用差分法和变分法解平面问题.ppt

第五章,用差分法和变分法解平面问题,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,用差分法和变分法解平面问题,弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。,近似解法,因此，,弹性力学问题属于微分方程的边值问题。,通过求解，得出函数表示的精确解答。,5-1,差分公式的推导,对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨,弹性力学的各种近似解法，,主要有,变分法，差分法和有限单元法。,近似解法,差分法,是微分方程的一种数值解法。它不是去求解函数 ，而是求函数在一些结点上的值 。,f,x,o,差分法,差分法的内容是：,差分法,将,微分方程,用差分方程（代数方程）代替，,于是，求解微分方程的问题化为求解差分,方程的问题。,将,导数,用有限差商来代替，,将,微分,用有限差分来代替，,导数差分公式,的导出：,导数差分公式,在平面弹性体上划分等间距,h,的两组网格，分别,x,，,y,轴。网格交点称为结点，,h,称为步长。,应用,泰勒级数公式,将 在 点展开,，,(a),抛物线差分公式,-,略去式,(,a,),中 以上项，分别用于结点,1,，,3,，,抛物线差分公式,结点,3,，,结点,1,，,抛物线差分公式,式,(b),又称为,中心差分公式,，,并由此可导出高阶导数公式。,从上两式解出,o,点的导数公式，,应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式,(b),的误差为 。,抛物线差分公式,线性差分公式,在式,(,a,),中仅取一，二项时，误差量级为 。,线性差分公式,式,(c),称为,向前差分公式。,对结点,1,，,得：,对结点,3,，得：,线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中,。,式,(,d,),称为,向后差分公式。,例,1,稳定温度场中的温度场函数,T(,x,，,y,),应满足下列方程和边界条件：,（在,A,中）,(a),（在 上）,(b),（在 上）,.(c),稳定温度场的基本方程,(a),是,拉普拉斯方程,；在上的,第一类,边界条件是已知边界上的温度值；在 上的,第二类,边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。,现在我们将式,(a),，,(b),，,(c),转化为差分形式。应用图,5,1,网格，和抛物线差分公式，,（,1,）将化为差分公式，得,（,2,）若,x,边界,516,上为第一类边界条件，则,已知。,（,3,）若,y,边界,627,上为第二类边界条件，已,知，则,(d),由于 所以得,这时，边界点,2,的是未知的，对,2,点,须列出式（,d,）的方程。此方程涉及到,值，可将式（,e,）代入。,(,e,),例,2,稳定温度场问题的,差分解。设图中的矩,形域为,6m4m,，取,网格间距为,h,=,2m,，布,置网格如图，各边界,点的已知温度值如图,所示，试求内结点,a,，,b,的稳定温度值。,a,b,40,35,30,25,32,22,24,22,20,17,解出,解,（度）。,思考题,1.,比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。,2.,应用抛物线差分公式,(5-2),，试导出,3,阶导数 的差分公式。,对于,单连体，按应力函数 求解时，,应满足,:,5-2,应力函数的差分解,按 求解,（,3,）求出 后，由下式求应力（假设无体力）,:,按 求解,差分法求解,1.,应力公式,(,c,),的差分表示。,对于,O,点，,差分法求解：,相容方程,化为：,对每一内结点，为未知，均应列出式,(e),的方程。,2.,相容方程,(,a,),的差分,表示,对边界内一行结点列式,(e),方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的 值。,为了求虚结点的 值，需要求出边界点的 ，值。,相容方程,3.,应用应力边界条件,(b),，求出边界点的 ，值。,边界条件,应力边界条件用 表示,取出坐标 的正方向作为边界线,s,的正向（图中为顺时针向），当移动 时，为正，而 为负，所以外法线的方向余弦为,边界条件,(f,),边界条件,即,将上式和式,(d),代入式,(b),，得,边界条件,式,(f),，,(g),分别是,应力边界条件的微分，积分形式。,再将式,(,f,),对,s,积分，从固定的基点,A,到边界任一点,B,，得,通过分部积分,从,A,到,B,积分，得,边界条件,(h),由全微分,求边界点,的,因为,A,为定点，和 ，,，均为常数，而式,(h),中，加减,x,，,y,的一次式不影响应力，所以可取,故,边界结点的 和导数值，,由式,(g),，,(h),简化为,边界条件,式,(i),的物理意义是：,第一式表示从,A,到,B,边界上,x,向面力的主矢量；,第二式表示从,A,到,B,边界上,y,向面力的主矢量,改号,;,第三式表示从,A,到,B,边界上面力对,B,点的力距，,图中以顺时针向为正。