现代交换理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,交换理论基础,（1）熟练掌握几种典型的概率分布、生灭过程理论及其应用。,（2）掌握通信业务量、服务质量和话务负荷能力的概念、定,义、计算。,（3）掌握服务器利用度的概念、占用概率分布、呼损的计算。,（4）掌握等待制交换系统的基本理论。,2.重点、难点,重点：生灭过程在交换理论中的应用，呼损与利用率，等待,制交换系统的基本理论。,难点：占用概率分布，呼损、服务质量和服务设备容量三者,之间的关系。,交换理论基础部分概念和公式较多，力求理解公式推导过程，掌握重要结论。,2,关于“交换理论”,交换理论是随着 交换技术的应用和发展而产生的一门学科。它的任务是研究 负载、交换系统结构和服务质量之间的数量关系,提供最优系统设计理论和方法。,交换理论的研究对象不仅限于 交换系统，其原理和方法还应用于其他各类信息交换系统。,3,通信网络与交换机是典型的服务系统。它们利用所拥有的资源（信道带宽资源、计算资源、存储资源等）或设备为用户提供服务，并满足特定的服务质量要求。因为用户的服务需求是,随机,发生的，每次服务占用资源的时间也是随机的，所以这是一种,随机服务系统,，需要借助于,概率论,及,随机过程,的理论。,交换理论研究方法,4,对于,电路交换,系统而言，它们的服务对象是用户的呼叫。根据其交换机制，在电路连接建立以后交换时延可以忽略不计。但呼叫到达时刻和持续时间的随机性导致交换服务设备忙闲状态的不确定性，当服务设备处于全忙状态时，新到达的呼叫就不能得到服务。所以其主要的QoS指标是呼叫的损失率，简称,呼损,率。,对于,分组交换,系统而言，它们的服务对象是分组，它的交换机制是存储转发。所以分组交换系统的主要QoS指标是分组的,转发时延,和,丢失率,。,5,交换理论研究方法(续),2.1 概率论与随机过程,二项分布：,交换系统中的各种服务设备，如各级交换单元的输入输出链路、交换机的中继线等，这些设备的占用情况往往可以用二项分布来分析。,泊松分布：在实际问题中，有许多随机变量服从泊松分布。例如，一段时间内 局收到的呼叫次数，某路口通过的车辆数等，都可用泊松分布来描述。,概率论与随机过程是研究随机现象的数学工具，内容十分丰富，本节主要介绍与交换理论密切相关的内容，包括：,6,指数分布：在交换理论中，有两种很重要的随机变量服从指数分布，这就是两个相邻呼叫的间隔时间和 呼叫的占用时长。,随机过程,：,随机过程理论的内容极为广泛，与交换理论密切相关的是马尔可夫过程，尤其是马尔可夫过程的特殊情况，即泊松过程和增消过程,（,生灭过程,）,。,7,2.2 通信业务量,通信业务量是衡量交换系统在一定时间内提供的服务数量的指标，是学习交换理论首先必须掌握的一个重要概念，也是交换理论研究的对象之一。,业务量又称为业务负载。在一个交换系统中，我们把请求服务的用户称为,业务源,（负载源），而把为业务源提供服务的设备（如接续网络中的内部链路、中继线、信令处理器等）称为,服务器,。,8,2.2.1 话务量的概念,通信的业务源，简称话源；通信的业务量，通常称为话务量。,我们来分析决定话务量大小的因素。首先，话务量与所,考察的时间,有关，显然考察时间越长，这段时间里发生的呼叫就越多，因而话务量就越大。其次，影响话务量大小的是,呼叫强度,，也就是单位时间里发生的平均呼叫数，呼叫强度越大，话务量就越大。再者，每个呼叫,占用设备的时长,也是影响话务量大小的一个因素。在相同的考察时间和呼叫强度情况下，每个呼叫的占用时间越长，话务量就越大。,9,如果用,Y,表示话务量，用,T,表示计算话务量的时间范围，用,表示呼叫强度，用,S,表示呼叫的平均占用时长，则话务量可表示为：,影响话务量的第一因素是时间，话务量计算中的各个参数都与时间有关。,Y,的单位取决于,S,的单位，当,S,用不同的时间单位时，同一话务量，其数值是不同的。