[学习]概率论与数理统计课件第1章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,华南农业大学理学院应用数学系,Probability,概率论,第一章 随机事件及其概率,第四章 随机变量的数字特征,第二章 随机变量及其概率分布,第三章 二维随机变量及其分布,随机事件及其概率,第一章,随机事件,随机事件的概率,随机事件的公理化定义及其性质,条件概率和乘法公式,全概率公式与,Bayes,公式,试验的独立性与独立试验概型,确定性现象,Certainty phenomena,在,101325,a,的大气压下，将纯净水加热到,100,时必然沸腾,垂直上抛一重物，该重物会垂直下落,随机现象,Random phenomena,掷一颗骰子，可能出现,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,点,抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上,两种不同的结果,什么是概率论,概率论就是研究,随机,现象的统计规律性的数学学科,随机试验,Random,Experiments,试验在相同的条件下可重复进行,每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可,以确定试验的所有可能结果,每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果,上抛一枚硬币,在一条生产线上，检测产品的等级情况,向一目标射击,实例,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做,随机事件,(random Events),，简称,事件,（,Events),随机事件通常用大写英文字母、等表示,例如,：,在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用,正面向上,表示,掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为,2,，,4,或,6,点，都导致“出现偶数点”发生。,随机事件,random Events,基本事件与样本空间,仅含一个样本点的随机事件称为,基本事件,样本点,Sample Point,样本空间,Sample Space,基本事件,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个,样本点,，记作,全体样本点组成的集合称为这个试验的,样本空间,，记作,即,含有多个样本点的随机事件称为,复合事件,=,|0,T,E4,:,在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命,E2,:,射手向一目标射击，直到击中目标为止,E3,:,从四张扑克牌,J,Q,K,A,任意抽取两张,。,E1,:,掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数,=1,2,=(J,Q),(Q,A),=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,写出下列试验的样本空间,点数：一维离散型随机变量,射击次数：一维离散型随机变量,寿命：一维连续型随机变量,二维离散型随机变量,在随机试验中，,随机事件,一般是由若干个基本事件组成的,A=,出现奇数点是由三个基本事件 “出现,1,点”、“出现,3,点”、“出现,5,点”组合而成的,随机事件,样,本空间,的任一子集,A,称,为,随机事件,随机事件,（,Random Events),例如，抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现,1,点”、“出现,2,点”、,.,、“出现,6,点”为该试验,的,基本事件,属于事件,A,的样本点出现，则称,事件,A,发生,。,特例,必然事件,Certainty Events,必然事件,样本空间,也是其自身的一个子集,也是一个“随机”事件,每次试验中必定有,中的一个样本点出现,必然发生,“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过,6”,为,必然事件。,例,记作,特例,不可能事件,Impossible Event,空集,也是样本空间的一个子集,不包含任何样本点,不可能事件,也是一个特殊的“随机”事件,不可能发生,“抛掷一颗骰子，出现的点数大于,6,”,是,不可能事件,例,记作,随机试验：抛掷硬币,Tossing a coin,掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况,试验的样本点和基本事件,随机试验,样本空间,H,：“正面向上”,T,：“反面向上”,=H,，,T,试验：掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况,随机事件,=,HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,A=“,正面出现两次”,=HHT,HTH,THH,B=“,反面出现三次”,=TTT,C=“,正反次数相等”,=,D=“,正反次数不等”,=,随机试验：抛掷两颗骰子,Rolling