2019届北京专版中考数学一轮复习第二章方程组与不等式组2.1整式方程组试卷部分讲义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章方程,（,组）与不等式（组）,2,.1整式方程（组）,中考数学,(北京专用),2014-2018,年,北京,中考题组,五年中考,1.,(2018北京,3,2分)方程组,的解为,(),A.,B.,C.,D.,答案,D,3-得5,y,=-5,解得,y,=-1,把,y,=-1代入得,x,=2,所以方程组的解为,故选D.,2.,(2017北京,12,3分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价,比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为,x,元,足球的单价为,y,元,依题,意,可列方程组为,.,答案,解析,由4个篮球和5个足球共花费435元,可得4,x,+5,y,=435.由篮球的单价比足球的单价多3元,可得,x,=,y,+3.故可列方程组为,3.,(2015北京,14,3分)关于,x,的一元二次方程,ax,2,+,bx,+,=0有两个相等的实数根,写出一组满足条,件的实数,a,b,的值:,a,=,b,=,.,答案,1;1(满足,a,=,b,2,(,a,0)即可),解析,方程为一元二次方程,且有两个相等的实数根,a,0,=,b,2,-,a,=0.,a,=,b,2,(,a,0).例如,a,=1,b,=1.答案不唯一.,4.,(2018北京,20,5分)关于,x,的一元二次方程,ax,2,+,bx,+1=0.,(1)当,b,=,a,+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;,(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的,a,b,的值,并求此时方程的根.,解析,(1)依题意,得,=(,a,+2),2,-4,a,=,a,2,+40.,故方程有两个不相等的实数根.,(2)由题意可知,a,0,=,b,2,-4,a,=0.,答案不唯一,如:当,b,=2,a,=1时,方程为,x,2,+2,x,+1=0,(,x,+1),2,=0,x,1,=,x,2,=-1.,5.,(2017北京,21,5分)关于,x,的一元二次方程,x,2,-(,k,+3),x,+2,k,+2=0.,(1)求证:方程总有两个实数根;,(2)若方程有一个根小于1,求,k,的取值范围.,解析,(1)证明:依题意,得,=-(,k,+3),2,-4(2,k,+2)=(,k,-1),2,.,(,k,-1),2,0,方程总有两个实数根.,(2)由求根公式,得,x,=,x,1,=2,x,2,=,k,+1.,方程有一个根小于1,k,+11,k,0,即,k,的取值范围是,k,0,解得,m,-,.,(2)答案不唯一.如:,m,=1.,此时方程为,x,2,+3,x,=0.,解得,x,1,=-3,x,2,=0.,思路分析,(1)利用一元二次方程的根的判别式列不等式,求,m,的取值范围.(2)结合(1)确定,m,的,值,解方程.,方法技巧,依据所求出的,m,的取值范围确定,m,的值时,尽量取较特殊的值,例如:可以使一次项,系数为0的-,或使常数项为0的1或-1.,7.,(2014北京,17,5分)已知关于,x,的方程,mx,2,-(,m,+2),x,+2=0(,m,0).,(1)求证:方程总有两个实数根;,(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数,m,的值.,解析,(1)证明:,m,0,mx,2,-(,m,+2),x,+2=0是关于,x,的一元二次方程.,=-(,m,+2),2,-4,2,m,=(,m,-2),2,.,(,m,-2),2,0,方程总有两个实数根.,(2)由求根公式,得,x,=,.,x,1,=1,x,2,=,.,方程的两个实数根都是整数,且,m,为正整数,m,=1或2.,8.,(2010北京,17,5分)列方程或方程组解应用题:,2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米,其中居民家庭用水比生产,运营用水的3倍还多0.6亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?,解析,设生产运营用水,x,亿立方米,居民家庭用水,y,亿立方米,依题意,得,解这个方程组,得,x,=1.3,y,=4.5.,答:生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米.,教师专用题组,考点一一元一次方程、二元一次方程(组),1.,(2018河南,6,3分)九章算术中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问,人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3,钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为,x,人,羊价为,y,钱,根据题意,可列方程组为,(,),A.,B.,C.,D.,答案,A根据等量关系“每人出5钱,还差45钱”得,y,=5,x,+45;根据等量关系“每人出7钱,还,差3钱”得,y,=7,x,+3,联立得方程组.