高中三角函数知识点与常见习题类型解法.pdf

1三角函数知识点与常见习题类型解法三角函数知识点与常见习题类型解法1 1、任意角的三角函数：、任意角的三角函数：（1）弧长公式：R 为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。Ral al（2）扇形的面积公式：R 为圆弧的半径，为弧长。lRS21l（3）同角三角函数关系式：倒数关系：商数关系：，1cottanaaaaacossintanaaasincoscot平方关系：1cossin22aa（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指的是整数的奇偶性；k2k函 数xxsinxcosxtanxcotaasinacosatanacota2asinacosatanacota2acosasinmacotmatanm2 2、两角和与差的三角函数：、两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：sinsincoscos)cos(aamsincoscossin)sin(aaa tantan1tantan)(tanaaaam 【注：公式的逆用或者变形】（2）二倍角公式：aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa aaa2tan1tan22tan 从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：，22cos1cos2aa22cos1sin2aa（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：，2cos12sinaa2cos12cosaaaaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan23 3、三角函数的图像和性质：（其中、三角函数的图像和性质：（其中）zk 三角函数xysinxycosxytan图像定义域（-，+）（-，+）2 kx值域-1,1-1,1（-，+）最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇单调性单调递增22,22kk单调递减232,22kk单调递增2,)12(kk 单调递减)12(,2(kk单调递增)2,2(kk对称性对称轴：2 kx对称中心：)0,(k对称轴：kx 对称中心：)0,2(k对称中心：)0,2(k零值点kx 2 kxkx 最值点1,22maxykx1,22maxykx1,2maxykx1,)12(maxykx无4、函数函数的图像与性质：的图像与性质：)sin(xAy（本节知识考察一般能化成形如图像及性质）)sin(xAy（1）函数和和的周期都是)sin(xAy)cos(xAy2T（2）函数和和的周期都是)tan(xAy)cot(xAyT（3）五点法作的简图，设，取 0、来求相应的值)sin(xAyxt2232x以及对应的值再描点作图。y（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。x3【函数的平移变换】：将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减）)0)()(aaxfyxfy)(xfy xa 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）)0()()(bbxfyxfy)(xfy yb【函数的伸缩变换】：将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍)0)()(wwxfyxfy)(xfy w1（缩短，伸长）1w10 w 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（)0)()(AxAfyxfy)(xfy 伸长，缩短）1A10 A【函数的对称变换】：)将图像绕轴翻折 180（整体翻折）；)()(xfyxfy)(xfy y（对三角函数来说：图像关于轴对称）x将图像绕轴翻折 180（整体翻折）；)()(xfyxfy)(xfy x（对三角函数来说：图像关于轴对称）y 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶)()(xfyxfy)(xfy yy函数局部翻折）；保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）)()(xfyxfy)(xfy xxx5 5、方法技巧、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换；如等。o45tancottancossin122xxaa（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：；aaaaaa222222cos1cos)cos(sincos2sin配凑角：；等。)(22（3）降次与升次；切化弦法。（4）引入辅助角。，这里辅助角所在象限由)cos()sin(cossin2222bababay的符号确定，角的值由确定。ba、abtan【典型例题】：1、已知，求的值2tanxxx cos,sin4解：解：因为，又，2cossintanxxx1cossin22aa联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2、求的值。)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(oooooo解：解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(ooooooooooo.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tanoooooo3、若，求的值,2cossincossinxxxxxxcossin解：解：法一：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx得到，又，联立方程组，解得xxcos3sin1cossin22aa，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为,2cossincossinxxxx所以，)cos(sin2cossinxxxx所以，所以，22)cos(sin4)cos(sinxxxxxxxxcossin84cossin215所以有103cossinxx4、求证：。xxxx2222sintansintan证明：证明：法一：右边；222222222sintan)cos1(tan)cos(tantansintanxxxxxxxxx法二：左边=22222222222sintan)cos1(tancostantan)cos1(tansintanxxxxxxxxxxx5 5、求函数在区间上的值域。)