two die,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,随机试验,试验的样本点和基本事件,样本空间,（,1,，,1,），（,1,，,2,）,（,1,，,3,），（,1,，,4,），（,1,，,5,），（,1,，,6,），,.,，（,6,，,1,），（,6,，,2,），,.,，（,6,，,6,）,随机事件,试验：抛掷两颗骰子，观察出现的点数,A=“,点数之和等于,3”,=,（,1,，,2,），（,2,，,1,）,B=,“,点数之和大于,11,”,=6，6,C=,“,点数之和不小于,2,”,D=,“,点数之和大于,12,”,=,=,事件的关系与运算,给定一个随机试验，设,为其样本空间，事件，,A,k,(k=1,2,3,.),都是,的子集,事件,事件之间的关系与事件的运算,集合,集合之间的关系与集合的运算,事件发生必然导致事件发生,子事件,(,事件的包含,Contain,）,B,A,事件的样本点都是事件的样本点,例如,抛掷两颗骰子，观察出现的点数,A=,出现,1,点,B=,出现奇数点,事件是事件的,子事件,记作,相等事件（,Equal,）,A=B,B,A,事件,A,与事件,B,含有相同的样本点,例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”,与事件“出现,2,，,4,或,6,点”是相等事件。,事件,A,与事件,B,至少有一个发生,和事件,Union,由事件,A,与事件,B,所有样本点组成,多个事件的和,和事件,AB,发生,A,发生或,B,发生,积事件,Intersection,多个事件的积,由事件和事件的公共样本点组成,积事件,AB,发生 事件和事件同时发生,互斥事件,(,互不相容事件,),Exclusive,事件,A,与事件,B,不能同时发生,事件,A,与事件,B,没有公共的样本,点,事件,A,与事件,B,互斥,AB=,对立事件,Contrary,事件,A,不发生,是由所有不属于,A,的样本点组成,性质,记作,差事件,Difference,由属于事件,A,但不属于事件,B,的样本点组成,差事件,A-B,发生 事件,A,发生且事件,B,不发生,性质,完备事件组,完备事件组,概率论 集合论,样本空间（必然事件）,全集,不可能事件,空集,子事件,A,B,子集,A,B,和事件,A,B,并集,A,B,积事件,A,B,交集,A,B,差事件,A,-B,差集,A,-B,对立事件 补集,小 结,Venn,图演示集合的关系与运算,事件之间的运算律,交换律,结合律,分配律,摩根律,某射手向目标射击三次，用 表示第 次,击中目标,试用 及其运算符表示下列事件,：,（,1,）,三次都击中目标：,（,2,）,至少有一次击中目标,：,（,3,）,恰好有两次击中目标：,（,4,）,最多击中一次：,（,5,）,至少有一次没有击中目标：,（,6,）,三次都没有击中目标：,例：复合事件的表示,练一练,A,B,C,为同一样本空间的随机事件，,试用,A,，,B,，,C,的运算表示下列事件,1,）,A,，,B,，,C,都不发生,2,）,A,与,B,发生，,C,不发生,3,）,A,，,B,，,C,至少有一个发生,4,）,A,，,B,，,C,中恰有二个发生,5,）,A,，,B,，,C,中至少有二个发生,6,）事件,3,）的对立事件,第二节,随机事件的概率,随机事件的频率,Frequency,A=“,出现正面”,随机试验,抛掷一枚均匀的硬币,试验总次数,n,将硬币抛掷,n,次,随机事件,事件,A,出现次数,m,出现正面,m,次,随机事件的频率,德,.,摩 根,试 验 者,抛 掷 次 数,n,出现正面的次数,m,出现正面的频率,m/n,2048,1061,0.518,蒲 丰,4040,2048,0.5069,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,维 尼,0.4998,14994,30000,抛掷硬币的试验,Experiment of tossing coin,历史纪录,程序模拟,抛掷硬币模拟试验,随机事件,A,在相同条件下重复多次时，事件,A,发生的频率在一个固定的数值,p,附近摆动，随试验次数的增加更加明显,频率和概率,频率的稳定性,事件的概率,事件,A,的频率稳定在数值,p,，说明了数值,p,可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件,A,的概率,对任意事件，在相同的条件下重复进行,n,次试验，事件发 生的频率,m/n,，随着试验次数,n,的增大而稳定地在某个常数,附近摆动那么称,p,为事件的概率,概率的统计定义,当试验次数足够大时，可以用事件,A,发生的频率近似的代替事件,A,的概率,再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取,10,批种子做发芽试验，其结果如表,1-2,：,发芽率,发芽粒数,种子粒数,2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000,2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905,从表,1-2,可看出，发芽率在,0.9,附近摆动，随着,n,的增大，将逐渐稳定在,0.9,这个数值上,.,概率的统计定义,频率 