高阶微分方程方程组.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高阶微分方程方程组,教学要求（基本理论与方法）,一阶,线性方程组,的基本理论与解的性质,线性方程组的向量表示和存在唯一性,齐次与非齐次 线性方程组解的性质和结构,基解矩阵及常数变易公式,常系数,线性方程组微分方程的求解,exp(At),的定义与性质,exp(At),的三种计算方法和两种特例,常系数非齐次线性,方程组的求解,当No0时（）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；,齐次与非齐次 通解结构（基本解组）,欧拉方程的基本解组-变换,为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。,二阶线性方程-幂级数解法*,常系数线性方程组微分方程的求解,二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）,特征值（向量）方法,（1）若0，可能出现以下情形：,齐次,/,非齐次 线性方程组,解的性质和通解结构,解的性质（叠加原理）；,解的线性相关,/,无关性及判别,（,Wronsky,行列式,）,齐次与非齐次 通解结构（基本解组）,基解矩阵及其性质、常数变易公式,基本概念：,线性、齐次与非齐次、解（特解与通解）、初值问题、二者关系、存在唯一性,向量表示：,向量（矩阵）函数及微积分、范数、向量序列与级数,高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）,矩阵指数与基解矩阵,矩阵指数,exp A,的定义与性质,基解矩阵表示,基解矩阵的计算方法,基解矩阵与特征值（向量）关系,特征值（向量）方法,若当块方法,递推公式方法,高阶,(,线性,),微分方程的求解,常系数齐次线性,方程（欧拉方程）的,特征根法,常系数非齐次线性,方程的,比较系数法,一般非齐次线性,方程的,常数变易法,一般高阶（线性）方程的,降解法,*,(,了解,),二阶方程的,幂级数法,（,Bessel,方程）,常系数齐次线性微分方程的通解,-,特征根法,基本解组,复解实值转化,欧拉方程的基本解组,-,变换,特征方程,基本解组,非齐次常系数线性方程的特解,-,比较系数法,类型,类型,II,特解,特解,待定特解中的系数，将特解代入方程，比较方程两端,求出系数，从而得到特解（待定系数法！）,n-k,阶方程,n-1,阶方程,n-1,阶方程,并反复,k,次，,得,n-k,阶方程,方程,变换,结果,一般高阶方程,-,降阶法,二阶线性方程（已知非零解求另一非线性无关解）,为齐次方程的基本解组，则通解：,求一般非齐次线性方程的特解,-,常数变易法,假设非齐次的某特解：,幂级数解法,Bssel,方程的通解公式和,Bessel,函数,二阶线性方程,-,幂级数解法*,齐次：基本解组,非齐次：特解,常系数齐次：特征根法,常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法,幂级数法*、分解法,变系数方程（非齐次）：降阶法、幂级数法*,1,计算特征值，,n,个无关的特征向量；,（,I,）,n,个线性无关特征向量情形,2,求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；,（,2,）求解子空间,U,j,并分解：,（,1,）求,A,的特征值、特征向量,（,3,）,仅一个特征值利用 公式,(5.53);,（,4,）,（,II,）,基解矩阵的计算方法,-,递推法,非线性方程组（）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:,（1）求A的特征值、特征向量,高阶线性方程与方程组的基本概念与理论（与对比）,特别，当n=2时，称相空间为相平面。,当c1=0时，零点稳定,二阶线性方程-幂级数解法*,欧拉方程的基本解组-变换,有两个线性无关的特征向量,由于xo是平衡点，故f(xo)=0。,若q0，120。,综上所述：仅当p0时，（）零点才是渐近稳定的；,常系数非齐次：比较系数法、常数变易法、降阶法,非齐次常系数线性方程的特解-比较系数法,exp(At)的三种计算方法和两种特例,非线性方程组（）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立:,利用递推法计算基解矩阵,结论,其中,是下列初值问题的解,(III),基解矩阵的计算方法,-,递推法,练习,稳定性问题,在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。,一般的微分方程或微分方程组可以写成：,定义 称微分方程或微分方程组,为自治系统或动力系统。,（,3.28,）,若方程或方程组,f,(,x,)=0,有解,X,o,，,X=X,o,显然满足（）。,称点,X,o,为微分方程或微分方程组（,3.28),的平衡点或奇点。,例,7,本章第,2,节中的,Logistic,模型,共有两个平衡点：,N,=0,和,N,=,K,，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为,N,o,=0,时的解而后者为,N,o,=,K,时的解。,当,N,o,K,时，则位于,N,=,K,的上方。从图,3,-,17,中不难看出，若,N,o,0,，积分曲线在,N,轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于,K,。这说明，平衡点,N,=0,和,N,=,K,有着极大的区别。,图,3-17,定义,1,自治系统 的相空间是指以（,x,1,x,n,）为坐标,的空间,R,n,。,特别，当,n,=2,时，称相空间为相平面。,空间,R,n,的点集,(,x,1,x,n,)|,x,i,=,x,i,(,t,),满足,(3.28),，,i,=1,n,称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。,定义,2,设,x,0,是（）的平衡点，称：,（,1,）,x,0,是稳定的，如果对于任意的,0,，存在一个,0,，只要,|,x,(0)-,x,0,|,，就有,|,x,(,t,)-,x,0,|,对所有的,t,都成立。,（,2,）,x,0,是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。,微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。,（,3,）,x,0,是不稳定的，如果（,1,）不成立。,根据这一定义，,Logistic,方程的平衡点,N=K,是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点,N=0,则是不稳定的。,解析方法,定理,1,设,x,o,是微分方程 的平衡点：,若,则,x,o,是渐近稳定的,若,则,x,o,是渐近不稳定的,证 由泰勒公式，当,x,与,x,o,充分接近时，有：,由于,x,o,是平衡点，故,f,(,x,o,)=0,。若 ，则当,x,0,，从而,x,单增；当,x,x,o,时，又有,f,(,x,)0,，可能出现以下情形：,若,q,0,，,1,2,0,。,当,p,0,时，,零点不稳定；,当,p,0,时，零点稳定,若,q,0,，,1,2,0,时，零点不 稳定,当,p,0,时，零点稳定,（,2,）,0,，零点稳定,若,a,=0,，有零点为中心的周期解,综上所述：仅当,p,0,时，（）零点才是渐近稳定的；当,p,=0,且,q,0,时（）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。,非线性方程组（）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立,:,定理,2,若（）的零点是渐近稳定的，则（）的平衡点,也是渐近稳定的；若（）的零点是不稳定的，则（）,的平衡点也是不稳定的。,