,如果,S,以小时为时间单位，则话务量的单位叫作“小时呼”,，常用符号“TC”表示。如果,S,以分钟为时间单位，则话务量的单位叫作“分钟呼”。也有用“百秒”作时间单位，这时话务量的单位叫作“百秒呼”，常用符号“CCS”表示。,话务量的定义,10,Y,=,T,S,=,CS,对于大量随机发生的呼叫，有些呼叫可能遇到 局忙。对于这类呼叫，不同的交换系统有不同的处理方法。一种系统是让遇忙呼叫等待，一旦有了空闲的服务设备，呼叫就继续进行下去，这样的系统叫作待接制系统或等待制系统。另一种系统，它对不能立刻得到服务的呼叫的处理方法是给用户送“忙音”。用户听到忙音后，必须放弃这次呼叫，然后再重新呼叫。这种系统叫做明显损失制系统。,对于等待制系统来说，如果等待时间不限，那么流入系统的话务量都能被处理，只是有一些呼叫要等待一段时间才能得到接续。对于明显损失制系统来说，流入系统的话务量有一部分被处理了，另外一部分则被“损失”掉了。,等待制与明显损失制,11,我们把单位时间的话务量叫做,话务量强度,或,负载强度,。习惯上常把“强度”两个字省略。这样，当人们谈及话务量都是指话务量强度。当所谈及的话务量不是单位时间内的话务量时，应特别指明计算时间，如T小时的话务量等。,话务量强度,12,一般地说，局的话务量强度经常处于变化之中。话务量强度的这种变化叫做话务量的波动性，它是多方面因素影响的综合结果。用概率论的语言说，话务量的波动是一个随机过程。经过对话务量波动的长期观察和研究，发现话务量的波动存在着周期性。具有重要意义的是一昼夜内各小时的波动情况，为了在一天中的任何时候都能给用户提供一定的服务质量，局服务设备数量的计算应根据一天中出现的最大话务量强度进行。我们把一天中出现最大平均话务量强度的60分钟的连续时间区间称为最繁忙小时，简称“忙时”。,话务量的特性,13,我们把流入系统的话务量叫做,流入话务量,或流入负载。完成了接续的那部分话务量叫做,完成话务量,或完成负载。流入话务量与完成话务量之差，就是损失话务量或损失负载。,流入话务量和完成话务量,14,定义,流入话务量强度等于在一次呼叫的平均占用时长内业务源发生的平均呼叫数。,令,A,表示流入话务量强度，,表示单位时间内发生的平均呼叫数，,S,表示呼叫的平均占用时长，则根据流入话务量强度的定义为,当,和,S,使用相同的时间单位时，流入话务量强度,A,无量纲。为了纪念话务理论的创始人，丹麦数学家,AKErlang,，将话务量强度的单位定名为“爱尔兰”，并用“e”或“E”表示。,流入话务量强度的定义,15,S,A,l,=,性质1,A,或,a,分别为N条入线或单条入线在呼,叫平均占用时长内流入的呼叫数，,A,N,a,。,性质2,a,是单条入线被占用的概率（占用时,间百分数）。,性质3,A,是,N,条入线中同时被占用的平均数。,流入话务量强度的性质,16,在分析讨论中，服务设备具体是哪种并不重要。,式中a是单个服务设备的话务量强度。,完成了接续的那部分话务量叫做完成话务量或完成负载。,2）呼损的计算问题;,计算得：P0=0.,E=Pm=am=aN (N=m),如果S以小时为时间单位，则话务量的单位叫作“小时呼”，常用符号“TC”表示。,用概率论的语言说，话务量的波动是一个随机过程。,对于服从恩格塞特分布的全利用度系统，按呼叫计算的呼损率B为：,根据k和k的计算方法，令：,因为用户的服务需求是随机发生的，每次服务占用资源的时间也是随机的，所以这是一种随机服务系统，需要借助于概率论及随机过程的理论。,Ac=cS=21001/30=70e,统计平衡条件。,要准确地计算PB是一件很复杂的事情，因为各选择级的占用存在着一定的依赖关系。,设单个服务器的完成话务量强度用 ac表示，则 m 个服务器完成的总话务量强度Ac=mac。