2019届江苏专版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用19利用导数研究函数的最(极)值讲义文.ppt

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身,激活思维,5,2.,(,选修,11P76,练习,2,改编,),已知函数,f,(,x,),x,3,x,2,x,a,，且,f,(,x,),的极小值为,1,，则,f,(,x,),的极大值为,_,4.,(,选修,22P34,习题,8,改编,),函数,y,x,sin,x,，,x,0,，,2,的值域为,_,【,解析,】,因为,y,1,cos,x,0,，所以函数,y,x,sin,x,在,0,，,2,上是单调增函数，所以值域为,0,，,2,0,，,2,5.(,选修,22P34,习题,7,改编,),若函数,y,3,x,3,9,x,a,有两个零点，则实数,a,_.,【,解析,】,由,y,9,x,2,90,，得,x,1,或,x,1,，所以当,x,1,时，,y,极小值,a,6,；当,x,1,时，,y,极大值,a,6,，所以,a,6,0,或,a,6,0,，所以,a,6.,6,1.,函数的极值,若在函数,y,f,(,x,),的定义域,I,内存在,x,0,，使得在,x,0,附近的所有点,x,，都有,_,，则称函数,y,f,(,x,),在点,x,x,0,处取得极大值，记作,_,；若在,x,0,附近的所有点,x,，都有,_,，则称函数,y,f,(,x,),在点,x,x,0,处取得极小值，记作,_,知识梳理,f,(,x,),f,(,x,0,),y,极小值,f,(,x,0,),2.,求函数极值的步骤,(1),求导数,f,(,x,),(2),求方程,f,(,x,),0,的所有实数根,(3),观察在每个根,x,n,附近，从左到右，导函数,f,(,x,),的符号如何变化，若,f,(,x,),的符号由正变负，则,f,(,x,n,),是极大值；若由负变正，则,f,(,x,n,),是极小值；若,f,(,x,),的符号在,x,n,的两侧附近相同，则,x,n,不是函数,f,(,x,),的极值点,3.,函数的最值,若在函数,f,(,x,),的定义域,I,内存在,x,0,，使得对于任意的,x,I,，都有,_,_,，则称,f,(,x,0,),为函数的最大值，记作,y,max,_,；若在函数,f,(,x,),的定义域,I,内存在,x,0,，使得对于任意的,x,I,，都有,_,_,，则称,f,(,x,0,),为函数的最小值，记作,y,min,_,4.,求函数,y,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最值的步骤：,(1),求,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的极值；,(2),将第一步中求得的极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，得到,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值与最小值,f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),f,(,x,),f,(,x,0,),f,(,x,0,),课 堂 导 学,判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由,(1),y,8,x,3,12,x,2,6,x,1,；,【,思维引导,】,本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反,利用导数研究函数的极值,例,1,【,精要点评,】,判断一个函数是否有极值，不能只求解,y,0,，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反运用导数求可导函数,y,f,(,x,),的极值的步骤：,(1),先求函数的定义域，再求函数,y,f,(,x,),的导数,f,(,x,),；,(2),求方程,f,(,x,),0,的根；,(3),检查,f,(,x,),在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么,f,(,x,),在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么,f,(,x,),在这个根处取得极小值,变式,1,已知函数,f,(,x,),(,x,2,ax,2,a,2,3,a,)e,x,(,x,R),，其中,a,R,.,(1),当,a,0,时，求曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线的斜率；,【,思维引导,】,(1),求出,x,1,的导数值即可；,(2),利用导数的符号判断单调性，同时考虑极值点,变式,2,【,解答,】,(1),当,a,0,时，,f,(,x,),x,2,e,x,，,f,(,x,),(,x,2,2,x,)e,x,，故,f,(1),3e,，所以曲线,y,f,(,x,),在点,(1,，,f,(1),处的切线的斜率为,3e.,(2),f,(,x,),x,2,(2,a,),x,2,a,2,4,a,e,x,，令,f,(,x,),0,，解得,x,2,a,或,x,a,2.,以下分两种情况讨论,所以,f,(,x,),在,(,，,2,a,),和,(,a,2,，,),上为增函数，在,(,2,a,，,a,2),上为减函数,函数,f,(,x,),在,x,2,a,处取得极大值,f,(,2,a,),，且,f,(,2,a,),3,a,e,2,a,；,函数,f,(,x,),在,x,a,2,处取得极小值,f,(,a,2),，且,f,(,a,2),(4,3,a,)e,a,2,.,所以,f,(,x,),在,(,，,a,2),，,(,2,a,，,),上为增函数，在,(,a,2,，,2,a,),上为减函数,函数,f,(,x,),在,x,2,a,处取得极小值,f,(,2,a,),，且,f,(,2,a,),3,a,e,2,a,；,函数,f,(,x,),在,x,a,2,处取得极大值,f,(,a,2),，且,f,(,a,2),(4,3,a,)e,a,2,.,【,精要点评,】,第,(2),问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断,f,(,x,),的符号及,f,(,x,),的单调性，进而判断出极值点，进而求出极值,利用导数研究函数的最值,例,2,已知函数,f,(,x,),ax,2,，,g,(,x,),a,2,x,2,ln,x,2,，其中,a,R,，,x,0.,(1),若,a,2,，求曲线,y,g,(,x,),在点,(1,，,g,(1),处的切线方程,(2),是否存在负数,a,，使得,f,(,x,),g,(,x,),对一切正数,x,都成立？