稳定于概率,性质,（,1,）,（,2,）,（,3,）,若,A,，,B,互斥，则,有限性,每次试验中，每一种可能结果的发生的可能性相同，即,其中,.,古典概率模型,每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间,是个有限集,等可能性,设试验结果共有,n,个基本事件,1,，,2,，,.,，,n,，而且这些事件的发生,具有相同的可能性,古典概型的概率计算,确定试验的基本事件总数,事件由其中的,m,个基本事件组成,确定事件,A,包含的基本事件数,抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于,3,的偶数”的概率,=“,出现的点数是不小于,3,的偶数”,古典概率的计算：抛掷骰子,事件,A,试验,抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,样本空间,=4，6,=1，2，3，4，5，6,n=6,m=2,事件,A,的概率,设在,100,件产品中，有,4,件次品，其余均为正品,古典概率的计算：正品率和次品率,n,100,这批产品的次品率,任取,3,件，全是正品的概率,任取,3,件，刚好两件正品的概率,m,A,4,古典概率的计算：,有放回抽样和无放回抽样,设在,10,件产品中，有,2,件次品，,8,件正品,A=“,第一次抽取,正品，第二次抽取次品”,第一次抽取后，产品放回去,第一次抽取后，产品不放回去,古典概率的计算：投球入盒,把,3,个小球随机地投入,5,个盒内。设球与盒都是可识别的。,A=“,指定的三个盒内各有一球,B=“,存在三个盒，其中各有一球,a,b,c,d,e,古典概率的计算：生日问题,某班有,50,个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年,365,天）,分析,此问题可以用投球入盒模型来模拟,50,个学生,365,天,50,个小球,365,个盒子,相似地有分房问题,房子,盒子,人,小球,生日问题模型,某班有,n,个学生，,设一年,N,天,则,他们的生日各不相同的概率为,至少有两人生日相同的概率为,N,10,20,23,30,40,50,0.12,0.41,0.51,0.71,0.89,0.97,可能吗？,没问题！,古典概率的计算：抽签,10,个学生，以抽签的方式分配,3,张音乐会入场券，抽取,10,张外观相同的纸签，其中,3,张代表入场券,.,求,A=,第五个抽签的学生抽到入场券,的概率。,基本事件总数,基本事件总数,第五个学生抽到入场券,另外,9,个学生抽取剩下,9,张,所以抽签后千万别和别人说结果！,0.192,古典概率的计算：数字排列,用,1,，,2,，,3,，,4,，,5,这五个数字构成三位数,没有相同数字的三位数的概率,没有相同数字的三位偶数的概率,个位,百位十位,生活中的数字排列,彩票,买一注,7,位数中彩票的概率是？,小概率事件的存在,小概率事件的意义：飞机、火车、汽车的故障率都是小概率事件，小概率事件在一次试验中一般认为不会发生，但是试验次数多就会必然发生。,匹 配 问 题,某人写了,4,封信和,4,个信封，现随机地将信装入信封中，,求全部装对的概率。,解 设“全部装对”为事件,A,总的基本事件数为,4,！,A,所包含的基本事件数为,1,所以,概率的古典定义,性质,（,1,）,（,2,）,（,3,）,若,A,，,B,互斥，则,几何概型,Geometric Probability,将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。,事件,A,就是所投掷的点落在,S,中的可度量图形,A,中,几何度量,-,指长度、面积或体积,特点,有一个可度量的几何图形,S,试验,E,看成在,S,中随机地投掷一点,一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有,0,5),上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间,2,3,上的概率。,=2,3,=5-0=5,=3-2=1,几何概型的计算,甲乙二人相约定,6,：,00-6,：,30,在预定地点会面，先到的人要等候另一人,10,分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在,6,：,00-6,：,30,内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。,几何概型的计算：会面问题,解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为,x,及,y,（分钟）,则,二人会面,30,30,10,10,y,x,布丰的投针试验,公元,1777,年的一天，法国科学家,D,布丰（,Dbuffon1707,1788,）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。,试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针,2212,次，其中与平行线相交的有,704,次。总数,2212,与相交数,704,的比值为,3.142,。