,3 服务设备占用概率分布,例 有6个接续用的机键，它们为7 个用户服务，设每个空闲用户每分钟平均发生 0.,对于N=m，会出现全部服务设备占满情况，出现这种状态的概率就是呼损 E，所以有：,定义,服务设备的完成话务量强度等于这组设备在一次呼叫的平均占用时长内完成服务的平均呼叫数。,令,A,c,表示,m,个服务器的完成话务量强度，,S,表示呼叫的平均占用时长，,c,为单位时间内完成服务的呼叫数，则有：,完成话务量强度的单位也用“爱尔兰”。设单个服务器的完成话务量强度用,a,c,表示，则,m,个服务器完成的总话务量强度,A,c,=,ma,c,。,完成话务量强度的定义,17,S,A,c,c,l,=,性质1,A,c,或,a,c,分别为,m,个服务器或单个,服务器在呼叫平均占用时长内完,成服务的平均呼叫数,，,A,c,=ma,c,。,性质2,a,c,是单个服务器的占用概率，即,利用率。,性质3,A,c,是,m,个服务器中同时被占用的,平均数。,完成话务量强度的性质,18,从定义可以看出，流入话务量强度,A,与完成话务量强度,A,c,有着完全相同的形式和量纲，其差别在于,和,c,，一个是单位时间内发生的平均呼叫数，一个是单位时间内完成服务的平均呼叫数。在发生的全部呼叫中，有一小部分会因为设有找到空闲的服务设备而被损失掉，所以，在明显损失制系统中，,与,c,之差，正是损失掉的那部分呼叫。如果一个系统的损失非常小，则,c,，在这种情况下，完成话务量强度近似等于流入话务量强度，在工程计算中可以不加区分，笼统地使用“话务量”这个概念。,流入话务量和完成话务量比较,19,例 假设在 100 条线的中继线群上，平均每小时发生2100次占用，平均占用时长为 1/30小时。求这群中继线上的完成话务量强度；并根据完成话务量强度的性质说明其意义。,解：根据题意,c,=2100呼叫/小时,S=1/30小时/呼叫,A,c,=,c,S=,21001/30=70e,根据完成话务量强度性质1，70e可理解为在平均占用时长1/30小时内，平均有70次占用发生；根据性质2，单条中继线的占用概率(利用率)为0.7；根据性质3，70e意味着在100条中继线中，同时处于工作状态的平均有70条，空闲着的平均有30条。,20,完成话务量强度举例,2.2.3 交换系统的服务质量,和话务负荷能力,服务质量是说明交换系统给呼叫提供服务的可能性或者呼叫发生等待的可能性及等待时间等指标。,实际的交换系统都是有损失的系统。有损失的系统又分为,明显损失制系统,和,等待制系统,。,一、服务质量,明显损失制系统的服务质量指标,按呼叫计算的呼损 B,在时间,(t,1,t,2,),内损失的呼叫数,C,L,(t,1,t,2,)与在同一时间内发生的呼叫总数,C(t,1,t,2,)的比，称为,(t,1,t,2,)时间内按呼叫计算的呼损，即,22,(,),(,),2,1,2,1,t,t,C,t,t,C,B,L,=,在时间,(t,1,t,2,),内损失的话务量,Y,L,(t,1,t,2,)与在同一时间内流入的话务量,Y(t,1,t,2,)的比，称为,(t,1,t,2,)时间内按负载计算的呼损，即：,在时间,(t,1,t,2,),内所有服务设备全部阻塞的时间,T,B,(t,1,t,2,)与所考察的时间段,(t,1,t,2,)长度的比，称为按时间计算的呼损，即所有服务器全忙的概率：,23,(,),(,),2,1,2,1,t,t,Y,t,t,Y,H,L,=,(,),m,B,P,t,t,t,t,T,E,=,-,=,1,2,2,1,明显损失制系统的服务质量指标,按负载计算的呼损 H,按时间计算的呼损 E,以上所定义的呼损指标,B,、H、E,取值在01之间，而且它们的数值很接近。所以我们统一用呼损概率,P,代表,B、H、E,。系统所能达到的呼损概率常称为服务等级。简记为GoS(Grade of Service)，服务等级取决于系统的话务量和服务器数量。,24,所谓交换系统的话务负荷能力，指的是在给定服务质量指标的条件下，系统所能承担的话务量强度。