故选A.,2.,(2018河北,7,3分)有三种不同质量的物体“,”“,”“,”,其中,同一种物体的质量都相,等.现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量,不,相等,则该组是,(),答案,A设,的质量为,x,的质量为,y,的质量为,z,观察题图可知选项A中2,x,=3,y,而选项D中2,x,=4,y,显然其中一个选项是符合题意的,而选项B,C都,是不符合题意的,选项B中2,z,+,x,=2,z,+2,y,可得,x,=2,y,选项C中,z,+,x,=,z,+2,y,可得,x,=2,y,故A选项符合题,意.,3.,(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+2,x,+,m,-2=0有两个实数根,m,为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数,m,的和为,(),A.6B.5C.4D.3,答案,B关于,x,的方程,x,2,+2,x,+,m,-2=0有两个实数根,=,b,2,-4,ac,=4-4(,m,-2),0,m,3.,m,为正整数,m,=1或2或3.,当,m,=1时,方程,x,2,+2,x,-1=0的两根不是整数,不满足题意.,当,m,=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.,4.,(2018黑龙江齐齐哈尔,8,3分)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张,联系青年志愿者在,周日参与活动,活动累计56个小时的工作时间,需要每名男生工作5个小时,每名女生工作4个小,时,小张可以安排学生参加活动的方案共有,(),A.1种B.2种C.3种D.4种,答案,C设安排,x,名男生,y,名女生,则5,x,+4,y,=56,x,y,为非负整数,可得,y,14,举例验证可得当,y,=14时,x,=0,当,y,=9时,x,=4,当,y,=4时,x,=8,所以可以安排4名女生,8名男生;9名女生,4名男生;14名女,生参加活动,所以方案共有3种,故选C.,5.,(2016广西南宁,10,3分)超市店庆促销,某种书包原价每个,x,元,第一次降价打“八折”,第二次,降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程,(),A.0.8,x,-10=90B.0.08,x,-10=90,C.90-0.8,x,=10D.,x,-0.8,x,-10=90,答案,A每个书包原价是,x,元,则第一次打八折后的价格是0.8,x,元,第二次降价10元后的价格,是(0.8,x,-10)元,则可得方程0.8,x,-10=90.故选A.,6.,(2016黑龙江哈尔滨,7,3分)某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母.1,个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,设安排,x,名工人生产螺钉,则下面,所列方程正确的是,(),A.2,1 000(26-,x,)=800,x,B.1 000(13-,x,)=800,x,C.1 000(26-,x,)=2,800,x,D.1 000(26-,x,)=800,x,答案,C若安排,x,名工人生产螺钉,则生产螺母的工人为(26-,x,)名.根据题意,可列方程为1 000,(26-,x,)=2,800,x,故选C.,7.,(2015浙江杭州,7,3分)某村原有林地108公顷,旱地54公顷,为保护环境,需把一部分旱地改造,为林地,使旱地面积占林地面积的20%,设把,x,公顷旱地改为林地,则可列方程为,(),A.54-,x,=20%,108B.54-,x,=20%(108+,x,),C.54+,x,=20%,162D.108-,x,=20%(54+,x,),答案,B根据题意知,把,x,公顷旱地改为林地后,旱地面积变为(54-,x,)公顷,林地面积变为(108+,x,)公顷,且旱地面积占林地面积的20%,则可列方程为54-,x,=20%(108+,x,).