2019届江苏专用高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题讲义文苏教版.ppt

,高考专题突破四,高考中的立体几何问题,考点自测,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,考点自测,1.,正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,为,BC,中点，,E,为,A,1,C,1,中点，则,DE,与平面,A,1,B,1,BA,的位置关系为,_.,答案,解析,如图取,B,1,C,1,的中点为,F,，,连结,EF,，,DF,，,DE,，,则,EF,A,1,B,1,，,DF,B,1,B,，,平面,EFD,平面,A,1,B,1,BA,，,DE,平面,A,1,B,1,BA,.,平行,2.,设,x,、,y,、,z,是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：,x,、,y,、,z,均为直线；,x,、,y,是直线，,z,是平面；,z,是直线，,x,、,y,是平面；,x,、,y,、,z,均为平面,.,其中使,“,x,z,且,y,z,x,y,”,为真命题的是,_.,答案,解析,由正方体模型可知,为假命题；,由线面垂直的性质定理可知,为真命题,.,3.(2016,无锡模拟,),如图，在棱长为,6,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别在,C,1,D,1,与,C,1,B,1,上，且,C,1,E,4,，,C,1,F,3,，连结,EF,，,FB,，,DE,，,BD,，则几何体,EFC,1,DBC,的体积为,_.,答案,解析,66,如图，连结,DF,，,DC,1,，,那么几何体,EFC,1,DBC,被分割成三棱锥,D,EFC,1,及四棱锥,D,CBFC,1,，,那么几何体,EFC,1,DBC,的体积为,V,3,4,6,(3,6),6,6,12,54,66.,故所求几何体,EFC,1,DBC,的体积为,66.,4.,如图，在四棱锥,V,ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，,E,、,F,分别为侧棱,VC,、,VB,上的点，且满足,VC,3,EC,，,AF,平面,BDE,，则,_.,答案,解析,2,连结,AC,交,BD,于点,O,，,连结,EO,，取,VE,的中点,M,，,连结,AM,，,MF,，,VC,3,EC,，,VM,ME,EC,，,又,AO,CO,，,AM,EO,，,又,EO,平面,BDE,，,AM,平面,BDE,，,又,AF,平面,BDE,，,AM,AF,A,，,平面,AMF,平面,BDE,，,又,MF,平面,AMF,，,MF,平面,BDE,，,又,MF,平面,VBC,，平面,VBC,平面,BDE,BE,，,MF,BE,，,VF,FB,，,2.,5.,如图，在三棱锥,P,ABC,中，,D,，,E,，,F,分别为棱,PC,，,AC,，,AB,的中点,.,若,PA,AC,，,PA,6,，,BC,8,，,DF,5.,则直线,PA,与平面,DEF,的位置关系是,_,；平面,BDE,与平面,ABC,的位置关系是,_.(,填,“,平行,”,或,“,垂直,”,),答案,解析,平行,垂直,因为,D,，,E,分别为棱,PC,，,AC,的中点，所以,DE,PA,.,又因为,PA,平面,DEF,，,DE,平面,DEF,，所以直线,PA,平面,DEF,.,因为,D,，,E,，,F,分别为棱,PC,，,AC,，,AB,的中点，,PA,6,，,BC,8,，,所以,DE,PA,，,DE,PA,3,，,EF,BC,4.,又因为,DF,5,，故,DF,2,DE,2,EF,2,，,又,PA,AC,，,DE,PA,，所以,DE,AC,.,因为,AC,EF,E,，,AC,平面,ABC,，,EF,平面,ABC,，,所以,DE,平面,ABC,，又,DE,平面,BDE,，,所以,DEF,90,，即,DE,EF,.,所以平面,BDE,平面,ABC,.,题型分类深度剖析,题型一求空间几何体的表面积与体积,例,1,(2016,全国甲卷,),如图，菱形,ABCD,的对角线,AC,与,BD,交于点,O,，点,E,，,F,分别在,AD,，,CD,上，,AE,CF,，,EF,交,BD,于点,H,，将,DEF,沿,EF,折到,D,EF,的位置,.,(1),证明：,AC,HD,；,证明,由已知得,AC,BD,，,AD,CD,，,又由,AE,CF,得,，,故,AC,EF,，由此得,EF,HD,，折后,EF,与,HD,保持垂直关系，,即,EF,HD,，所以,AC,HD,.,(2),若,AB,5,，,AC,6,，,AE,，,OD,，求五棱锥,D,-,ABCFE,的体积,.,解答,由,EF,AC,得,.,由,AB,5,，,AC,6,得,DO,BO,4,，,所以,OH,1,，,D,H,DH,3,，,于是,OD,2,OH,2,(),2,1,2,9,D,H,2,