话务负荷能力实质上代表了交换系统的效率。影响系统话务负荷能力的因素很多，如呼损率指标、服务设备容量、系统结构、服务方式、呼叫流的性质等。在一定的服务质量指标条件下，交换系统的话务负荷能力，常用完成话务量强度,A,c,与服务设备容量,m,的比来表示。,二、话务负荷能力,是每个服务器承担的平均话务量强度，表示了服务器（如中继线）的利用率，。当然也表示服务设备被占用的概率或被占用的时间比例。,25,m,A,c,/,=,h,2.3 明显损失制交换系统的基本理论,2.3.1 呼损指标的分配,呼损是交换系统服务质量的重要指标，这个指标关系到用户对 交换系统所提供服务的满意程度，也涉及到运营商 的大小和经济效益。呼损标准由有关行政主管部门制定。,从经济性和技术的合理性角度，我们来分析呼损的分配问题。一般情况下，一个端到端的接续路由要经过若干个选择级，在每个选择级上都有呼损。,26,按呼叫计算的呼损 B,统计平衡条件。,例如 E10(3)0.,显然，全利用度情况下的利用度等于服务器的数量。,要准确地计算PB是一件很复杂的事情，因为各选择级的占用存在着一定的依赖关系。,可以看出：按呼叫计算的呼损B 等于按时间计算的呼损E，因而没必要区分它们，通常就简单的称为呼损，并用PB表示。,式中CL和C分别代表单位时间内损失的平均呼叫数和总平均呼叫数。,解：根据题意 c=2100呼叫/小时,交换理论的研究对象不仅限于 交换系统，其原理和方法还应用于其他各类信息交换系统。,mA E,完成了接续的那部分话务量叫做完成话务量或完成负载。,根据完成话务量强度性质1，70e可理解为在平均占用时长1/30小时内，平均有70次占用发生；,成服务的平均呼叫数，Ac=mac。,用户是产生话务量的源泉，称为负载源或话源，一般地说，凡是向本级设备送入话务量的前级设备，都是本级的负载源。,首先来分析一个接续路由的总呼损概率PB和各选择级的呼损概率pk之间的关系。,首先来分析一个接续路由的总呼损概率,P,B,和各选择级的呼损概率,p,k,之间的关系。要准确地计算,P,B,是一件很复杂的事情，因为各选择级的占用存在着一定的依赖关系。如果假设各选择级的工作是完全独立的，则呼损,P,B,可表示为：,27,(,),(,),(,),=,-,-,=,-,-,-,-,=,n,k,k,n,B,p,p,p,p,P,1,2,1,),1,(,1,1,1,1,1,L,呼损指标的分配,实际的交换系统中，呼损率,p,k,一般都很小，大约在百分之零点几，忽略所有,p,k,的乘积项，则,这样，总呼损可近似看作各选择级呼损之和，下面的问题就是怎样把总呼损分配到各选择级上去？,1,平均分配（简单，但不合理）。,2,根据各选择级的费用和在接续中的作用和影,响分配,（复杂，但合理）。,28,n,k,B,p,p,p,p,P,L,L,+,+,+,+,2,1,呼损指标的分配,交换系统是一种典型的设备共享系统。,所谓服务设备泛指各种在 接续过程中，为用户提供服务的共享资源。在分析讨论中，服务设备具体是哪种并不重要。,用户是产生话务量的源泉，称为负载源或话源，一般地说，凡是向本级设备送入话务量的前级设备，都是本级的负载源。,2.3.2 关于利用度的概念,服务,(器)设备与负载源,29,如果接线网络能够把任何空闲的入线连接到任何空闲的出线，这叫做“,全利用度,”接线网络，这种情况下，每一个负载源能够使用所有服务器中的任何一个。当然也有“,部分利用度,”接线网络，其中任一负载源只能使用所有服务设备中的一部分设备。把负载源能够使用的服务器数称为“,利用度,”。显然，全利用度情况下的利用度等于服务器的数量。,全利用度和部分利用度,30,2.3.3 服务设备占用概率分布,问题的提出：,1）服务设备同时占用数的概率分布问题;,2）呼损的计算问题;,3）服务设备的利用率问题。