故选B.,8.,(2015河北,11,2分)利用加减消元法解方程组,下列做法正确的是,(),A.要消去,y,可以将,5+,2,B.要消去,x,可以将,3+,(-5),C.要消去,y,可以将,5+,3,D.要消去,x,可以将,(-5)+,2,答案,D解二元一次方程组时,在消去一个未知数之前应先计算方程组的各个方程中这个,未知数的系数的最小公倍数,然后进行消元,选项D正确.,9.,(2016宁夏,3,3分)已知,x,y,满足方程组,则,x,+,y,的值为,(),A.9B.7C.5D.3,答案,C,+得4,x,+4,y,=20,即,x,+,y,=5.故选C.,10.,(2018四川成都,13,4分)已知,=,=,且,a,+,b,-2,c,=6,则,a,的值为,.,答案,12,解析,设,=,=,=,k,(,k,0),则,a,=6,k,b,=5,k,c,=4,k,a,+,b,-2,c,=6,6,k,+5,k,-8,k,=6.,解得,k,=2.,a,=6,k,=12.,11.,(2018江西,9,3分)中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:,“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金几何?”译文:今有牛5头,羊,2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少?设牛、羊每头各值金,x,两、,y,两,依题意,可列出方程组为,.,答案,解析,每头牛值金,x,两,每头羊值金,y,两,根据“牛5头,羊2头,共值金10两;牛2头,羊5头,共值金8,两”,可得,解题关键,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.,12.,(2018黑龙江齐齐哈尔,15,3分)爸爸沿街匀速行走,发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公,交车,每隔5分钟迎面驶来一辆103路公交车.假设每辆103路公交车行驶速度相同,而且103路公,交车总站每隔固定时间发一辆车,那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的,倍.,答案,6,解析,如图所示,设公交车每分钟行驶,x,米,爸爸每分钟走,y,米,依题意得7,x,-7,y,=5,x,+5,y,解得,x,=6,y,所以公交车行驶速度是爸爸行走速度的6倍.,13.,(2018呼和浩特,13,3分)文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员,说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元”,小华说:“那就多买一个吧,谢,谢.”根据两人的对话可知,小华结账时实际付款,元.,答案,486,解析,设小华计划买,x,个笔袋,则可列方程为18,x,-18,0.9,(,x,+1)=36,解得,x,=29.故小华结账时实,际付款18,0.9,30=486(元).,14,.(2016吉林,10,3分)某学校要购买电脑.,A,型电脑每台5 000元,B,型电脑每台3 000 元,购买10台,电脑共花费34 000元.设购买,A,型电脑,x,台,购买,B,型电脑,y,台,则根据题意可列方程组为,.,答案,解析,由两种类型的电脑共10台可得方程,x,+,y,=10;由一共花费34 000元可得方程5 000,x,+3 000,y,=34 000,综上,列方程组为,15.,(2018安徽,16,8分)孙子算经中有这样一道题,原文如下:,今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何?,大意为:,今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.问:城中有多少,户人家?,请解答上述问题.,解析,设城中有,x,户人家,根据题意得,x,+,=100,解得,x,=75.,答:城中有75户人家.,16.,(2018湖北武汉,17,8分)解方程组:,解析,-,得,x,=6,把,x,=6代入,得,y,=4,方程组的解为,17.,(2018湖北黄冈,16,6分)在端午节来临之际,某商店订购了,A,型和,B,型两种粽子,A,型粽子28元/,千克,B,型粽子24元/千克,若,B,型粽子的质量比,A,型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2 