，,由,(1),知,AC,HD,，又,AC,BD,，,BD,HD,H,，,所以,AC,平面,DHD,，于是,AC,OD,，,又由,OD,OH,，,AC,OH,O,，所以,OD,平面,ABC,.,故,OD,OH,.,又由,得,EF,.,五边形,ABCFE,的面积,所以五棱锥,D,-,ABCFE,的体积,(1),若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解,.,其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积,.,(2),若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解,.,(3),若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解,.,思维升华,跟踪训练,1,正三棱锥的高为,1,，底面边长为,，内有一个球与它的四个面都相切,(,如图,).,求：,(1),这个正三棱锥的表面积；,解答,底面正三角形中心到一边的距离为,则正棱锥侧面的斜高为,(2),这个正三棱锥内切球的表面积与体积,.,解答,设正三棱锥,P,ABC,的内切球的球心为,O,，,连结,OP,，,OA,，,OB,，,OC,，,而,O,点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径,r,.,V,P,ABC,V,O,PAB,V,O,PBC,V,O,PAC,V,O,ABC,S,内切球,4(,2),2,(40,16 ).,题型二空间点、线、面的位置关系,例,2,(2016,扬州模拟,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱垂直于底面，,AB,BC,，,AA,1,AC,2,，,BC,1,，,E,，,F,分别是,A,1,C,1,，,BC,的中点,.,(1),求证：平面,ABE,平面,B,1,BCC,1,；,证明,在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,BB,1,底面,ABC,.,因为,AB,平面,ABC,，所以,BB,1,AB,.,又因为,AB,BC,，,BC,BB,1,B,，,所以,AB,平面,B,1,BCC,1,.,又,AB,平面,ABE,，所以平面,ABE,平面,B,1,BCC,1,.,(2),求证：,C,1,F,平面,ABE,；,证明,方法一如图,1,，取,AB,中点,G,，连结,EG,，,FG,.,因为,E,，,F,分别是,A,1,C,1,，,BC,的中点，,所以,FG,AC,，且,FG,AC,.,因为,AC,A,1,C,1,，且,AC,A,1,C,1,，,所以,FG,EC,1,，且,FG,EC,1,，,所以四边形,FGEC,1,为平行四边形，,所以,C,1,F,EG,.,又因为,EG,平面,ABE,，,C,1,F,平面,ABE,，,所以,C,1,F,平面,ABE,.,方法二如图,2,，取,AC,的中点,H,，连结,C,1,H,，,FH,.,因为,H,，,F,分别是,AC,，,BC,的中点，所以,HF,AB,，,又因为,E,，,H,分别是,A,1,C,1,，,AC,的中点，,所以,EC,1,綊,AH,，,所以四边形,EAHC,1,为平行四边形，,所以,C,1,H,AE,，,又,C,1,H,HF,H,，,AE,AB,A,，,所以平面,ABE,平面,C,1,HF,，,又,C,1,F,平面,C,1,HF,，所以,C,1,F,平面,ABE,.,(3),求三棱锥,E,ABC,的体积,.,解,答,因为,AA,1,AC,2,，,BC,1,，,AB,BC,，,所以,AB,所以三棱锥,E,ABC,的体积,(1),证明面面垂直，将,“,面面垂直,”,问题转化为,“,线面垂直,”,问题，再将,“,线面垂直,”,问题转化为,“,线线垂直,”,问题,.,证明,C,1,F,平面,ABE,：,(,),利用判定定理，关键是在平面,ABE,中找,(,作,),出直线,EG,，且满足,C,1,F,EG,.(,),利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面,C,1,HF,满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化,.,(2),计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化,.,思维升华,跟踪训练,2,(2016,南京模拟,),如图，在三棱锥,S,ABC,中，平面,SAB,平面,SBC,，,AB,BC,，,AS,AB,.,过,A,作,AF,SB,，垂足为,F,，点,E,，,G,分别是棱,SA,，,SC,的中点,.,求证：,(1),平面,EFG,平面,ABC,；,证明,由,AS,AB,，,AF,SB,知,F,为,SB,中点，,则,EF,AB,，,FG,BC,，又,EF,FG,F,，,AB,BC,B,，,因此