,呼损,是明显损失制系统的基本服务指标，,利用率,表明设备的经济效益，所以呼损和利用率是交换理论的中心课题。,什么决定呼损和利用率？是系统内所进行着的随机过程。因此对全利用度明显损失制系统的研究必须从服务设备占用概率分布开始。,31,假设有一全利用度的随机服务系统，服务设备数量为,m,，它为,N,个负载源服务。,假设：1）系统按明显损失制方式工作；,2）所研究的系统满足生灭过程条件，且满足,统计平衡条件。,32,服务设备占用概率分布,当系统处于统计平衡状态时，可由生灭过程状态概率一般解求得服务设备的占用概率分布。显然，所研究的系统具有有限个状态，在统计平衡条件下，系统处于状态,k,的概率为：,式中,k,和,k,分别是系统处于状态,k,时的呼叫发生强度和呼叫结束强度。,33,服务设备占用概率分布,m,k,P,P,k,k,k,2,1,0,2,1,1,1,0,L,L,L,=,=,-,m,m,m,l,l,l,1,2,1,1,1,0,2,1,1,0,1,0,0,1,-,-,+,+,+,+,=,m,m,P,m,m,m,l,l,l,m,m,l,l,m,l,L,L,L,k,和,k,的计算,k,常采用以下两种计算方法：,1）假设呼叫强度,k,与空闲的负载源数成正比，因为呼叫总是由空闲着的负载 源发 起的，所以这种假设是自然、合理的。如果在任意时刻系统处于状态,k,，,N,个负 载 源 中有,k,个处于忙状态，,N,-,k,个处于空闲状态，则呼叫强度,k,可以表示为：,为一个空闲负载源的呼叫强度。,k,=(N-k),34,假设不管空闲着的负载源有多少，呼叫强度,k,始终是一个与系统状态无关的常数，即,k,=,。,2）,实际计算中，究竟采用哪一种方法计算,k,，取决于负载源数目,N,的大小。当负载源数很大（在理论上,N,）时，其中处于忙状态的负载源数在全部负载源数中只占一个很小的比例，呼叫强度基本上取决于总负载源数，这时就可以近似的认为呼叫强度,k,是一个常数，即可以采用第二种方法计算,k,。如果负载源数,N,不是很大，因而不能忽略忙负载源数的影响时，就要用第一种方法计算,k,。,35,k,和,k,的计算,k,的计算方法,呼叫的占用时长近似服从指数分布，如果呼叫的平均占用时长为,S,，则在非常小的时间区间,t,内呼叫结束其占用的概率为,1-e,-,t/S,，并且与该呼叫已经占用了多少时间无关。由于,t,很小，呼叫结束占用的概率可以近似的表示为：,因此，在有一个占用情况下，呼叫结束强度,1,=1/S=,。当系统中有,k,个呼叫占用时，由于每个呼叫是独立的，并都以强度,=1/S,结束自己的占用，则状态,k,下的呼叫结束强度应为,1-e,-t/S,t,/S,+o,(,t,),(指数函数展开，忽略高次项）,k,=k,=k/S,36,k,和,k,的计算,根据负载源数,N,的大小及其与服务设备数量,m,的关系，下面分四种不同的情况来研究服务设备的占用概率分布。,占用概率分布,1,.,二项分布,研究负载源数,N,不大于服务设备数量,m,（即,Nm,）的情况。根据前面对,k,和,k,计算方法的讨论，令：,式中,S,为呼叫的平均占用时长，,为一个空闲负载源的平均呼叫强度。,37,N,k,S,k,k,N,k,k,2,1,0,/,),(,L,=,=,-,=,m,a,l,由占用概率分布公式,其中,=S,，根据话务量强度的定义，,是一个空闲负载源的流入话务量强度。,38,N,k,P,C,P,S,k,k,N,N,N,N,P,S,k,S,S,S,k,N,N,N,N,P,P,k,k,N,k,k,k,k,2,1,),(,),1,(,),2,)(,1,(,),/,(,),/,3,(,),/,2,(,),/,1,(,),1,(,),2,(,),1,(,0,0,0,0,2,1,1,1,0,L,L,L,L,L,L,=,=,+,-,-,-,=,+,-,-,-,=,=,-,b,a,a,a,a,a,m,m,m,l,l,l,！