,因此，可以按物理意义直接求,和,。,边界条件,由式,(i),的第三式，可求出边界点的,值,;,由式,(i),的前两式，可求出边界点,的 ，值，然后再求出边,界外一行虚结点的 值。,边界条件,（,2,）由边界结点的 ，值，求出边界,外一行虚结点的 值；,（,1,）在边界上选定基点,A,，,令 ，,然后计算边界上各结点的 ，；,求解步骤,4.,应力函数差分解的步骤,（,4,）求出边界外一行虚结点的 值；,（,3,）对边界内所有结点列式,(e),的方程，,联立求各结点的 值；,求解步骤,（,5,）按式,(d),求各结点的应力。,思考题,1,，将应力函数看成是覆盖于区域,A,和边,界,s,上的一个曲面，则在边界上，各点,的值与从,A,（基点）到,B,面力的合力,距有关，的一阶导数值与,A,到,B,的面力,的合力（主矢量）有关；而在区域内，,应力分量与曲面的曲率，扭率有关。,5,3,应力函数差分解的实例,问题,此题无函数式解答。应用差分法求解。,正方形深梁,上边受均布荷载 ，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。,1.,本题具有,对称性,，取,y,轴如图，并取,以反映对称性。,取网格如图。,首先考虑,对称性,，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量。,按照物理意义，求出边界点上的 和其导数值（如书中所示）：,AB,间,y,向面力主矢量号，,AB,间,x,向面力主矢量，,AB,间面力对,B,点力矩,以,注意符号,为正,.,5.,求出应力,，如,AM,线上各点应力，并绘,出分布图。,4.,求出边界外一行虚结点,的,值,。,3.,对每一内点列差分方程 ，,求,出 。,2.,由边界点 的导数值，求出边界外一行,虚结点的 值,。,比较,：,材料力学解,AM,上 为直线分布，,弹性力学解,AM,上 为曲线分布，,由此又说明，材料力学解法只适用于杆件。,比较,（,1,）差分法是解微分方程边值问题和弹性,力学问题的有效方法。,（,2,）差分法简便易行，且总能求出解答。,（,3,）差分法可配合材料力学，结构力学解,法，精确地分析结构的局部应力状态。,差分法优点,：,差分法评价,（,3,）凡是近似解，在求导运算时会降低精,度。如 的误差为 ，则应力,的误差为 。,缺点,：,差分法评价,（,1,）对于曲线边界和不等间距网格的计,算较麻烦。,（,2,）差分法比较适用于平面问题或二维,问题。,思考题,:,1.,试用线性向前或向后差分公式，导出,的,差分方程。,a,（,Z,向厚度 ）,A,y,B,2,F,F,F,x,a,a,a,2.,用差分法计算,图中,A,点的应,力分量。,5,4,弹性体的形变势能 外力势能,弹性力学变分法,，又称为,能量法,。因其中的泛函就是弹性体的能量。,泛函,是以函数为自变量（宗量）的一,种函数。,变分法，,是研究泛函及其极值的求解方法,。,应力变分法,取应力函数为自变量，并以,余能极小值条件导出变分方,程。,本章只介绍位移变分法。,位移变分法,取位移函数为自变量，并以,势能极小值条件导出变分方程。,弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：,外力势能,外力做了功，必然消耗了相同 值的势能。当取 时的外力功和能为零，则：,(b),外力功和外力势能,1.,弹性体上的外力功和外力势能,外力功：,形变势能,（,2,）因为应力和应变均从,0,增长到 ，,故,单位体积上，应力所做的功是,非线性 关系,线 性 关系,（,1,）作用于微小单元上的应力，是邻近,部分物体对它的作用力，可看成是,作用于微小单元上的“外力”。,2.,应力的功和形变势能（内力势能）,线性的应力与应变关系,非线性的应力与应变关系,（,3,）对于,平面应力问题,或,平面应变问题,单位体积上应力所做的功,都是,(c),形变势能,（,4,）假设没有转化为非机械能和动能，则,应力所做的功全部转化为弹性体的,内力势能,，又称为,形变势能,，或,应变,能,，存贮于物体内部。,-,单位体积的形变势能,（,形变势能密度,）。,形变势能,（,5,）,整个弹性体的形变势能是,(d),形变势能,（4）求出边界外一行虚结点的 值；,而形变势能是正定的，当这部,弹性力学中位移变分方程的导出,在位移变分法中，所取泛函为总势能 ，其宗量为位移函数 ，。,稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；,（3）虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得,由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。,如 的误差为 ，则应力,此题无函数式解答。,再求出应力分量：,部分物体对它的作用力，可看成是,将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得：,式(d)称为向后差分公式。,共建立两个方程，求出 和 ，得位移解答：,应力所做的功全部转化为弹性体的,对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。