平面,EFG,平面,ABC,.,(2),BC,SA,.,证明,由平面,SAB,平面,SBC,，,平面,SAB,平面,SBC,SB,，,AF,平面,SAB,，,AF,SB,，,所以,AF,平面,SBC,，则,AF,BC,.,又,BC,AB,，,AF,AB,A,，则,BC,平面,SAB,，,又,SA,平面,SAB,，因此,BC,SA,.,题型三平面图形的翻折问题,例,3,(2015,陕西,),如图,1,，在直角梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,BAD,，,AB,BC,AD,a,，,E,是,AD,的中点，,O,是,AC,与,BE,的交点,.,将,ABE,沿,BE,折起到图,2,中,A,1,BE,的位置，得到四棱锥,A,1,-,BCDE,.,(1),证明：,CD,平面,A,1,OC,；,证明,在题图,1,中，连结,EC,，,因为,AB,BC,AD,a,，,BAD,，,AD,BC,，,E,为,AD,中点，,所以,BC,綊,ED,，,BC,綊,AE,，,所以四边形,BCDE,为平行四边形，故有,CD,BE,，,所以四边形,ABCE,为正方形，所以,BE,AC,，,即在题图,2,中，,BE,A,1,O,，,BE,OC,，,且,A,1,O,OC,O,，,从而,BE,平面,A,1,OC,，又,CD,BE,，,所以,CD,平面,A,1,OC,.,(2),当平面,A,1,BE,平面,BCDE,时，四棱锥,A,1,-,BCDE,的体积为,，求,a,的值,.,解,答,由已知，平面,A,1,BE,平面,BCDE,，且平面,A,1,BE,平面,BCDE,BE,，,又由,(1),知，,A,1,O,BE,，所以,A,1,O,平面,BCDE,，,即,A,1,O,是四棱锥,A,1,BCDE,的高，,由题图,1,知，,平行四边形,BCDE,的面积,S,BC,AB,a,2,，,从而四棱锥,A,1,-,BCDE,的体积为,平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况,.,一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化,.,思维升华,跟踪训练,3,(2016,苏州模拟,),如图,(1),，四边形,ABCD,为矩形，,PD,平面,ABCD,，,AB,1,，,BC,PC,2,，作如图,(2),折叠，折痕,EF,DC,.,其中点,E,，,F,分别在线段,PD,，,PC,上，沿,EF,折叠后，点,P,叠在线段,AD,上的点记为,M,，并且,MF,CF,.,(1),证明：,CF,平面,MDF,；,证明,几何画板展示,因为,PD,平面,ABCD,，,AD,平面,ABCD,，,所以,PD,AD,.,又因为,ABCD,是矩形，,CD,AD,，,PD,与,CD,交于点,D,，,所以,AD,平面,PCD,.,又,CF,平面,PCD,，,所以,AD,CF,，即,MD,CF,.,又,MF,CF,，,MD,MF,M,，所以,CF,平面,MDF,.,(2),求三棱锥,M,CDE,的体积,.,解答,因为,PD,DC,，,PC,2,，,CD,1,，,PCD,60,，,所以,PD,，由,(1),知,FD,CF,，,在直角三角形,DCF,中，,CF,CD,.,如图，过点,F,作,FG,CD,交,CD,于点,G,，得,FG,FC,sin,60,所以,DE,FG,，故,ME,PE,所以,MD,题型四立体几何中的存在性问题,例,4,如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，平面,BMD,1,N,与棱,CC,1,，,AA,1,分别交于点,M,，,N,，且,M,，,N,均为中点,.,(1),求证：,AC,平面,BMD,1,N,.,证明,连结,MN,.,因为,M,，,N,分别为,CC,1,，,AA,1,的中点，,所以,AN,AA,1,，,CM,CC,1,.,又因为,AA,1,CC,1,，且,AA,1,CC,1,，,所以,AN,CM,，且,AN,CM,，,所以四边形,ACMN,为平行四边形，,所以,AC,MN,.,因为,MN,平面,BMD,1,N,，,AC,平面,BMD,1,N,，,所以,AC,平面,BMD,1,N,.,(2),若,AD,CD,2,，,DD,1,，,O,为,AC,的中点,.,BD,1,上是否存在动点,F,，使得,OF,平面,BMD,1,N,？