,(,),N,N,N,P,b,m,m,m,l,l,l,m,m,l,l,m,l,+,=,+,+,+,+,=,-,-,1,1,1,1,2,1,1,1,0,2,1,1,0,1,0,0,L,L,L,二项分布,将,P,0,代入,P,k,，,m,个服务设备有,k,个占用的概率为,令,a=,/(1+),，最后得,上式的占用概率分布显然是,二项分布,。式中,a,表示的是一个负载源处于忙状态的概率。根据话务量强度的性质，,a,就是每个负载源的话务量强度。式,a=,/(1+),给出了在,Nm,的条件下，一个负载源的话务量强度与一个空闲负载源的话务量强度之间的关系。已知,a,或,，就可求得服务设备的占用概率分布。,39,二项分布,N,k,C,C,P,k,N,k,k,N,N,k,k,N,k,2,1,0,1,1,1,),1,(,1,L,=,+,-,),(,+,=,+,=,-,b,b,b,b,b,b,(,),N,k,a,a,C,P,k,N,k,k,N,k,2,1,0,),1,(,L,=,-,=,-,例,已知,m,6，,N,6，若每一话源忙的概率为,a,0,.,667，试求服务设备处于各种占用状态的概率。,解,N=m,6,服务设备占用服从二项分布。,已知,a,0,.,667，由公式,计算得：,P,0,=0.001，,P,1,=0.016，,P,2,P,3,=0.219，,P,4,=0.329，,P,5,=0.264，,P,6,且满足,P,0,+P,1,+P,2,+P,3,+P,4,+P,5,+P,6,=1,40,二项分布举例,N,k,a,a,C,P,k,N,k,k,N,k,2,1,0,),1,(,L,=,-,=,-,研究负载源数,N,大于服务设备数量,m(Nm),的情况。根据,k,和,k,的计算方法，令：,k,=(N-k),，,k,=k/S,，,k=0,1,2,m,代入占用概率分布公式，得,m,个设备有,k,个占用的概率分布为：,2.恩格塞特分布,上式所描述的概率分布称为,恩格塞特分布,。,41,m,k,P,C,P,k,k,N,k,2,1,0,0,L,=,=,b,1,0,0,-,=,=,m,i,i,i,N,C,P,b,m,k,C,C,P,m,i,i,i,N,k,k,N,k,L,2,1,0,0,=,=,=,b,b,在实际的工程计算中，一般不使用,，而是用流入话务量强度,A,或负载源的话务量强度,a,。由于,A=Na,，若呼损率为B，则服务设备的完成话务量强度,A,c,=A(1-B),。根据完成话务量强度的定义，,A,c,等于平均同时占用数。因此，,N-A,c,是平均空闲负载源数。于是每个空闲负载源的话务量强度,为：,将,的,不同表达式,代入,恩格塞特分布公式，可得到采用不同参数计算,P,k,的公式形式。,42,恩格塞特分布,),1,(,1,),1,(,B,a,a,B,A,N,A,A,N,A,c,-,-,=,-,-,=,-,=,b,例,有6个接续用的机键，它们为7 个用户服务，设每个空闲用户每分钟平均发生 0,.,665 个呼叫，每次呼叫平均占用 2分钟，试计算6个机键的占用概率分布。,解,N,=7，,m,6，,Nm,机键的占用服从恩格塞特分布。,已知,0,.,665 呼叫,/分钟,，,S,=2 分钟,/呼叫,所以,=,S,1.33 爱尔兰，由公式,计算得：,P,0,=0.0027，,P,1,=0.0255，,P,2,P,3,=0.2253，,P,4,=0.2997，,P,5,=0.2391，,P,6,43,恩格塞特分布举例,m,k,C,C,P,m,i,i,i,N,k,k,N,k,L,2,1,0,0,=,=,=,b,b,研究负载源数为无穷大，服务设备数量有限,(N,，,m有限或,Nm),的情况，此时可认为呼叫强度不再与系统的状态有关，而是一个常数。根据,k,和,k,的计算方法，令：,k,=,，,k,=k/S,，,k=0,1,2,m,代入占用概率分布公式，得,3.