5,60元,求两种型号粽子各多少千克.,解析,设,A,型粽子,x,千克,B,型粽子,y,千克,由题意得,解得,答:,A,型粽子40千克,B,型粽子60千克.,18.,(2018河北,22,9分)如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶,上依次标着-5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.,尝试,(1)求前4个台阶上数的和是多少.,(2)求第5个台阶上的数,x,是多少.,应用求从下到上前31个台阶上数的和.,发现试用含,k,(,k,为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.,解析,尝试(1)-5-2+1+9=3.,(2)由题意,得-5-2+1+9=-2+1+9+,x,解得,x,=-5.,应用与(2)同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是-2,1,9,可见台阶上的数从下到上按-5,-2,1,9四个数依次循环排列.,31=7,4+3,前31个台阶上数的和为7,3+(-5-2+1)=15.,发现4,k,-1.,思路分析,尝试:(1)直接列式,计算算式的值即可;(2)根据任意相邻四个台阶上数的和相等列,出方程,得解.应用:同(2)的方法求出第6,7,8个台阶上的数,发现规律为台阶上的数从下到上每,四个一循环,进而求出从下到上前31个台阶上数的和.发现:根据台阶上的数每四个一循环,可,知数“1”所在的台阶数间隔为4,即可求解.,方法指导,对于数字(或图形)循环变换类规律题,求经过,N,次变换后对应的数字(或图形)的解,题步骤:1.通过观察这组数字(或图形),得到该组数字(或图形)经过一个循环变换需要的次数,记为,n,;2.用,N,除以,n,当能整除时,第,N,次变换后对应的数字(或图形)就是一个循环变换中最后一,次变换后对应的数字(或图形);当商,b,余,m,(0,m,0,方程有两个不相等实数根;选,项C,=-80,所以A选项有两个不相等的实数根;因为,=4,2,+4=200,所以B选项,有两个不相等的实数根;因为,=(-4),2,-4,2,3=-80,所以D选项有两个不相等的实数根.故选C.,4.,(2018云南昆明,8,4分)关于,x,的一元二次方程,x,2,-2,x,+,m,=0有两个不相等的实数根,则实数,m,的取值范围是,(),A.,m,3C.,m,3D.,m,3,答案,A由题意知,=,b,2,-4,ac,=12-4,m,0,解得,m,0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B.,8.,(2017上海,2,4分)下列方程中,没有实数根的是,(),A.,x,2,-2,x,=0B.,x,2,-2,x,-1=0,C.,x,2,-2,x,+1=0D.,x,2,-2,x,+2=0,答案,DA项,=(-2),2,-4,1,0=40;,B项,=(-2),2,-4,1,(-1)=80;,C项,=(-2),2,-4,1,1=0;,D项,=(-2),2,-4,1,2=-40,D项中的方程没有实数根,故选D.,思路分析,对于一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),=,b,2,-4,ac,当,0时,方程有两个实数根;当,0,方程有两个不相等的,实数根;(2),=0,方程有两个相等的实数根;(3),0,则当,a,=1,c,=5时,ac,=54,故此选项错误;,B.,a,=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误;,C.若,c,0,则当,a,=1,c,=5时,ac,=54,故此选项错误;,D.若,c,=0,则,ac,=0,4,故此选项正确.故选D.,12.,(2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于,x,的一元二次方程,ax,2,-4,x,+,c,=0一定有实数根的,是,(),A.,a,0B.,a,=0C.,c,0D.,c,=0,13.,(2016河北,14,2分),a,b,c,为常数,且(,a,-,c,),2,a,2,+,c,2,则关于,x,的方程,ax,2,+,bx,+,c,=0根的情况是,(,),A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根,C.无实数根D.