若存在，求出点,F,的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由,.,解答,当点,F,满足,D,1,F,3,BF,时，,OF,平面,BMD,1,N,，证明如下：,连结,BD,，则,BD,经过点,O,，取,BD,1,的中点,G,，连结,OF,，,DG,，又,D,1,F,3,BF,，,所以,OF,为三角形,BDG,的中位线，所以,OF,DG,.,因为,BD,DD,1,，且,G,为,BD,1,的中点，所以,BD,1,DG,，所以,BD,1,OF,.,因为底面,ABCD,为正方形，所以,AC,BD,.,又,DD,1,底面,ABCD,，所以,AC,DD,1,，,又,BD,DD,1,D,，所以,AC,平面,BDD,1,，又,OF,平面,BDD,1,，所以,AC,OF,.,由,(1),知,AC,MN,，所以,MN,OF,.,又,MN,，,BD,1,是平面四边形,BMD,1,N,的对角线，,所以它们必相交，所以,OF,平面,BMD,1,N,.,对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设,.,思维升华,跟踪训练,4,(2016,镇江模拟,),如图，在直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，已知,DC,DD,1,2,AD,2,AB,，,AD,DC,，,AB,DC,.,(1),求证：,D,1,C,AC,1,；,证明,在直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,连结,C,1,D,，,DC,DD,1,，,四边形,DCC,1,D,1,是正方形，,DC,1,D,1,C,.,又,AD,DC,，,AD,DD,1,，,DC,DD,1,D,，,AD,平面,DCC,1,D,1,，又,D,1,C,平面,DCC,1,D,1,，,AD,D,1,C,.,AD,平面,ADC,1,，,DC,1,平面,ADC,1,，,且,AD,DC,1,D,，,D,1,C,平面,ADC,1,，,又,AC,1,平面,ADC,1,，,D,1,C,AC,1,.,(2),问在棱,CD,上是否存在点,E,，使,D,1,E,平面,A,1,BD,.,若存在，确定点,E,位置；若不存在，说明理由,.,解答,假设存在点,E,，使,D,1,E,平面,A,1,BD,.,连结,AD,1,，,AE,，,D,1,E,，,设,AD,1,A,1,D,M,，,BD,AE,N,，,连结,MN,，,平面,AD,1,E,平面,A,1,BD,MN,，,要使,D,1,E,平面,A,1,BD,，可使,MN,D,1,E,，,又,M,是,AD,1,的中点，则,N,是,AE,的中点,.,又易知,ABN,EDN,，,AB,DE,.,即,E,是,DC,的中点,.,综上所述，当,E,是,DC,的中点时，,可使,D,1,E,平面,A,1,BD,.,课时作业,1.(2016,连云港模拟,),如图所示，已知平面,平面,l,，,.,A,，,B,是直线,l,上的两点，,C,，,D,是平面,内的两点，且,AD,l,，,CB,l,，,DA,4,，,AB,6,，,CB,8.,P,是平面,上的一动点，且有,APD,BPC,，则四棱锥,P,ABCD,体积的最大值是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,由题意知，,PAD,，,PBC,是直角三角形，,又,APD,BPC,，所以,PAD,PBC,.,因为,DA,4,，,CB,8,，所以,PB,2,PA,.,作,PM,AB,于点,M,，由题意知，,PM,.,令,AM,t,(0,t,6),，则,PA,2,t,2,4,PA,2,(6,t,),2,，所以,PA,2,12,4,t,.,所以,PM,，即为四棱锥,P,ABCD,的高，,又底面,ABCD,为直角梯形，,S,(4,8),6,36.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,2.(2016,南京模拟,),已知,，,是两个不同的平面，,l,，,m,是两条不同的直线，,l,，,m,.,给出下列命题：,l,m,；,l,m,；,m,l,；,l,m,.,其中正确的命题是,_.(,填写所有正确命题的序号,),答案,解析,若,l,，,，则,l,，又,m,，则,l,m,，故,正确；,若,l,，,，则,l,或,l,，又,m,，则,l,与,m,可能平行、相交或异面，故,错误；,若,l,，,m,，则,l,m,，又,m,，则,l,与,可能平行、相交或,l,，故,错误；,若,l,，,l,，则,，又,m,，则,m,，故,正确,.,综上，正确的命题是,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,3.(2016,苏州模拟,),如图，,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,为正方体，连结,BD,，,AC,1,，,B,1,D,1,，,CD,1,，,B,1,C,，现有以下几个结论：,BD,平面,CB,1,D,1,；,AC,1,平面,CB,1,D,1,；,CB,1,与,BD,为异面直线,.,其中所有正确结论的序号为,_.,由题意可知，,BD,B,1,D,1,，,又,B,1,D,1,平面,CB,1,D,1,，,BD,平面,CB,1,D,1,，,所以,BD,平面,CB,1,D,1,，,正确；,易知,AC,1,B,1,D,1,，,AC,1,B,1,C,，又,B,1,D,1,B,1,C,B,1,，,所以,AC,1,平面,CB,1,D,1,，,正确；,由异面直线的定义可知,正确,.