,（,6,）将物理方程代入，,平面应力问题的形,变势能密度,，可用,形变,表示为,对于平面应变问题，将,形变势能,再将几何方程代入，可用,位移,表示为,3.,形变势能 的性质,（,1,）,是应变或位移的二次泛函，,故不能应用叠加原理。,（,2,）应变或位移发生时，总是正的，即,（,3,）的大小与受力次序无关。,（,4,）对应变的导数，等于对应的应力：,(g),形变势能的性质,4.,弹性体的总势能,，,是外力势能和内力,（形变）势能之和，,(h),1.,试证明在线性的应力与应变关系，,2.,试由式,(e),导出式,(g),。,3.,试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式,(d),，,(e),和,(f),相比较。,思考题,5,5,位移变分方程,在,位移变分法,中，所取泛函为总势能 ，其宗量为,位移函数,，。,现在来导出,位移变分方程,。,1.,实际平衡状态的位移 ，必须满足,用位移表示的平衡微分方程（在,A,中）,;,用位移表示的应力边界条件（在 上,);,位移边界条件（在上）。,实际位移,(a),其中，属于,静力平衡条件,，属于,约束条件,。,对于实际位移，可将看成是必要条件，而，是充分条件。,（在 上）。,2.,虚位移状态,虚位移（数学上称为位移变分），,表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。,虚位移应满足 上的约束边界条件，即,虚位移,(b),虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态,就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。,(c),虚位移,微分,是在同一状态下，研究由于位,置,(,坐标,),改变而引起函数的改,变。,其中的自变量为坐标变量,x,y,；,而因变量为函数，如位移，有,(d),变分与微分的比较,变分与微分,变分,是在同一点位置上，,由于状态改,变而引起泛函的改变。,其中的自变量为状态函数，如位移；,而因变量为泛函，如 ，有,变分与微分,(,e,),由于微分和变分都是微量，所以,a.,它们的,运算方式相同,，,如,式,(d),，,(e),；,b.,变分和微分可以交换次序,，如,变分与微分,(f,),当发生,虚位移,（位移变分）时，,虚位移上功和能,由于虚位移引起,虚应变,，,外力势能的变分,：,外力的虚功,（外力功的变分）：,3.,在虚位移上弹性体的功和能,形变势能的变分,，即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,所以作为常力计算，故无 系数,。,虚位移上功和能,(j,),（,1,）在,封闭系统,中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，,在虚位移过程中形变势能的增加,应等于外力势能的减少,（即等于外力所做的虚功 ）。所以,位移变分方程,4.,弹性力学中位移变分方程的导出,（,2,）,位移变分方程,将式,(,g,),的 代入上,式，得,它表示，,在实际平衡状态发生位移的变,分 时，所引起的形变势能的变,分 ，等于外力功的变分 。,位移变分方程,位移变分方程,它表示，,在实际平衡状态发生虚位移时，,外力在虚位移上所做的虚功等于应力在,虚应变上所做的虚功。,（,3,）,虚功方程,将式,(j),的 代入上 式，得,其中 形变势能的变分，如式,(j),所示，,外力功的变分,如式,(g),所示。,位移变分方程,（,4,）,最小势能原理,式,(,k,),可写成,其中,U,弹性体的形变势能，如,5-4,式,(,d,),W,弹性体的外力功，如,5-4,式,(a),。,可以证明，式,(n),可以写成为,证明如下：,位移变分方程,满足两个约束边界条件,（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性,图中以顺时针向为正。,对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。,求出应力，如AM线上各点应力，并绘,式(j)也是关于 ，的线性代数方程,其中，属于静力平衡条件，属于约束条件。,（用u,v表示）。,假设只取u，v中一项，即,由于弹性体的总势能为,故式,(o),可以表示为,再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得,综合式,(p),，,(q),，即得,(p),(q),(r),位移变分方程,位移变分方程,这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。,最小势能原理：,数学表示如图,(a),，物理意义如图,(b),u,u,（,实际位移）,(a),(b),（,5,）,位移变分方程的又一形式,式,(l),中 可化为,又一形式,应用分部积分公式,和格林公式,（其中,s,为,平面域,A,的边界，,l,，,m,为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。