有一根为0,答案,B由(,a,-,c,),2,a,2,+,c,2,得,a,2,-2,ac,+,c,2,a,2,+,c,2,即-2,ac,0,所以-4,ac,0.,又因为,b,2,0,所以,=,b,2,-4,ac,0,所以方程有两个不相等的实数根.,14.,(2016山东青岛,8,3分)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:,分析表格中的数据,估计方程(,x,+8),2,-826=0的一个正数解,x,的大致范围为,(),A.20.5,x,20.6B.20.6,x,20.7,C.20.7,x,20.8D.20.8,x,20.9,x,20.5,20.6,20.7,20.8,20.9,输出,-13.75,-8.04,-2.31,3.44,9.21,答案,C根据程序及输出结果可知当,x,=20.7时,(,x,+8),2,-826=-2.310,(,x,+8),2,-826=0的一个正数解,x,的大致范围为20.7,x,20.8,故选C.,15.,(2015重庆,8,4分)一元二次方程,x,2,-2,x,=0的根是,(),A.,x,1,=0,x,2,=-2B.,x,1,=1,x,2,=2,C.,x,1,=1,x,2,=-2D.,x,1,=0,x,2,=2,答案,D,x,2,-2,x,=0,x,(,x,-2)=0,解得,x,1,=0,x,2,=2,故选D.,16.,(2015甘肃兰州,6,4分)一元二次方程,x,2,-8,x,-1=0配方后可变形为,(),A.(,x,+4),2,=17B.(,x,+4),2,=15,C.(,x,-4),2,=17D.(,x,-4),2,=15,答案,C变形得,x,2,-8,x,=1,x,2,-8,x,+16=1+16,(,x,-4),2,=17,故选C.,17.,(2015河北,12,2分)若关于,x,的方程,x,2,+2,x,+,a,=0,不存在,实数根,则,a,的取值范围是,(),A.,a,1C.,a,1D.,a,1,答案,B由题意知,=4-4,a,1,故选B.,18.,(2015宁夏,7,3分)如图,某小区有一块长为18 m,宽为6 m的矩形空地,计划在其中修建两块相,同的矩形绿地,它们的面积之和为60 m,2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设,人行通道的宽度为,x,m,则可以列出关于,x,的方程是,(),A.,x,2,+9,x,-8=0B.,x,2,-9,x,-8=0,C.,x,2,-9,x,+8=0D.2,x,2,-9,x,+8=0,答案,C由题意得(18-3,x,)(6-2,x,)=60,化简得,x,2,-9,x,+8=0.,19.,(2015甘肃兰州,11,4分)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不,能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两,天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为,x,则,x,满足的方程是,(),A.(1+,x,),2,=,B.(1+,x,),2,=,C.1+2,x,=,D.1+2,x,=,答案,B设原价为1,则某天跌停后是0.9,根据题意可列方程为0.9(1+,x,),2,=1,即(1+,x,),2,=,故选,B.,20.,(2018江西,11,3分)一元二次方程,x,2,-4,x,+2=0的两根为,x,1,x,2,则,x,2,-4,x,1,+2,x,1,x,2,的值为,.,答案,2,解析,一元二次方程,x,2,-4,x,+2=0的两根为,x,1,、,x,2,-4,x,1,=-2,x,1,x,2,=2,-4,x,1,+2,x,1,x,2,=-2+2,2=2.,21.,(2016湖南长沙,14,3分)若关于,x,的一元二次方程,x,2,-4,x,-,m,=0有两个不相等的实数根,则实数,m,的取值范围是,.,答案,m,-4,解析,一元二次方程,x,2,-4,x,-,m,=0有两个不相等的实数根,0,即,b,2,-4,ac,=(-4),2,-4,1(-,m,)=16+4,m,0,解得,m,-4.,22.,(2018四川成都,16,6分)若关于,x,的一元二次方程,x,2,-(2,a,+1),x,+,a,2,=0有两个不相等的实数根,求,a,的取值范围.,解析,由题意可知,=(2,a,+1),2,-4,a,2,=4,a,2,+4,a,+1-4,a,2,=4,a,+1.原方程有两个不相等的实数根,4,a,+,10,a,-,.,23.,(2018辽宁沈阳,21,8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成,本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都,相同.,(1)求每个月生产成本的下降率;,(2)请你预测4月份该公司的生产成本.,解析,(1)设该公司每个月生产成本的下降率为,x,根据题意,得400(1-,x,),2,=361,解得,x,1,=,=5%,x,2,=,=1.95,1.951,x,2,=1.95不合题意,舍去.,答:每个月生产成本的下降率为5%.,(2)361,(1-5%)=342.95(万元).,答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.,易错警示,3月份的生产成本=1月份的生产成本,(1-,x,),2,而不是1月份的生产成本,(1-2,x,).