高等数学课件对坐标曲线积分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同济版高等数学课件,*,目录 上页 下页 返回 结束,高等数学课件对坐标曲线积分,2026/10/5,同济版高等数学课件,2026/10/5,同济版高等数学课件,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.,引例:,变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在,xOy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功,W,.,2026/10/5,同济版高等数学课件,1),“,大化小,”.,2),“,常代变,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,2026/10/5,同济版高等数学课件,3),“,近似和,”,4),“,取极限,”,(其中,为,n,个小弧段的,最大长度),2026/10/5,同济版高等数学课件,2.定义.,设,L,为,xOy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,2026/10/5,同济版高等数学课件,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,的曲线积分;,称为对,y,的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,2026/10/5,同济版高等数学课件,3.性质,(1)若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2)用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,2026/10/5,同济版高等数学课件,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,证明:,下面先证,存在,且有,2026/10/5,同济版高等数学课件,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为,L,为光滑弧,同理可证,2026/10/5,同济版高等数学课件,特别是,如果,L,的方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,定理,2026/10/5,同济版高等数学课件,例1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法1,取,x,为参数,则,解法2,取,y,为参数,则,从点,的一段.,一质点在力场F 作用下由点,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,解:(1)取L的参数方程为,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,则两类曲线积分有如下联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,为折线 ABCOA(如图),计算,从 O x 轴正向看去为逆时针方向,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,求 F 所作的功 W.,改为与OM 垂直且与,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,为折线 ABCOA(如图),计算,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,2026/10/5,同济版高等数学课件,例2.,计算,其中,L,为,(1)半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点,A,(,a,0)沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解:,(1)取,L,的参数方程为,(2)取,L,的方程为,则,则,2026/10/5,同济版高等数学课件,例3.,计算,其中,L,为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:,(1)原式,(2)原式,(3)原式,2026/10/5,同济版高等数学课件,例4.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中,为,2026/10/5,同济版高等数学课件,例,5.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向.,解:,取,的参数方程,2026/10/5,同济版高等数学课件,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,的参数方程为,已知,L,切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,2026/10/5,同济版高等数学课件,类似地,在,空间曲线,上的两类曲线积分的联系是,令,记,A,在,t,上的投影为,2026/10/5,同济版高等数学课件,二者夹角为,例,6.,设,曲线段,L,的长度为,s,证明,续,证:,设,说明:,上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在,L,上连,2026/10/5,同济版高等数学课件,例,7,.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,2026/10/5,同济版高等数学课件,1.定义,2.性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,2026/10/5,同济版高等数学课件,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,2026/10/5,同济版高等数学课件,4.,两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,:,2026/10/5,同济版高等数学课件,原点,O,的距离成正比,思考与练习,1,.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,(解见 P196 例5),F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功.,思考:,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,(解见 P196 例5),在有向光滑弧 L 上有定义且,动过程中变力所作的功W.,特别是,如果 L 的方程为,则两类曲线积分有如下联系,(1)半径为 a 圆心在原点的,曲线段 L 的长度为s,证明,把L分成 n 个小弧段,上半圆周,方向为逆时针方向;,从 O x 轴正向看去为逆时针方向,二、对坐标的曲线积分的计算法,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,则两类曲线积分有如下联系,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,记 A 在 t 上的投影为,2026/10/5,同济版高等数学课件,2.,已知,为折线,ABCOA,(如图),计算,提示:,2026/10/5,同济版高等数学课件,作业,P198 3,(2),(4),(6),(7),;,4;5;7;8,第三节,2026/10/5,同济版高等数学课件,备用题,1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到,xOy,面的距离成反比.,沿直,求,F,所作的功,W,.,已知,F,的方向指,一质点在力场,F,作用下由点,2026/10/5,同济版高等数学课件,2.,设曲线,C,为曲面,与曲面,从,O x,轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线,C,的参数方程;,(2)计算曲线积分,解:,(1),2026/10/5,同济版高等数学课件,(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,