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,4.(2016,泰州二模,),如图,，在,梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,ABC,90,，,AD,BC,AB,2,3,4,，,E,、,F,分别是,AB,、,CD,的中点，将四边形,ADFE,沿直线,EF,进行翻折，给出四个结论：,DF,BC,；,BD,FC,；,平面,DBF,平面,BFC,；,平面,DCF,平面,BFC,.,在翻折过程中，可能成立的结论是,_.(,填写结论序号,),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,因为,BC,AD,，,AD,与,DF,相交不垂直，所以,BC,与,DF,不垂直，则,错误；,设点,D,在平面,BCF,上的射影为点,P,，,当,BP,CF,时就有,BD,FC,，,而,AD,BC,AB,2,3,4,，可使条件满足，,所以,正确；,当点,P,落在,BF,上时，,DP,平面,BDF,，,从而平面,BDF,平面,BCF,，所以,正确；,因为点,D,的射影不可能在,FC,上，,所以平面,DCF,平面,BFC,不成立，即,错误,.,故答案为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,5.,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,是棱,BC,的中点，点,F,是棱,CD,上的动点，当,_,时，,D,1,E,平面,AB,1,F,.,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如图，连结,A,1,B,，则,A,1,B,是,D,1,E,在平面,ABB,1,A,1,内的射影,.,AB,1,A,1,B,，,D,1,E,AB,1,，,又,D,1,E,平面,AB,1,F,D,1,E,AF,.,连结,DE,，则,DE,是,D,1,E,在底面,ABCD,内的射影，,D,1,E,AF,DE,AF,.,ABCD,是正方形，,E,是,BC,的中点，,当且仅当,F,是,CD,的中点时，,DE,AF,，,即当点,F,是,CD,的中点时，,D,1,E,平面,AB,1,F,，,1,时，,D,1,E,平面,AB,1,F,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,6.(2016,连云港模拟,),如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AB,AC,，,AB,AC,，点,E,是,BC,上一点，且平面,BB,1,C,1,C,平面,AB,1,E,.,(1),求证：,AE,BC,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,过点,B,在平面,BB,1,C,1,C,内作,BF,B,1,E,，,平面,BB,1,C,1,C,平面,AB,1,E,，平面,BB,1,C,1,C,平面,AB,1,E,B,1,E,，,BF,平面,AB,1,E,.,AE,平面,AB,1,E,，,BF,AE,.,又在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,BB,1,平面,ABC,，,AE,平面,ABC,，,BB,1,AE,.,BB,1,BF,B,，,AE,平面,BB,1,C,1,C,，,BC,平面,BB,1,C,1,C,，,AE,BC,.,(2),求证：,A,1,C,平面,AB,1,E,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,连结,A,1,B,，设,A,1,B,AB,1,G,，连结,GE,，,AE,BC,，,AB,AC,，,BE,CE,，,又,A,1,G,BG,，,GE,是,A,1,BC,的中位线，,GE,A,1,C,.,GE,平面,AB,1,E,，,A,1,C,平面,AB,1,E,，,A,1,C,平面,AB,1,E,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,7.