下降,率最后要化为百分数,也可直接设为,x,%.,思路分析,设每个月生产成本的下降率为,x,则2月份的生产成本=1月份的生产成本,(1-,x,),3月,份的生产成本=2月份的生产成本,(1-,x,),3月份的生产成本=1月份的生产成本,(1-,x,),2,;4月份的,生产成本=3月份的生产成本,(1-,x,).,24.,(2018呼和浩特,23,7分)已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0)有两个实数根,x,1,x,2,请你,用配方法探索有实数根的条件,并推导出求根公式,证明,x,1,x,2,=,.,解析,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),x,2,+,x,=-,x,2,+,x,+,=-,+,=,4,a,2,0,当,b,2,-4,ac,0时,方程有实数根.,x,+,=,.,当,b,2,-4,ac,0时,x,1,=,x,2,=,x,1,x,2,=,=,=,=,;,当,b,2,-4,ac,=0时,x,1,=,x,2,=-,x,1,x,2,=,=,=,=,.,综上,证得,x,1,x,2,=,.,思路分析,本题需要借助配方法解含字母系数的一元二次方程,同时借助求根公式验证推导,是否正确.,解题关键,正确解决本题的关键是要通过求根公式进行验证,同时要具有计算含字母系数的,方程的能力.,25.,(2015福建福州,20,8分)已知关于,x,的方程,x,2,+(2,m,-1),x,+4=0有两个相等的实数根,求,m,的值.,解析,关于,x,的方程,x,2,+(2,m,-1),x,+4=0有两个相等的实数根,=(2,m,-1),2,-4,1,4=0.,2,m,-1=,4.,m,=,或,m,=-,.,26.,(2015河南,19,9分)已知关于,x,的一元二次方程(,x,-3)(,x,-2)=|,m,|.,(1)求证:对于任意实数,m,方程总有两个不相等的实数根;,(2)若方程的一个根是1,求,m,的值及方程的另一个根.,解析,(1)证明:原方程可化为,x,2,-5,x,+6-|,m,|=0.,(1分),=(-5),2,-4,1,(6-|,m,|)=25-24+4|,m,|=1+4|,m,|.,(3分),|,m,|,0,1+4|,m,|0.,对于任意实数,m,方程总有两个不相等的实数根.,(4分),(2)把,x,=1代入原方程,得|,m,|=2,m,=,2.,(6分),把|,m,|=2代入原方程,得,x,2,-5,x,+4=0,x,1,=1,x,2,=4.,m,的值为,2,方程的另一个根是4.,(9分),考点一一元一次方程、二元一次方程(组),三年模拟,A,组,2016,2018,年模拟,基础题组,1.,(2016北京朝阳二模,8)现有,A,、,B,两种商品,买3件,A,商品和2件,B,商品用了160元,买2件,A,商品和,3件,B,商品用了190元.如果准备购买,A,、,B,两种商品共10件,下列方案中费用最低的为,(),A.,A,商品7件和,B,商品3件B.,A,商品6件和,B,商品4件,C.,A,商品5件和,B,商品5件D.,A,商品4件和,B,商品6件,答案,A可设买一件,A,商品需要,x,元,买一件,B,商品需要,y,元,由题意可列方程组为,解得,所以购买,A,商品的数量越多越便宜.故选A.,2.,(2018北京海淀一模,13)京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施,考虑到不同路,段的特殊情况,将根据不同的运行区间设置不同的时速.其中,北京北站到清河站一段全长11千,米,分为地下清华园隧道和地上区间两部分,运行速度分别为80千米/时和120千米/时.按此运行,速度,地下隧道运行时间比地上多2,分钟,求清华园隧道全长为多少千米.设清华园隧,道全长为,x,千米,依题意,可列方程为,.,答案,-,=,解析,由题意可知地下运行的时间为,小时,地上运行的时间为,小时,由地下隧道运行,时间比地上多2,分钟,可列方程为,-,=,.,3.,(2018北京朝阳一模,11)足球、篮球、排球已经成为北京体育的三张名片,越来越受广大市,民的关注.下表是北京两支篮球队在2017至2018年赛季常规赛中的比赛成绩:,设胜一场积,x,分,负一场积,y,分,依题意,可列二元一次方程组为,.,队名,比赛场次,胜场,负场,积分,A,38,25,13,63,B,38,18,20,56,答案,解析,积分是胜场积分与负场积分的和,所以可列方程组为,4.,(2018北京石景山一模,12)我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题,大意是:100匹马,恰好拉了100片瓦,已知3匹小马能拉1片瓦,1匹大马能拉3片瓦,求小马、大马各有多少匹.