若存在，求出,a,的取值范围；若不存在，请说明理由,【,思维引导,】,(1),求出切点坐标和在切点处的导数值即可；,(2),移项后构造新函数，利用导数求出其最大值，只要最大值小于等于,0,即可,最,极值的综合应用,例,3,【,精要点评,】,含参不等式恒成立问题常用分离参数法和函数法来处理，此题分离参数比较困难，所以利用函数的方法处理利用函数处理时有时可以用数形结合的方法来解决，如二次函数等,(2016,苏州、无锡、常州、镇江二调,),设函数,f,(,x,),x,2,e,x,k,(,x,2ln,x,)(,k,为实常数,),(1),当,k,1,时，求函数,f,(,x,),的最小值；,(2),若函数,f,(,x,),在区间,(0,，,4),内存在三个极值点，求,k,的取值范围,变 式,当,x,0,时，,e,x,x,2,.,理由如下：,要使,x,0,时，,e,x,x,2,，只需,x,2ln,x,.,课 堂 评 价,1.,(2015,哈尔滨三中模拟,),已知,x,2,是函数,f,(,x,),x,3,3,ax,2,的极小值点，那么函数,f,(,x,),的极大值为,_,【,解析,】,因为,x,2,是函数,f,(,x,),x,3,3,ax,2,的极小值点，即,x,2,是,f,(,x,),3,x,2,3,a,0,的根，代入,x,2,，得,a,4,，所以函数解析式为,f,(,x,),x,3,12,x,2,，则,3,x,2,12,0,，即,x,2,，故函数在,(,2,，,2),上是减函数，在,(,，,2),，,(2,，,),上是增函数，由此可知当,x,2,时，函数,f,(,x,),取得极大值,f,(,2),18.,18,3,3.,已知函数,f,(,x,),的导数,f,(,x,),a,(,x,1)(,x,a,),，若,f,(,x,),在,x,a,处取到极大值，则实数,a,的取值范围是,_,【,解析,】,若,a,1,，易判断,f,(,x,),在,x,a,处取到极小值；若,a,1,，,f,(,x,),在,x,a,处不取极值；若,a,1,，由题意得，当,1,a,0,时，,f,(,x,),在,x,a,处取得极大值，当,a,0,时，,f,(,x,),在,x,a,处取得极小值综上，实数,a,的取值范围为,(,1,，,0),(,1,，,0),4.,(2016,苏北四市期中,),已知函数,f,(,x,),cos,x,ax,2,1,，,a,R,.,(1),求证：函数,f,(,x,),是偶函数,(2),当,a,1,时，求函数,f,(,x,),在,，,上的最大值和最小值,【,解答,】,(1),函数,f,(,x,),的定义域为,R,，,因为,f,(,x,),cos,(,x,),a,(,x,),2,1,cos,x,ax,2,1,f,(,x,),，,所以函数,f,(,x,),是偶函数,(2),当,a,1,时，,f,(,x,),cos,x,x,2,1,，,则,f,(,x,),sin,x,2,x,，,令,g,(,x,),f,(,x,),sin,x,2,x,，则,g,(,x,),cos,x,20,，,所以,f,(,x,),是增函数,又,f,(0),0,，所以,f,(,x,),0,，,所以,f,(,x,),在,0,，,上是增函数,又函数,f,(,x,),是偶函数，,故函数,f,(,x,),在,，,上的最大值为,2,2,，最小值为,0.,微探究,4,利用导数研究函数的最值,问题提出,导数在研究函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可以多角度、多层次地考查学生分析问题和解决问题的能力应用类问题中求最值的问题比较多，这与函数的极值联系紧密利用导数求函数的最大,(,小,),值，其解题流程是怎样的呢？,典型示例,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,3,x,.,(1),若函数,f,(,x,),在区间,2,，,),上是增函数，求实数,a,的取值范围；,(2),若,x,3,是函数,f,(,x,),的极值点，求,f,(,x,),在,1,，,a,上的最大值和最小值,【,思维导图,】,【,精要点评,】,(1),若函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上单调递增，则,f,(,x,),0,，其逆命题不成立因为,f,(,x,),0,包括,f,(,x,)0,与,f,(,x,),0,，当,f,(,x,)0,时，函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上单调递增，当,f,(,x,),0,时，,f,(,x,),在这个区间内为常函数；同理，若函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上单调递减，则,f,(,x,),0,，其逆命题也不成立,(2),使,f,(,x,),0,的离散的点不影响函数的单调性,总结归纳,求函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值与最小值的步骤：,求,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上的极值；,将第一步中所求的极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，得到函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上的最大值与最小值,题组强化,1.,(2015,江苏模拟,),函数,f,(,x,),x,3,3,x,2,2,在区间,1,，,1,上的最大值是,_,【,解析,】,f,(,x,),3,x,2,6,x,3,x,(,x,2),，令,f,(,x,),0,，得,x,0,或,x,2(,舍去,),当,1,x,0,时，,f,(,x,),0,；当,0,x,1,时，,f,(,x,),0.,所以当,x,0,时，函数取得的极大值即为最大值，所以,f,(,x,),的最大值为,2.,2,0,3.,在平面直角坐标系,xOy,中，直线,y,x,b,是曲线,y,a,ln,x,的切线，则当,a,0,时，实数,b,的最小值为,_,1,4.,(2015,广州调研,),已知函数,f,(,x,),ax,2,b,ln,x,在点,(1,，,f,(1),处的切线为,y,1.,(1),求实数,a,，,b,的值,(2),问：是否存在实数,m,，使得当,x,(0,，,1,时，函数,g,(,x,),f,(,x,),x,2,m,(,x,1),的最小值为,0,？若存在，求出,m,的取值范围；若不存在，请说明理由,