,又一形式,由在 上，虚位移 ，得,对 其余几项进行同样的转换，并代入式,(,l,),可得,又一形式的位移变分方程,：,又一形式,例如，对第一项计算，,(s),因 ，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须,（在,A,中）,(v),（在 上）,(w),又一形式,由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。,5.,结论,实际平衡状态的位移必须满足,a,.,上的约束,(,位移,),边界条件；,b,.,上的应力边界条件；,c,.,域,A,中的平衡微分方程。,结论,位移变分方程可以等价地代替静力条,件,b,c,。,结论,由此得出一种,变分解法,即预先使位,移函数满足 上的位移边界条件，再,满足位移变分方程，必然也可以找出,对应于实际平衡状态的位解答。,1.,微分和变分各是由什么原因引起的？,2.,试导出式,(,u,),。,3.,试比较,4.,中,变分方程,(,1,)-(,5,),的不同的,物理解释。,4.,试证明二阶变分 。,思考题,位移变分法是取位移为基本未知函数的。,位移函数应预先满足 上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。,5-6,位移变分法,(a),瑞利,-,里茨法,（,1,）因位移函数是未知的，在变分法中采用,设定位移试函数的方法,，令,1.,瑞利,-,里茨法,其中 和 均为设定的,x,，,y,的函数，并在边界 上，令,（在 上）,（在 上）,(c),(b),瑞利,-,里茨法,所以 已满足了 上的,位移边界条件,。而 ，用来反映位移状态的变化，故,位移的变分为,瑞利,-,里茨法,(d),瑞利,-,里茨法,位移的变分通过 ，的变分来反映，故形变势能的变分为,（,2,）位移,(a),还必须满足位移变分方程,将式,(d),，,(f),代入,(e),得,因虚位移（位移变分）中的 ，是完全任意的，独立的，为了满足上式，必须,:,瑞利,-,里茨法,式,(g),是,瑞利,-,里茨变分方程,。它是关于 ，,的线性代数方程组，由上式可解出 ，,从而得到位移的解答。,2.,伽辽金法,（,1,）设定位移试函数如式,(,a,),所示，但令,u,v,不仅满足 上的位移边界条件，,而且也满足 上的应力边界条件,（用,u,v,表示）。,伽辽金法,将位移的变分 ，（式,(,d,),）代入，同样由于 ，为完全任意的和独立的变分，得到,伽辽金法,（,2,）于是，由,5-5,中式,(u),可见，由于 上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程,将上式括号内的应力用位移来表示，得,伽辽金变分方程,:,伽辽金法,式,(j,),也是关于 ，的线性代数方程,组，从上式解出 ，便得到位移的解答。,伽辽金法,思考题,试从位移函数的设定，应满足的变,分方程和求解的计算工作量等方面对瑞,利,-,里茨法和伽辽金法进行比较。,例,1,图示矩形板,ab,，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。,5-7,位移变分法例题,应用瑞利,-,里茨法,，设定位移,满足两个约束边界条件,例题,(a),(b),其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列,变分方程,代替（其中 ）：,(c),对式,(c),右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为,0,），,例题,且其中的 ，应代入相应的边界方程。将式,(a),代入,U,，计算式,(c),的左边项。,共建立两个方程，求出 和 ，得,位移解答：,例题,(d),对于图示的简单问题，式,(d),正好是其精确解。,例题,(e),例,2,本题,全部为位移边界条件：,本题以,y,轴为对称轴，所以,u,应为,x,的奇函数,v,应为,x,的偶函数。,例题,(f),设定位移势函数,为,位移,(g),已满足对称性条件,(f),和全部边界条件,(e),。,因 全部为位移边界条件且均已满足，所以从,5,5,式,(u),可见，也可应用伽辽金变分法。,例题,将位移,(g),代入上式，求出 得出的位移解答与书中用,瑞利,-,里茨法,给出的结果相同。,因 ，故,伽辽金变分方程,为,例题,(h),第五章例题,例题,1,例题,2,例题,3,例题,4,例题,5,例题,7,例题,6,例题,例题,1,设图中的矩形域为 ，取网格间距为,h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点,a,b,的稳定温度值。,a,b,40,35,30,25,32,22,24,22,20,17,解：对,结点,a,b,列出方程如下：,解出,例题,2,用差分法计算图中,A,和,B,点的应力分量。,F,a,B,x,y,3,a,a,a,A,.,7,1,（,Z,向厚度 ）,F,6,5,解：为反映对称性，取,A,为基点。令,边界点的应力函数值：,边界点的导数值：,由上式及,.,求出边界外一行虚结点的 值：,对,1,点列差分方程：,代入各 值，解出 。,再求出应力分量：,例题,3,正方形 的板块，厚度 ，受一对集中力,F,的作用，如图。试,取 ，应用差分法求解该问题的应力分量。