若设,小马有,x,匹,大马有,y,匹,依题意,可列方程组为,.,答案,解析,由100匹马和100片瓦可以列两个方程,一个由马的数量出发,两种马一共100匹,即,x,+,y,=1,00;一个由瓦的数量出发,3匹小马能拉1片瓦,则1匹小马能拉,片瓦,x,匹小马能拉,片瓦,1匹大,马能拉3片瓦,则,y,匹大马能拉3,y,片瓦,两种马一共拉100片瓦,即,+3,y,=100,所以可列方程组为,5.,(2018北京顺义一模,13)九章算术是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学,的基本框架.它记载了这样一道题:今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?,译文:今有5只雀和6只燕,分别聚集而称之,聚在一起的雀重,燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而,放,重量相等.5只雀、6只燕共重16两(1斤=16两).问雀、燕每只各重多少两?(每只雀的重量相,同、每只燕的重量相同),设每只雀重,x,两,每只燕重,y,两,则可列方程组为,.,答案,解析,5只雀、6只燕共重16两,则可列方程5,x,+6,y,=16;将1只雀、1只燕交换位置而放,则有4,x,+,y,和5,y,+,x,因为重量相等,所以可列方程4,x,+,y,=5,y,+,x,.所以可列方程组为,6.,(2018北京燕山一模,14)如图,10块相同的长方形卡片拼成一个大长方形,设长方形卡片的长,和宽分别为,x,和,y,则依题意,可列方程组为,.,答案,解析,由题图可知,长方形卡片的长等于宽的3倍,一个长加上两个宽为75,则可列方程组为,7.,(2016北京海淀一模,13)埃及纸草书中记载:“一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分,之一,它的全部,加起来总共是33.”设这个数是,x,可列方程为,.,答案,x,+,x,+,x,+,x,=33,解析,“一个数的三分之二”表示的是这个数乘,即,x,同理有,x,x,x,“加”表示的是,“+”,所以可列方程为,x,+,x,+,x,+,x,=33.,8.,(2016北京东城二模,15)定义运算“*”,规定,x,*,y,=,a,(,x,+,y,)+,xy,其中,a,为常数,且1*2=5,则2*3=,.,答案,11,解析,由题意可知,a,(1+2)+1,2=5,所以,a,=1.所以2*3=1,(2+3)+2,3=11.,9.,(2017北京顺义一模,22)某电脑公司有,A,、,B,两种型号的电脑,其中,A,型号电脑每台6 000元,B,型号电脑每台4 000元.学校计划花费150 000元从该公司购进这两种型号的电脑共35台,问购,买,A,、,B,两种型号电脑各多少台?,解析,设购买,A,型号电脑,x,台,B,型号电脑,y,台,根据题意,得,解得,答:购买,A,型号电脑5台,B,型号电脑30台.,10.,(2016北京西城二模,22)为祝贺北京成功获得2022年冬奥会主办权,某工艺品厂准备生产纪,念北京申办冬奥会成功的“纪念章”和“冬奥印”.生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4,盒,乙种原料3盒;生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5盒,乙种原料10盒.该厂购进甲、乙两,种原料分别为20 000盒和30 000盒,如果将所购进原料正好全部用完,那么能生产“纪念章”,和“冬奥印”各多少枚?,解析,设能生产“纪念章”,x,枚,生产“冬奥印”,y,枚.,根据题意,得,解得,答:能生产“纪念章”2 000枚,生产“冬奥印”2 400枚.,考点二一元二次方程,1.,(2016北京丰台一模,16)小明同学用配方法推导关于,x,的一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0)的求,根公式时,对于,b,2,-4,ac,0的情况,他是这样做的:,由于,a,0,所以方程,ax,2,+,bx,+,c,=0可变形为,x,2,+,x,=-,第一步,x,2,+,x,+,=-,+,第二步,=,第三步,b,2,-4,ac,0,x,+,=,第四步,x,=,.,第五步,小明的解法从第,步开始出现错误;这一步的运算依据应是,.,答案,四;平方根的定义,解析,一个正数有两个平方根,且它们互为相反数,所以由平方根的定义知第四步是错误的.,2.,(2018北京海淀一模,20)已知关于,x,的一元二次方程,x,2,-(2,m,-3),x,+,m,2,+1=0.,(1)若,m