爱尔兰分布,44,m,k,P,k,S,P,k,k,L,2,1,0,!,),(,0,=,=,l,1,2,0,!,),(,!,2,),(,1,-,+,+,+,+,=,m,S,S,S,P,m,l,l,l,L,根据流入话务量强度的定义，,S,就是系统的流入话务量强度。令,A,S,，则,m,个服务设备中有,k,个被占用的概率为：,上式所示的概率分布称为,爱尔兰分布,。由爱尔兰分布可以得到递推式,P,k,=P,k-1,(A/k),。由此可见，在,k,P,k-1,；在,k,A,区域内,P,k,P,k-1,。当,k=A,（如果,A,是整数）或,k,=,A,(如果,A,不是整数),P,k,值达到最大。,45,爱尔兰分布,m,k,i,A,k,A,P,m,i,i,k,k,2,1,0,!,/,!,/,0,L,=,=,=,例,设有6条中继线，其话源数很大，已知话源的呼叫强度是每分钟2个呼叫，每个呼叫平均占用2分钟。试求中继线群的占用概率分布。,解,N,=,，,m,6（有限）,中继线群的占用服从爱尔兰分布。,已知,2 呼叫,/分钟,，,S,=2 分钟,/呼叫,所以,A,=,S,4 爱尔兰，由公式,计算得：,P,0,=0.0206，,P,1,=0.0824，,P,2,P,3,=0.2197，,P,4,=0.2197，,P,5,=0.1757，,P,6,46,爱尔兰分布举例,m,k,i,A,k,A,P,m,i,i,k,k,2,1,0,!,/,!,/,0,L,=,=,=,研究负载源数和服务设备数量都非常大（,N,，,m,）的情况。根据,k,和,k,的计算方法，令：,k,=,，,k,=k/S,，,k=0,1,2,代入占用概率分布公式，得:,4.泊松分布,其中,A=,S,为系统的流入话务量强度，上式所示的概率分布显然是,泊松分布,。,47,S,e,S,S,P,l,l,l,-,-,=,+,+,+,=,1,2,0,!,2,),(,!,1,1,L,L,2,1,0,!,!,),(,0,=,=,=,-,k,e,k,A,P,k,S,P,A,k,k,k,l,以上分析了服务设备的四种占用概率分布，每一种分布都有相应的前提条件，选择使用某一种分布时，必须注意分析负载源数量,N,与服务设备数量,m,之间的关系以及呼叫发生强度,k,和呼叫结束强度,k,的计算方法。,占用概率分布小结,48,2.3.4 呼损率与设备利用率,明显损失系统的服务质量是用呼损表示的，应用最广的是按呼叫计算的呼损,B,和按时间计算的呼损,E,。,呼损的计算离不开服务设备的占用概率分布，只有正确的选择占用概率分布，才能得到准确的计算结果。,下面分别讨论各种占用概率分布情况下,B,和,E,的计算，重点是爱尔兰分布。,49,(,),(,),2,1,2,1,t,t,C,t,t,C,B,L,=,(,),m,B,P,t,t,t,t,T,E,=,-,=,1,2,2,1,二项分布,由于,Nm,，所以,B,=0；,对于,N,m或Nm,),，相应的占用概率分布是恩格塞特分布和爱尔兰分布，下面分别进行详细讨论。,50,呼损率,占用概率服从爱尔兰分布情况下，按时间计算的呼损率,E,为：,式中,A,是系统的流入话务量强度，,m,为服务设备数量。上式是著名的,爱尔兰呼损公式,，常用符号,E,m,(,A,),表示。,1.爱尔兰呼损公式,E,m,(,A,)的意义：,服务设备容量为,m,的全利用度系统，当流入话务量强度为,A,时，按爱尔兰呼损公式计算的呼损为,E,m,(,A,)。,51,=,=,=,m,i,i,m,m,i,A,m,A,P,E,0,!,/,!,/,占用概率服从爱尔兰分布情况下，按呼叫计算的呼损率,B,为：,式中,C,L,和,C,分别代表单位时间内损失的平均呼叫数和总平均呼叫数。,可以看出：按呼叫计算的呼损,B,等于按时间计算的呼损,E,，因而没必要区分它们，通常就简单的称为呼损，并用,P,B,表示。