,10,9,8,H,G,E,D,I,J,B,A,C,h,h,h,h,3,2,3,4,1,4,3,2,3,11,12,7,6,x,y,h=l/4,F,F,解：本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在,y,向外荷载作用下，取,网格结点编号如图所示,。,计算各边界结点处的 ，值。,在,A,点及,J,点，各取 布置于两侧，以,反映荷载的对称性，按公式,（其中 即,AB,之间面力对,B,点的力矩，图中以顺,时针方向为正）。,读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上 值的对称性。,求出边界上各结点的值，如下图所示。,结点,A B CDEGH I J,0 0 0 0,F/2,F/2,F/2,-Fh/2,-Fh/2,-Fh,0,0,0,0,计算边界外一行结点的 值。,由 得到,由 得到,对内结点,1,，,2,，,3,，,4,分别列出下列类型,的方程：,0,点：,对结点,1,，,对结点,2,，,对结点,3,，,对结点,4,，,解出,按照应力公式,及 ，求得,AJ,及,EI,截面上的应力分量：,例题,4,试证明，在同样的应变分量 ，和,下，平面应变情况下单位厚度的形变,势能大于平面应力情况下的形变势能。,例题,对于平面应变情况，只需将上式中 ，,变换为,解：平面应力情况下，单位厚度的形变,势能是：,例题,(a),代入，得,显然，方括号内,将式中的 ，都作为式,(b),的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，,例题,(,c,),从式可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第,1,，,2,，,3,项均大于平面应力情况下的值，而第,4,项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能,U,。,例题,例题,5,图中表示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口,AB,时，试说明板的形变势能将发生什么变化？,例题,C,D,E,F,A,B,解：当,AB,线切开时，,AB,线上的应力趋于,0,。而形变势能是正定的，当这部,应力 时，相应的形变势能也失去。因,此，板的总的形变势能减少。,例题,当,AB,线切开后，边界,CD,和,EF,仍是固定的，我们可以比较两种状态：,(b),AB,线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而,(a),，,(b),两种状态的外力势能不变，因此，,(b),的形变势能小于,(a),，即形变势能将减少。,例题,(a),AB,切开后,，,AB,线,仍然处于闭合状态，,不发生张开。这是不稳定的平衡状态；,例题,6,单位厚度 的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载,q,作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。,（取 ，,并设 ）。,例题,q,y,x,b,u,v,b,a,a,o,q,解,：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于,y,轴，而反对称于,x,轴。,因此，位移分量,u,应为 ，的奇函数，而,v,为,x,，,y,的偶函数，,x,y,如图所示。可以设定位移势函数如下：,上式已满足两端的约束边界条件,，,以及对称和反对称性条件。以下按瑞利,-,里茨法进行计算。,例题,假设只取,u,，,v,中一项，即,将,u,和,v,代入形变势能公式（平面应力问题），得：,例题,在本题中体力 ，在 边界上只有 的均布荷载，。由此，瑞利,-,里茨方程成为,例题,再积分求,U,，,边界是 ，且 ，从 到,积分。再将,U,代入上式，得到两个求,的方程：,当取 ，且 时，上两式方程简化为,由此解出,位移分量的解答是,例题,例题,7,图中所示的薄板，厚度 ，三边固定，一边受到均布压力,q,的作用。试用瑞利,-,里茨的位移变分法求解，其中取 ，。,例题,a,a,b,x,y,q,解：在瑞利,-,里茨法中，设定位移试函数应满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的对称性。取,上式已反映了位移对称于,y,轴的要求：,v,为,x,的,偶函数，,u,为,x,的奇函数。,仅取各一项进行运算，,由于体力 ，面力只存在于,AB,边,（），因此求解 的位移变分方程,为：,例题,当 ，且取泊松系数 时，,形变势能,简化为,将,u,，,v,代入,例题,（,a,）,（,b,）,形变势能,U,为,将,U,及 代入式,(a),，,(b),，得,(c),(d),从式,(c),，,(d),解出,例题,于是得到位移分量，,再求应力分量，取 ，得：,在对称轴上，,x=,0,，,在 边界，,例题,本题中，由于,u,，,v,中各只取一项，且取 ，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。,谢谢观看,谢谢观看,