62sin(2xy2,0解：解：因为，所以，由正弦函数的图象，得到20 x20 x67626x，所以1,21)62sin(2xy2,1)62sin(2xy6 6、求下列函数的值域（1）；（2）)2cossin2xxy)cos(sincossin2xxxxy解：解：（1）2cossin2xxy=3)cos(cos2coscos122xxxx6令，则xtcos,413)21(413)21(3)(,1,1222ttttyt利用二次函数的图象得到.413,1 y(2)cos(sincossin2xxxxy=)cos(sin1)cos(sin2xxxx令，则xxtcossin2)4sin(x2,2t则利用二次函数的图象得到,12tty.21,45y7 7、若函数y=Asin(x+)(0，0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之)2,2(间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。解：解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是)2,2(2A个周期，这样求得，T=16，所以4144T8又由，得到可以取)28sin(22).48sin(2.4xy8 8、已知函数f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求f(x)的最小正周期；()若求f(x)的最大值、最小值数的值,2,0 xxxycos3sin1域7解：解：()因为f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x)42sin(2)24sin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为()若，则，所以当x=0 时，f(x)取最大值为当2,0 x43,4)42(x;1)4sin(2时，f(x)取最小值为83x.29、已知，求（1）；（2）的值.2tansincossincos22cos2cos.sinsin解：（1）；2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin .324122221cossin2cossincossin2222说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。10、求函数的值域。21 sincos(sincos)yxxxx 解：设，则原函数可化为sincos2sin()224txxx 周8，因为，所以22131()24yttt 22t 周当时，当时，2t max32y12t min34y所以，函数的值域为。3324y周11、已知函数；（1）求的最小正周期、的最大值2()4sin2sin22f xxxxR周()f x()f x及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。()f x8x 解：22()4sin2sin222sin2(1 2sin)f xxxxx 2sin22cos22 2sin(2)4xxx(1)所以的最小正周期，因为，()f xTxR所以，当，即时，最大值为；2242xk38xk()f x2 2(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有()f x8x xR成立，()()88fxfx因为，()2 2sin2()2 2sin(2)2 2cos28842fxxxx，()2 2sin2()2 2sin(2)2 2cos28842fxxxx 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。()()88fxfx()f x8x 12、已知函数 y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,2123（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？9解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1=(2cos2x1)+（2sinxcosx）[phone]=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)[phone]=sin(2x+)+21645所以 y 取最大值时，只需 2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。626所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x=+k,kZ6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移，得到函数 y=sin(x+)的图像；66（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数 y=sin(2x+)的图216像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数 y=sin(2x+)的21216图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数 y=sin(2x+)+的图像。4521645综上得到 y=cos2x+sinxcosx+1 的图像。2123历年高考综合题历年高考综合题一、选择题：一、选择题：1、（08 全国一 6）是（）2(sincos)1yxxA、最小正周期为的偶函数B、最小正周期为的奇函数22C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数2、（08 全国一 9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（）cos3yxsinyxA、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位6610C、向左平移个长度单位D、向右平移个长度单位56563、(08 全国二 1)若且是，则是（）sin0tan0A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角4、（08 全国二 10）函数的最大值为（）xxxfcossin)(A、1 B、C、D、2235、（08 安徽卷 8）函数图像的对称轴方程可能是（）sin(2)3yxA、B、C、D、6x 12x 6x12x6、（08 福建卷 7）函数y=cosx(xR)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的2解析式为()A、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx7、（08 