数值计算方法(第6章).ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第6章,常微分方程数值解法,绪论,在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。,6.1 初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,1 初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,一阶常微分方程组的R-K方法,四阶Runge-Kutta方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,Runge-Kutta方法,1 初值问题的Euler方法,一阶常微分方程组的R-K算法,初值问题的Euler方法,Runge-Kutta方法,1 解一阶常微分方程组的R-K方法,第6章,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,基于Taylar展开式的方法,5 常微分方程边值问题的数值解法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,x,Euler法y,改进的Euler法y,精确解,0,1.000000,1.000000,1.000000,0.1,1.000000,1.095909,1.095445,0.2,1.191818,1.184097,1.183216,0.3,1.277438,1.266201,1.264911,0.4,1.358213,1.343360,1.341641,0.5,1.435133,1.416402,1.414214,0.6,1.508966,1.485956,1.483240,0.7,1.580338,1.552514,1.549193,0.8,1.649783,1.616475,1.612452,0.9,1.717779,1.678166,1.673320,1.0,1.784770,1.737867,1.732051,6.1.2 误差概述,误差概述,误差概述,误差概述,6.1.3 数值稳定性分析,数值稳定性分析,定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。,隐式Euler法是A稳定的。,6.2 Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,6.2.2 四阶Runge-Kutta方法,四阶Runge-Kutta方法,6.2.3 R-K法的稳定性,R-K法的稳定性,R-K法的稳定性,6.2.5 隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,6.3 线形多步法,单步法主要依据y,n,的信息去计算y,n+1,。线性多步法是想依据y,n,，y,n-1,，y,n-r,(r1)的信息去计算y,n+1,。,考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为,6.3.1 基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,Adams预估校正法,预估,校正,并取,6.3.2 基于Taylar展开式的方法,基于Taylar展开式的方法,基于Taylar展开式的方法,6.4 一阶常微分方程组数值解法,在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。,由此可知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。,6.4.1 解一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K算法,一阶常微分方程组的R-K方法,6.4.2 刚性方程组,刚性方程组,刚性方程组,6.5 常微分方程边值问题的数值解法,设二阶线性常微分方程为,常见边界条件有三类：,6.5.1 差分方程的建立,差分方程的建立,差分方程的建立,差分方程的建立,算法,二阶常微分方程边值问题的差分算法,四阶Runge-Kutta方法,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,Runge-Kutta方法,Adams预估校正法,5 常微分方程边值问题的数值解法,一阶常微分方程组的R-K方法,初值问题的Euler方法,一阶常微分方程组的R-K方法,基于Taylar展开式的方法,Runge-Kutta方法,1 解一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为,在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。,例题,例6.5.1 用差分法求解边值问题,例题,x,y,y(x),e=y(x)-y,1.0,0.5,0.5,0,1.1,0.72798569,0.72637532,-1.610*10,-3,1.2,1.0140390,1.0113430,-2.696*10,-3,1.3,1.3678241,1.3644456,-3.378*10,-3,1.7,3.6896236,3.6865656,-3.058*10,-3,1.8,4.5635316,4.5612288,-2.303*10,-3,1.9,5.5854269,5.5841425,-1.284*10,-3,2.0,6.7725887,6.7725887,0,