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,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第六节函数y=Asin(x+)的图象,及应用,总纲目录,教材研读,1.,y=Asin(x+)的有关概念,考点突破,2.,用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图,3.,由函数y=sin x的图象变换得到 y=Asin(x+)(A0,0)图象的两种方法,考点二,由图象求函数y=Asin(x+)+b的解析式,考点一函数y=Asin(x+)的图象及变换,考点三,函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用,教材研读,1.,y,=,A,sin(,x,+,)的有关概念,2.用五点法画,y,=,A,sin(,x,+,)在一个周期内的简图,用五点法画,y,=,A,sin(,x,+,)在一个周期内的简图时,要找五个关键点,一般,先列表,后描点,连线,其中关键点如下:,3.由函数,y,=sin,x,的图象变换得到,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0)图象的两种方法,注:本节关于函数,y,=,A,sin(,x,+,)的一些方法与结论可类比推理到,y,=,A,cos(,x,+,)及,y,=,A,tan(,x,+,).,1.,y,=2sin,的振幅、频率和初相分别为,(),A.2,B.2,C.2,D.2,-,A,答案,A由振幅、频率和初相的定义可知,函数,y,=2sin,的振幅,为2,频率为,初相为,.,2.(2018北京海淀期中,5)将,y,=sin,的图象向左平移,个单位,则所,得图象的函数解析式为,(),A.,y,=sin 2,x,B.,y,=cos 2,x,C.,y,=sin,D.,y,=sin,B,答案,B将,y,=sin,的图象向左平移,个单位,对应的函数解析,式为,y,=sin,=sin,=cos 2,x,故选B.,3.用五点法作函数,y,=sin,在一个周期内的图象时,主要确定的五个,点是,、,、,、,、,.,答案,;,;,;,;,解析,分别令,x,-,=0,2,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为,0,1,0,-1,0).,4.将函数,y,=sin,x,的图象上所有的点向右平行移动,个单位长度,再把所,得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析,式是,y,=sin,.,答案,y,=sin,解析,将函数,y,=sin,x,的图象上所有的点向右平行移动,个单位长度,所,得函数图象的解析式为,y,=sin,再把该图象上各点的横坐标伸长,到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是,y,=sin,.,考点一函数,y,=,A,sin(,x,+,)的图象及变换,考点突破,典例1,已知函数,y,=2sin,.,(1)求它的振幅、周期、初相;,(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;,(3)说明,y,=2sin,的图象可由,y,=sin,x,的图象经过怎样的变换而得,到.,解析,(1),y,=2sin,的振幅,A,=2,周期,T,=,=,初相,=,.,(2)令,X,=2,x,+,则,y,=2sin,=2sin,X,.,列表:,描点并画出一个周期内的图象:,(3)把,y,=sin,x,的图象上所有的点向左平移,个单位,得到,y,=sin,的,图象,再把,y,=sin,的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,(纵,坐标不变),得到,y,=sin,的图象,最后把,y,=sin,的图象上所有,点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到,y,=2sin,的,图象.,方法技巧,函数,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0)的图象的作法,(1)五点法:用“五点法”作,y,=,A,sin(,x,+,)的简图,主要是通过变量代换,令,z,=,x,+,由,z,取0,2来求出相应的,x,通过列表得出五点坐标,描,点,连线后得出图象.,(2)图象变换法:由函数,y,=sin,x,的图象通过变换得到,y,=,A,sin(,x,+,)的图象,有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.,1-1,(2018北京朝阳高三期中,3)要得到函数,y,=sin,的图象,只需,将函数,y,=sin,x,的图象上所有的点,(),A.先向右平移,个单位长度,再将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,B.先向右平移,个单位长度,横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,C.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再向右平移,个单位长度,D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移,个单位长度,C,答案,C,y,=sin,=sin,只需将函数,y,=sin,x,的图象,的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,变为,y,=sin 2,x,再向右平移,个单,位得到,y,=sin,故选C.,典例2,(2017北京丰台一模,15)已知函数,f,(,x,)=,A,sin,x,(,0)的图象如图,所示.,(1)求,f,(,x,)的解析式;,(2)若,g,(,x,)=,f,(,x,)cos,求,g,(,x,)在,上的单调递减区间.,考点二由图象求函数,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,的解析式,解析,(1)由图象可知,A,=2,设函数,f,(,x,)的周期为,T,则,-,=,T,即,T,=,从而,=2,所以,f,(,x,)=2sin 2,x,.,(2),g,(,x,)=2sin 2,x,cos,=,sin 2,x,cos 2,x,-sin,2,2,x,=,sin 4,x,-,=sin,-,令,+2,k,4,x,+,+2,k,k,Z,得,+,x,+,k,Z,所以,g,(,x,)在,上的单调递减区间为,.,令,k,=0,得,x,方法技巧,根据函数,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,(,A,0,0)的图象求其解析式时,主要从以下,四个方面入手:,(1),A,的确定:根据图象的最高点和最低点,即,A,=,;,(2),b,的确定:根据图象的最高点和最低点,即,b,=,;,(3),的确定:利用图象先求出周期,T,然后由,T,=,(,0)来确定,;,(4),的确定:由函数图象的特殊点得到关于,的方程,结合,的范围确定,.,2-1,已知函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),x,R,A,0,0,|,|,的图象(部分)如,图所示,则,f,(,x,)的解析式是,(),A.,f,(,x,)=2sin,B.,f,(,x,)=2sin,C.,f,(,x,)=2sin,D.,f,(,x,)=2sin,A,答案,A由题图知,A,=2,=,-,=,T,=2,即,=2,=,又函数,f,(,x,)的图象过点,2=2sin,即sin,=1,又|,|0,0)的常用性质,(1)奇偶性:当,=,k,(,k,Z)时,函数,y,=,A,sin(,x,+,)为奇函数;当,=,k,+,(,k,Z)时,函数,y,=,A,sin(,x,+,)为偶函数.,(2)周期性:函数,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0)具有周期性,其最小正周期为,T,=,.,(3)单调性:根据,y,=sin,x,的单调性来研究,由-,+2,k,x,+,+2,k,k,Z,得单调增区间;由,+2,k,x,+,+2,k,k,Z得单调减区间.,(4)对称性:利用,y,=sin,x,的对称性来研究,由,x,+,=,k,(,k,Z)得对称中心的,横坐标;由,x,+,=,k,+,(,k,Z)得对称轴方程.,3-1,函数,f,(,x,)=cos(,x,+,),的部分图象如图所示.,(1)求,及图中,x,0,的值;,(2)设,g,(,x,)=,f,(,x,)+,f,求函数,g,(,x,)在区间,上的最大值和最小值.,解析,(1)由题图得,f,(0)=,所以cos,=,因为0,所以,=,.,由于,f,(,x,)的最小正周期等于2,所以由题图可知1,x,0,2,故,x,0,+,由,f,(,x,0,)=,得cos,=,所以,x,0,+,=,x,0,=,.,(2)因为,f,=cos,=cos,=-sin,x,所以,g,(,x,)=,f,(,x,)+,f,=cos,-sin,x,=cos,x,cos,-sin,x,sin,-sin,x,=,cos,x,-,sin,x,-sin,x,=,cos,x,-,sin,x,=,sin,.,当,x,时,-,-,x,.,所以-,sin,1,故当,-,x,=,即,x,=-,时,g,(,x,)取得最大值,;,当,-,x,=-,即,x,=,时,g,(,x,)取得最小值-,.,
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