广东卷 5）已知函数，则是（）2()(1 cos2)sin,f xxx xR()f xA、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数2C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数28、（08 海南卷 11）函数的最小值和最大值分别为（）()cos22sinf xxxA、3，1B、2，2C、3，D、2，32329、（08 湖北卷 7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F，若F的一条对sin()yx3称轴是直线则的一个可能取值是（）,1x A、B、C、D、5125121112111210、（08 江西卷 6）函数是（）sin()sin2sin2xf xxxA、以为周期的偶函数 B、以为周期的奇函数42C、以为周期的偶函数 D、以为周期的奇函数2411、若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值xa()sinf xx()cosg xxMN，MN为 （）A、1 B、C、D、22312、（08 山东卷 10）已知，则的值是（）4cossin3657sin611A、B、C、D、2 352 35454513、08 陕西卷 1）等于（）sin330A、B、C、D3212123214、（08 四川卷 4）()2tancotcosxxx、tan xsin xcosxcot x15、（08 天津卷 6）把函数sin()yx xR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A、sin 23yxxR，B、sin26xyxR，C、sin 23yxxR，D、sin 23yxxR，16、（08 天津卷 9）设5sin7a，2cos7b，2tan7c，则（）A、abcB、acb C、bca D、bac17、（08 浙江卷 2）函数2(sincos)1yxx的最小正周期是（）A、2 B、C、32 D、218、（08 浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（）A、0 B、1 C、2 D、4二、填空题二、填空题19、（08 北京卷 9）若角的终边经过点，则的值为 (12)P，tan220、（08 江苏卷 1）的最小正周期为，其中，则=cos6f xx5021、（08 辽宁卷 16）设，则函数的最小值为 02x，22sin1sin2xyx22、（08 浙江卷 12）若3sin()25，则cos2_。23、（08 上海卷 6）函数f(x)sin x+sin(+x)的最大值是 3212三、解答题三、解答题24、（08 四川卷 17）求函数的最大值与最小值。2474sin cos4cos4cosyxxxx25、（08 北京卷 15）已知函数（）的最小正周期为2()sin3sinsin2f xxxx0；（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围()f x203，26、（08 天津卷 17）已知函数（）的最小值正周22s(incoss1)2cof xxxx,0 xR期是；（）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合2()f x()f xx27、（08 安徽卷 17）已知函数，()cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数在区间上的值域()f x()f x,12 21328、（08 陕西卷 17）已知函数2()2sincos2 3sin3444xxxf x（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，()f x()3g xfx()g x并说明理由14参考答案：参考答案：一、一、选择题：1 110：D、C、C、B、B、A、D、C、9、A、A；1120:11、C、13、B、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C；二、填空题：19、20、10 21、22、23、2。343257三、解答题：三、解答题：24、解：2474sin cos4cos4cosyxxxx2272sin24cos1 cosxxx2272sin24cossinxxx272sin2sin 2xx21 sin26x由于函数在中的最大值为：216zu11，2max1 1610z 最小值为：2min1 166z故当时取得最大值，当时取得最小值sin21x y10sin21x y6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；2525、解：（）1 cos23()sin222xf xx311sin2cos2222xx1sin 262x因为函数的最小正周期为，且，()f x0所以，解得22115（）由（）得1()sin 262f xx因为，所以，所以，203x72666x1sin 2126x因此，即的取值范围为130sin 2622x()f x302，2626、解：（）242sin224sin2cos4cos2sin222cos2sin12sin22cos12xxxxxxxxf由题设，函数的最小正周期是，可得，所以 xf22222（）由（）知，244sin2xxf当，即时，取得最大值 1，所以函数的最大kx2244Zkkx21644sinx xf值是，此时的集合为22xZkkxx,216|27、解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f xxxxQ 13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx 2213cos2sin2sincos22xxxx 13cos2sin2cos222xxx sin(2)6x2T2周周（2）5,2,12 2636xx Q因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()sin(2)6f xx,12 3,3 2 16所以当时，取最大值 1；3x()f x又，31()()12222ff Q当时，取最小值；所以 函数 在区间上的值域为12x()f x32()f x,12 23,1228、解：（）()f xQsin3cos22xx2sin23x的最小正周期()f x2412T 当时，取得最小值；当时，取得最大值 2sin123x()f x2sin123x()f x（）由（）知又()2sin23xf x()3g xfx1()2sin233g xx2sin22x2cos2xQ()2cos2cos()22xxgxg x函数是偶函数()g x