平面曲线的方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,返回目录,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1 平面曲线的方程,2.2 曲面的方程,2.3 空间曲线的方程,第二章 轨迹与方程,返回网页,2.1平面曲线的方程,当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：,满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程，那么这个方程就叫做这条曲线的方程，而这条曲线叫做这个方程的图形,满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,第二章 轨迹与方程,满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；,例1 写出 轴的方程.,1-1）即为所求圆的方程,解根据圆的定义，圆上任意点(x,y)的特征性质，即(x,y)在圆上的充要条件是到圆的距离等于半径，即 =应用两点距离公式，两边平方得x2+y2=2 （2.,25)叫做曲面的矢量式参数方程，其中为参数.,例1 求连结两点 和 的线段的垂直平分面的方程.,25)完全决定，那么我们就把表达式(2.,例1,求圆心在原点，半径为的圆的方程,解根据圆的定义，圆上任意点(x,y)的特征性质，即(x,y)在圆上的充要条件是到圆的距离等于半径，即 =应用两点距离公式，两边平方得x2+y2=2 （2.1-1）,所以（2.1-1）即为所求圆的方程,完全类似地，可以求得圆心在(a,b)半径为的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=2.,例2 求在 坐标面上，半径等于 ，圆心为原点的圆的方程.,例2 求在 坐标面上，半径等于 ，圆心为原点的圆的方程.,如果 ，那么(2.,如果 ，那么(2.,例2 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点的轨迹,1-4)叫做曲线的矢量式参数方程，其中的t为参数换句话说，(2.,如果 ，那么(2.,满足方程（1）和（2）的(x,y,z)是曲面上的点的坐标；,23)表示无实图形.,1-1）即为所求圆的方程,（2）,反过来，在这个曲面上的任意点总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由的值通过(2.,反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值 t0(at0b)通过(2.,反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值 t0(at0b)通过(2.,例1 求连结两点 和 的线段的垂直平分面的方程.,若取t(atb)的一切可能取的值，由,(2.1-4),表示的径矢,r,(t)的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值 t,0,(at,0,b)通过,(2.1-4),完全决定，那么就把表达式,(2.1-4),叫做曲线的矢量式参数方程，其中的t为参数换句话说，,(2.1-4),叫做一条曲线的矢量式参数方程，如果当t在区间atb内变动时，径矢,r,(t)的终点,P,(x(t),y(t)就描绘出这条曲线来,例2 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点的轨迹,例3（内旋轮线）已知大圆半径为，小圆半径为，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹。此时动点的轨迹叫做内旋轮线（或称内摆线）.,例4 曲线方程 为四尖点星形式（图2-7）。,例5（圆的渐开线，切展线）把线绕在一个固定圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转以把线从圆周上解开，放出来的线成为圆的切线，求线头的轨迹。,空间曲面方程的意义和平面曲线的方程是一样的，那就是在空间建立坐标系之后，把曲面（作为点的轨迹）上的点的特征性质，用点的坐标 与 之间的关系式来表达，一般是用方程,（1）,或,（2）,反过来，每一个形如（1）和（2）的方程通常表示空间的一个曲面.,2.2 曲面的方程,例1 求连结两点 和 的线段的垂直平分面的方程.,如果一个方程（1）和（2）与一个曲面有着关系：,满足方程（1）和（2）的(x,y,z)是曲面上的点的坐标；,曲面上的任何一点的坐标满足方程（1）和（2），那么方程（1）和（2）就叫做曲面方程，而曲面叫做方程（1）和（2）的图形,.,如果 ，那么(2.23)表示实的球面.,如果 ，那么(2.23)表 示空间一点.,如果 ，那么(2.23)表示无实图形.,如果,的一切可能取的值，由(2.25)表示的,径矢的终点总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由的值通过(2.25)完全决定，那么我们就把表达式(2.25)叫做曲面的矢量式参数方程，其中为参数.,例1 求中心在原点，半径为 的球面的参数方程.,例2 求以轴为对称轴，半径为 的圆柱面的参数方程.,2.3 空间曲线的方程,空间曲线，可以看成两个曲面的交线.,设,（2.41）,是这样的两个曲面方程，它们相交于曲线 .这样，曲线 上的任意点，同时在两曲面上，它的坐标就满足方程组（2.41）；反过来满足方程组（2.41）的任何一组解所决定的点，同时在两曲面上，即在两曲面的交线上，因此方程组（2.41）表示一条空间曲线 的方程，我们把它叫做空间曲线的一般方程.,例1 写出 轴的方程.,例2 求在 坐标面上，半径等于 ，圆心为原点的圆的方程.,例3 一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动，另一方面作平行于轴线的直线运动，其速度与角速度成正比，求这个质点运动的轨迹方程.（圆柱螺旋线）,