即:,52,爱尔兰呼损公式,=,=,=,=,=,.,=,.,.,=,=,m,i,i,m,m,m,k,k,m,m,k,k,k,m,m,i,A,m,A,P,P,P,P,P,C,C,B,0,0,0,!,/,!,/,l,l,l,l,L,=,=,=,=,=,m,i,i,m,m,B,i,A,m,A,A,E,B,E,P,0,!,/,!,/,),(,直接按爱尔兰呼损公式计算比较繁琐，在工程上常用查表或近似计算公式。,查表,把爱尔兰呼损公式计算值列成表，已知,E,、,m,、,A,三个量中的任意两个，通过查表，就可以得到爱尔兰呼损公式给出的第三个量的数值。,表2.1,给出了,E,从0.001到 0.2，服务设备数量,m,从1到300时，系统所能承担的话务量值。,例如,E,10,(,3,),0.001,E,10,(,10,),近似计算公式,当话务量值的范围为5e,A,50e时，利用下面近似计算公式得到的服务器数量,m,相当接近精确值,(1),。,mA,E,mA,E,爱尔兰呼损公式的计算问题,53,由爱尔兰呼损公式得到的流入话务量强度,A,，呼损,E,和服务设备数量,m,之间的关系曲线如下图所示。,爱尔兰呼损公式分析,可以看出：,1,),当服务设备数量,m,一定时，话务量,A,越大，呼损,E,就越大。,2,),当呼损,E,一定时，话务量,A,越大，需要的服务设备数量,m,就越大。,3,),当呼损,E,一定，,m,大到一定程度时，,A,与,m,明显呈线性关系，即,A,/m,接近于一个常数。,54,2.恩格塞特呼损公式,对于服从恩格塞特分布的全利用度系统，按时间计算的呼损率,E,为：,式中,N,为负载源数，,m,为服务设备数量，,A,为流入话务量强度，,A,c,为完成话务量强度。,对于服从恩格塞特分布的全利用度系统，按呼叫计算的呼损率,B,为：,式中,P,k,是按恩格塞特分布计算的有,k,个服务设备被占用的概率，,是一个空闲话源的呼叫强度。,55,=,=,=,m,i,i,i,N,m,m,N,m,C,C,P,E,0,b,b,),1,(,B,A,N,A,A,N,A,c,-,-,=,-,=,b,=,-,-,=,-,.,-,.,=,m,k,k,k,N,m,m,N,m,k,k,m,C,C,k,N,P,m,N,P,C,C,B,0,1,1,0,),(,),(,b,b,a,a,L,在恩格塞特分布条件下，无论是按时间计算的呼损还是按呼叫计算的呼损，呼损公式的右侧仍含有呼损,B,，这使得呼损的计算更加复杂，一般也有计算好的表格，通过查表可以方便地得出呼损值。,实际应用中如果呼损很小时，可以用,A,代替,A,c,，从而使计算得到简化。,随着话源数,N,的增大，恩格塞特分布趋向于爱尔兰分布。通常在,N,大于 100 时，可以用爱尔兰分布代替恩格塞特分布进行计算。,56,恩格塞特呼损公式,3.服务设备利用率,每个服务设备所承担的平均完成话务量强度表明服务设备的利用率，即：,以爱尔兰分布为例，我们来研究服务设备数量,m,、话务量强度,A,、呼损率,B,与服务设备利用率,之间的关系。当呼损一定时，可以得出,与,m,和,与,A,的关系曲线如下图所示。,57,m,B,A,m,A,c,),1,(,-,=,=,h,从曲线可以看出，在服务设备数量一定的条件下，呼损越大，服务设备利用率越高；在流入话务量强度一定的条件下，呼损越大，服务设备的利用率也越高。呼损大意味着服务质量低。因此，用提高呼损率从而降低服务质量的办法，可以提高设备的利用率。但交换系统的设计，必须兼顾服务质量与经济效益两个方面。,从曲线还可以看出，在呼损一定的情况下，服务设备数量越多，或者流入话务量强度越大，服务设备的利用率就越高。因此，在交换系统的设计中，要尽可能组成大线群，以提高设备的利用率。但是，对于一定的呼损值，当设备数量或流入话务量强度大到一定程度后，利用率趋向于“饱和”。高利用率的系统也有不利的一面，即当系统发生过负荷现象时，呼损的增长幅度非常大，会造成交换系统服务质量的严重下降。,关于利用率,58,