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率,的近似值！”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率,？这可是与圆半点也不沾边的呀！”,几何概型的计算：布丰投针问题,设平面上画着一些有相等距离,2a,（,a0,）的平行线，,向此平面上投一枚质地匀称的长为,2l,（,la,）的针，求,针与直线相交的概率。,d,2a,l,解 设针的中点离较近直线的距离,为,d,，针与较近直线的交角为,。,则,d,与,的可取值为,0da,0,所求概率为,针与直线相交,0d0),B,为样本空间的任意事件，,P,（,B,）,0,则有,(k=1,2,n),证明,贝叶斯公式,Bayes,Theorem,例,设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的,25%,，,35%,，,40%,，而且各车间的次品率依次为,5%,，,4%,，,2%,现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率,解,设,1,，,2,，,3,分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品 显然，,1,，,2,，,3,构成完备事件组依题意，有,(,1,),25%,(,2,)=35%,(,3,),40%,(,|,1,),5%,(,|,2,),4%,(,|,3,),2%,(,1,|,),甲箱中有,3,个白球，,2,个黑球，乙箱中有,1,个白球，,3,个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？,解,设,B=“,从乙箱中取出白球”，,A=“,从甲箱中取出白球”，,练一练,利用,Bayse,公式,爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是,否携带爱滋病病毒,.,设这种试验的,假阴性,比例为,5%,（即在携带病毒的人中，有,5%,的试验结果为阴,性），,假阳性,比例为,1%,（即在不携带病毒的人中，,有,1%,的试验结果为阳性）,.,据统计人群中携带病毒,者约占,1,，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该,人携带爱滋病毒的概率,.,（,P27,练习,33,）,讨论,（贝叶斯公式）,符号引入：“携带病毒”为,A,，“,实验呈阳性”为,B,，,则,求,已知在所有男子中有,5%,，在所有女子中有,0.25%,患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。,练一练,解：设,A=“,男子,”,，,B=“,女子,”,C=“,这人有色盲,”,设，为同一个随机试验中的两个随机事件,且（），则称,为在事件发生的条件下，事件发生的,条件概率,定义,条件概率,Conditional Probability,Sample space,Reduced sample space given event B,条件概率,P(A|B),的样本空间,乘法法则,推广,设,1,，,2,，,.,，,n,构成一个完备事件组，且,(,i,),0,，,i,1,，,2,，,.,，,n,，则对任一随机事件，有,全概率公式,设,A,1,，,A,2,，,A,n,构成完备事件组，且诸,P,（,A,i,）,0),B,为样本空间的任意事件，,P,（,B,）,0,则有,(k=1,2,n),证明,贝叶斯公式,Bayes,Theorem,事件的独立性与独立试验概型,解,一、事件的独立性引例,一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（,1,）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（,2,）第二次摸到黑球的概率。,例,A=,第一次摸到黑球,，,B=,第二次摸到黑球,则,设、为任意两个随机事件，如果,（）（）,即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立,显然，对于独立，则对于也独立,，,故称与相互独立,事件的独立性,independence,定义,事件的独立性 判别,事件与事件独立的充分必要条件是,证明,实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断,如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以,认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立,例如,一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是,等可能的，令,A=,一个家庭中有男孩、又有女孩,，,B=,一个家庭中最多有一个女孩,，对下列两种情形，,讨论,A,与,B,的独立性：（,1,）家庭中有两个小孩；,（,2,）家庭中有三个小孩。,解,情形（,1,）的样本空间为,=,（,男男），（男女），（女男），（女女）,此种情形下，,事件,A,、,B,是不独立的,。