(2016,南通、扬州、泰州联考,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PC,平面,PAD,，,AB,CD,，,CD,2,AB,2,BC,，,M,，,N,分别是棱,PA,，,CD,的中点,.,(1),求证：,PC,平面,BMN,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,设,AC,BN,O,，连结,MO,，,AN,，,因为,AB,CD,，,AB,CD,，,N,为,CD,的中点，,所以,AB,CN,，且,AB,CN,，,所以四边形,ABCN,为平行四边形，,所以,O,为,AC,的中点，,又,M,为,PA,的中点，所以,MO,PC,.,又因为,MO,平面,BMN,，,PC,平面,BMN,，,所以,PC,平面,BMN,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(2),求证：平面,BMN,平面,PAC,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,方法一因为,PC,平面,PDA,，,AD,平面,PDA,，所以,PC,AD,.,由,(1),同理可得，四边形,ABND,为平行四边形，所以,AD,BN,，,所以,BN,PC,，,因为,BC,AB,，所以平行四边形,ABCN,为菱形，,所以,BN,AC,.,因为,PC,AC,C,，,所以,BN,平面,PAC,.,因为,BN,平面,BMN,，所以平面,BMN,平面,PAC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,方法二连结,PN,，因为,PC,平面,PDA,，,PA,平面,PDA,，,因为,PC,MO,，所以,PA,MO,.,又,PC,PD,.,因为,N,为,CD,的中点，所以,PN,CD,，,由,(1),得,AN,BC,CD,，所以,AN,PN,，,又因为,M,为,PA,的中点，所以,PA,MN,，,因为,MN,MO,M,，所以,PA,平面,BMN,.,因为,PA,平面,PAC,，所以平面,PAC,平面,BMN,.,所以,PC,PA,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,8.(2016,北京东城区一模,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,平面,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，点,O,是对角线,AC,与,BD,的交点，,AB,2,，,BAD,60,，,M,是,PD,的中点,.,(1),求证：,OM,平面,PAB,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,因为在,PBD,中，,O,，,M,分别是,BD,，,PD,的中点，所以,OM,PB,.,又,OM,平面,PAB,，,PB,平面,PAB,，,所以,OM,平面,PAB,.,(2),求证：平面,PBD,平面,PAC,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,因为底面,ABCD,是菱形，所以,BD,AC,.,因为,PA,平面,ABCD,，,BD,平面,ABCD,，,所以,PA,BD,.,又,AC,PA,A,，所以,BD,平面,PAC,.,又,BD,平面,PBD,，,所以平面,PBD,平面,PAC,.,(3),当三棱锥,C,PBD,的体积等于,时，求,PA,的长,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,因为底面,ABCD,是菱形，且,AB,2,，,BAD,60,，所以,S,BCD,又,V,C,PBD,V,P,BCD,，,三棱锥,P,BCD,的高为,PA,，,9.(2016,盐城测试,),如图，已知三棱柱,ABC,A,B,C,中，平面,BCC,B,底面,ABC,，,BB,AC,，底面,ABC,是边长为,2,的等边三角形，,AA,3,，,E,，,F,分别在棱,AA,，,CC,上，且,AE,C,F,2.,(1),求证：,BB,底面,ABC,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,如图，取,BC,的中点,O,，连结,AO,，,三角形,ABC,是等边三角形，,AO,BC,.,平面,BCC,B,底面,ABC,，,AO,平面,ABC,，,平面,BCC,B,平面,ABC,BC,，,AO,平面,BCC,B,.,又,BB,平面,BCC,B,，,AO,BB,.,又,BB,AC,，,AO,AC,A,，,AO,平面,ABC,，,AC,平面,ABC,，,BB,底面,ABC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,(2),在棱,A,B,上找一点,M,，使得,C,M,平面,BEF,，并给出证明,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,显然点,M,不是点,A,，,B,，若棱,A,B,上存在一点,M,，,使得,C,M,平面,BEF,，,过点,M,作,MN,AA,交,BE,于,N,，连结,FN,，,MC,，,MN,C,F,，即,C,M,和,FN,共面，,又平面,MNFC,平面,BEF,FN,，,C,M,FN,，,四边形,C,MNF,为平行四边形，,MN,2,，,MN,是梯形,A,B,BE,的中位线，,M,为,A,B,的中点,.,故当,M,为,A,B,的中点时，,C,M,平面,BEF,.,