,是方程的一个实数根,求,m,的值;,(2)若,m,为负数,判断方程根的情况.,解析,(1),m,是方程的一个实数根,m,2,-(2,m,-3),m,+,m,2,+1=0,m,=-,.,(2),=-(2,m,-3),2,-4(,m,2,+1)=-12,m,+5.,m,0,=-12,m,+50.,此方程有两个不相等的实数根.,3.,(2018北京朝阳一模,20)已知关于,x,的一元二次方程,x,2,+(,k,+1),x,+,k,=0.,(1)求证:方程总有两个实数根;,(2)若该方程有一个根是正数,求,k,的取值范围.,解析,(1)证明:依题意,得,=(,k,+1),2,-4,k,=(,k,-1),2,(,k,-1),2,0,方程总有两个实数根.,(2)由求根公式,得,x,1,=-1,x,2,=-,k,.,方程有一个根是正数,-,k,0,k,0,m,2.,(2),m,0.,m,2.,(2),m,为正整数,且,m,0,m,0且,m,1,排除B,C,D.故选A.,2.,(2017北京朝阳一模,6)九章算术是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:今有,竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风,将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,问折断处离地面的高度是多少?,设折断后离地面的高度为,x,尺,则可列方程为,(),A.,x,2,-3=(10-,x,),2,B.,x,2,-3,2,=(10-,x,),2,C.,x,2,+3=(10-,x,),2,D.,x,2,+3,2,=(10-,x,),2,答案,D由题意可知,折断的部分为直角三角形的斜边,所以可列方程为,x,2,+3,2,=(10-,x,),2,.故选D.,二、填空题(每小题3分,共18分),3.,(2018北京顺义一模,11)把方程,x,2,-3=2,x,用配方法化为(,x,+,m,),2,=,n,的形式,则,m,=,n,=,.,答案,-1;4,解析,x,2,-3=2,x,整理得,x,2,-2,x,-3=0,即,x,2,-2,x,+1-1-3=0,配方得(,x,-1),2,=4.(,x,+,m,),2,=,n,m,=-1,n,=4.,4.,(2018北京西城一模,12)从杭州东站到北京南站,原来最快的一趟高铁G20次约用5 h到达.从2,018年4月10日起,全国铁路开始实施新的列车运行图,并启用了“京杭高铁复兴号”,它的运行,速度比原来的G20次的运行速度快35 km/h,约用4.5 h到达.如果在相同的路线上,杭州东站到北,京南站的距离不变,求“京杭高铁复兴号”的运行速度.设“京杭高铁复兴号”的运行速度为,x,km/h,依题意,可列方程为,.,答案,5(,x,-35)=4.5,x,解析,复兴号的速度为,x,km/h,时间为4.5 h,则路程为4.5,x,km;G20次的速度为(,x,-35)km/h,时间,为5 h,则路程为5(,x,-35)km.因为路程相等,所以可列方程为5(,x,-35)=4.5,x,.,思路分析,需要借助路程相等来表示等量关系.,5.,(2018北京丰台一模,14)营养学家对初中学生进行了一项调查:甲组学生每天正常进餐,乙组,学生每天除正常进餐外,每人还增加600 mL牛奶.一年后营养学家统计发现:乙组学生平均身,高的增长值比甲组学生平均身高的增长值多2.01 cm,甲组学生平均身高的增长值比乙组学生,平均身高的增长值的75%少0.34 cm.设甲、乙两组学生平均身高的增长值分别为,x,cm、,y,cm,依题意,可列方程组为,.,答案,解析,由乙组学生平均身高的增长值比甲组学生平均身高的增长值多2.01 cm,可列方程,y,=,x,+,2.01,由甲组学生平均身高的增长值比乙组学生平均身高的增长值的75%少0.34 cm,可列方程,x,=75%,y,-0.34,则可列方程组为,6.,(2017北京丰台一模,15)众所周知,中华诗词博大精深,集大量的情景情感于短短数十字之间,或豪放,或婉约,或思民生疾苦,或抒发己身豪情逸致,文化价值极高.而数学与古诗词更是有着,密切的联系.古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.,有一本诗集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首?,设七言绝句有,x,首,根据题意,可列方程为,.,答案,28,x,-20(,x,+13)=20,解析,七言绝句有,x,首,则五言绝句有(,x,+13)首.五言绝句每首有4,5个字,七言绝句每首有4,7,个字,根据五言绝句比七言绝句字数少了20个字,可列方程为28,x,-20(,x,+13)=20.,7.,(2016北京朝阳一模,14)