,例如,一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是,等可能的，令,A=,一个家庭中有男孩、又有女孩,，,B=,一个家庭中最多有一个女孩,，对下列两种情形，,讨论,A,与,B,的独立性：（,1,）家庭中有两个小孩；,（,2,）家庭中有三个小孩。,解,情形（,2,）的样本空间为,=,（,男男男），（男,男,女），（,男,女男），（女,男男,）,（,男,女女），（女,男女），（女女男），（女女女）,此种情形下，,事件,A,、,B,是独立的,。,直觉未必可信,必须深入研究,定理,下列四组事件，有相同的独立性：,证明 若,A,、,B,独立，则,所以，独立。,概念辨析,事件与事件独立,事件与事件互不相容,事件与事件为对立事件,例,甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为,0.6,，乙击中目标的概率为,0.5,。试计算,1,）两人都击中目标的概率；,2,）恰有一人击中目标的概率；,3,）目标被击中的概率。,解,设,A,表示“甲击中目标”，,B,表示“乙击中目标”,则,如果事件,A,，,B,，,C,满足,P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件,A,，,B,，,C,相互独立。,注意,事件,A,，,B,，,C,相互独立与事件,A,，,B,，,C,两两独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反之不一定。,有限多个事件的独立性,例,设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每,一个四面体标有号码,1,，,2,，,3,，,4,。令,A=,第一个四面体的触地面为偶数,B=,第二个四面体,的触地面为,奇数,C=,两个四面体,的触地面,同时,为,奇数，或者同时为偶数,试讨论,A,、,B,、,C,的相互独立性。,A=,第一个,为偶数,；,B=,第二个,为奇数,C=,两个,同时为奇数，或者同时为偶数,解,试验的样本空间为,所以，,A,、,B,、,C,两两独立,，但,总,起来讲不独立,。,定义,共有（,2,n,-n-1,）,个等式,对满足相互独立的多个事件，有,例,加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为,2%,，,1%,，,5%,，假设各道工序是互不影响的求加工出来的零件的次品率,解,设,1,，,2,，,3,分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：,1,2,3,相互独立，且,（,1,）,2%,（,2,）,1%,（,3,）,5%,又设表示加工出来的零件是次品,则,A,1,2,3,方法 （用对立事件的概率关系）,1,(1,0.02)(1,0.01)(1,0.05),0.0783,好！,将试验,E,重复进行,n,次,若各次试验的结果互不影响,则称这,n,次试验是相互独立的,.,设随机试验,E,只有两种可能的结果,:A,及,且,P(A)=p,在相同的条件下将,E,重复进行,n,次独立试验,则称这一串试验为,n,重贝努利试验,，,简称贝努利试验,(,Bernoulli trials,).,贝努利试验,Bernoulli trials,相互独立的试验,贝努利试验,例,一批产品的次品率为,5%,，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，连取,4,次求,4,次中恰有,2,次取到次品的概率,设 恰好有,2,次取到次品,取到次品，,则 取到正品,分析,n=4,的,Bernoulli,试验,i,=,第,i,次抽样抽到次品,因为,1,，,2,，,3,，,4,相互独立，所以,四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有,贝努利定理,设在一次试验中事件发生的概率为,p(0p0),B,为样本空间的任意事件，,P,（,B,）,0,则有,(k=1,2,n),证明,贝叶斯公式,Bayes,Theorem,设、为任意两个随机事件，如果,（）（）,即事件发生的可能性不受事件的影响，则称事件对于事件独立,显然，对于独立，则对于也独立,，,故称与相互独立,事件的独立性,independence,定义,事件的独立性 判别,事件与事件独立的充分必要条件是,证明,实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断,如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中”可以,认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立,将试验,E,重复进行,n,次,若各次试验的结果互不影响,则称这,n,次试验是相互独立的,.,设随机试验,E,只有两种可能的结果,:A,及,且,P(A)=p,在相同的条件下将,E,重复进行,n,次独立试验,则称这一串试验为,n,重贝努利试验,，,简称贝努利试验,(,Bernoulli trials,).,贝努利试验,Bernoulli trials,相互独立的试验,贝努利试验,贝努利定理,设在一次试验中事件发生的概率为,p(0p1),，,则在,n,次贝努里试验中,恰好发生,k,次,的概率为,(k 0，1，2，.，n),其中,定理,二项概率,