法曲率为正；若曲面向的负侧弯曲，则法曲率为负.

定义  曲面在其上一点处沿某切方向的法曲率的倒数称为法曲率半径.

设点是曲面上的曲线上的一点, 是在点的曲率, 是在点的主法向量, 是和的夹角, 于是在点沿的切方向的法曲率. 令(在点的曲率半径). 则
．
该公式的几何意义可陈述为如下定理.

Meusnier（梅尼埃）定理  曲面上的曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有相同切线的法截线在同一点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影.

例1  在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大圆. 则梅尼埃定理显然成立.

    7. 曲面上一点处的主曲率
命题  给定曲面上的一点处的一个切方向(). 若从转到()的有向角为(在点的切平面上,以为横轴正向, 为纵轴正向, 建立坐标系), 则在处沿方向()的法曲率
.
其中、和均在取值.

定义  若在曲面上的一点处, 有，则该点称为曲面上的脐点. 若，则该点称为平点；若且，则该点称为圆点.
注1  脐点分为平点和圆点两种. 可以证明: 球面上的点都是圆点, 平面上的点都是平点.
注2  在脐点处, 沿任何方向的法曲率都相同, 且(上述命题). 在平点处, 沿任何方向的法曲率; 在圆点处, 沿任何方向的法曲率.

定义3.4.3  曲面上非脐点处法曲率的最大值和最小值称为曲面在这点处的主曲率. 使法曲率取得最值的切方向称为曲面在该点处的主方向.

命题  曲面上一点处的主曲率是方程

的两个根.

命题  主方向满足方程
.
注  曲面上一点若为非脐点, 则恰有两个主方向, 并且它们彼此正交（方向相反的两个主方向视为一个切方向）.
曲面上的一点若为脐点，则该点处的任何方向都是主方向.

定理3.4.4（主方向判定定理，罗德里格()定理）若方向(d)=：是主方向，则
,
其中，是沿方向()的法曲率；反之，若对于方向, 有
,
则()是主方向，并且，是沿方向()的法曲率．
证明  由
, ,
可得
.
若()是主方向, 则由上个命题, 可知. 因此. 设. 两边与作内积, 则. 所以
.
反之，若对于方向, 有, 则. 因此
．
所以()是主方向，且与前面同理可证, 是沿方向()的法曲率．

定义3.4.4  对于曲面上的一条曲线，若其上每一点处的切方向都是曲面在该点处的主方向，则此曲线称为曲面上的曲率线．

命题  曲面上的曲率线的微分方程是
．

定义  曲面上两族曲率线构成的曲线网称为曲率线网．

命题  在不含脐点的曲面上，经过参数的适当选择，总可以把曲纹坐标网取为曲率线网．
注  当曲纹坐标网是曲率线网时,

为-曲线(曲率线)的切方向,

为-曲线(曲率线)的切方向.
,
.
曲面的第一和第二基本形式分别简化为
，
.
沿方向的法曲率
，
其中是与第一主方向的夹角.和为主曲率.

定理3.4.5（欧拉（）公式） 若曲面一点处的方向与这一点处的第一主方向的夹角为，则该方向上的法曲率与这点的主曲率和之间有如下关系：
.
其中是第一主方向上的法曲率. 这个式子称为欧拉公式．
证明  在脐点处, 公式显然. 在非脐点的附近, 将无脐点出现. 于是可取曲面上的曲纹坐标网为曲率线网，从而有

其中角与曲纹坐标的选择无关．

8. 曲面的高斯曲率与平均曲率
定义  设和为曲面上一点处的两个主曲率. 则它们的乘积称为曲面在这一点的高斯曲率，通常用表示; 它们的平均数称为曲面在这点的平均曲率，通常用表示．

命题 
,
．

定义  曲面上的点根据其高斯曲率的取值可以分为如下三类：
1. 椭圆点：;
2. 双曲点：;
3. 抛物点：.

    命题
.
证明 
.
从而由定理3.2.6中的高斯方程, 得到
.

定理3.4.6  设给定两个曲面，. 若它们的第一基本形式和作为, 的二次型相等，即=，则这两个曲面有相同的高斯曲率．

例2  试求旋转曲面()的高斯曲率和平均曲率．
解
,
.
因此，，．
,
，
.
故

= d=，
.
.
于是
，
，
．
从而
，
，
，
．
所以
，
．

例3  对于给定曲面，若曲面上每一点处的平均曲率，则该曲面称为极小曲面．可以证明，以空间闭曲线为边界的曲面域中，面积最小的曲面是极小曲面，即平均曲率为0的曲面．极小曲面的实际模型是将空间中弯曲成闭曲线的铅丝浸入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面．
现在求极小旋转曲面，即的旋转曲面．由例2可知，
．
于是．由此可得
，
即
．
积分后可得
（为常数），
即
．
上式可以化为
．
积分后得，即
．
但这两式实为同一式:
.
为简便, 取(悬链线). 这里省略了积分常数，因为它只不过表示平行于旋转轴的平移而已．所以，曲面是由悬链线

旋转而成，称为悬链面．在形状上，它很像压扁的旋转单叶双曲面．

只供学习与交流