2019届北京专用高考数学一轮复习第九章平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题讲义理.ppt

,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第十节圆锥曲线的综合问题,总纲目录,考点突破,考点二最值与范围问题,考点一,定点、定值问题,考点三圆锥曲线中的探索性问题,考点突破,典例1,(2016北京,19,14分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)的离心率为,A,(,a,0),B,(0,b,),O,(0,0),OAB,的面积为1.,(1)求椭圆,C,的方程;,(2)设,P,是椭圆,C,上一点,直线,PA,与,y,轴交于点,M,直线,PB,与,x,轴交于点,N,.求,证:|,AN,|,BM,|为定值.,考点一 定点、定值问题,解析,(1)由题意得,解得,a,=2,b,=1.,所以椭圆,C,的方程为,+,y,2,=1.,(2)证明:由(1)知,A,(2,0),B,(0,1).,设,P,(,x,0,y,0,),则,+4,=4.,当,x,0,0时,直线,PA,的方程为,y,=,(,x,-2).,令,x,=0,得,y,M,=-,从而|,BM,|=|1-,y,M,|=,.,直线,PB,的方程为,y,=,x,+1.,令,y,=0,得,x,N,=-,从而|,AN,|=|2-,x,N,|=,.,所以|,AN,|,BM,|=,=,=,=4.,当,x,0,=0时,y,0,=-1,|,BM,|=2,|,AN,|=2,所以|,AN,|,BM,|=4.,综上,|,AN,|,BM,|为定值.,方法技巧,1.定点问题的常见解法,(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分,析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标,(该坐标对应的点即为所求定点).,(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.,2.求定值问题常见的方法,(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;,(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.,1-1,(2017北京房山一模,19)已知椭圆,C,:,x,2,+4,y,2,=4.,(1)求椭圆,C,的离心率;,(2)椭圆,C,的左、右顶点分别为,A,、,B,点,P,在直线,x,=1上运动.直线,PA,、,PB,分别与椭圆,C,相交于,M,、,N,两个不同的点,求证:直线,MN,与,x,轴的交点为,定点.,解析,(1)椭圆,C,的标准方程为,+,y,2,=1,a,2,=4,b,2,=1,c,2,=,a,2,-,b,2,=3,a,=2,b,=1,c,=,.,椭圆,C,的离心率,e,=,=,.,(2)证明:点,P,在直线,x,=1上,设,P,(1,m,),易知,A,(-2,0),则,k,AP,=,=,.,直线,PA,的方程为,y,=,(,x,+2),将其代入,x,2,+4,y,2,=4,整理得(4,m,2,+9),x,2,+16,m,2,x,+4(4,m,2,-9)=0.,-2+,x,M,=-,x,M,=,+2=,.,同理,可求得,x,N,=,.,k,MN,=,直线,MN,的方程为,y,-,=,k,MN,整理得,y,=,k,MN,(,x,-4).,当,x,=4时,y,=0.,直线,MN,与,x,轴的交点为定点,且定点为(4,0).,典例2,已知椭圆,C,:,mx,2,+3,my,2,=1(,m,0)的长轴长为2,O,为坐标原点.,(1)求椭圆,C,的方程和离心率;,(2)设点,A,(3,0),动点,B,在,y,轴上,动点,P,在椭圆,C,上,且,P,在,y,轴的右侧,若|,BA,|,=|,BP,|,求四边形,OPAB,面积的最小值.,考点二最值与范围问题,解析,(1)由题意知,椭圆,C,的方程为,+,=1,所以,a,2,=,b,2,=,故2,a,=2,=2,解得,m,=,所以椭圆,C,的方程为,+,=1.,因为,c,=,=2,所以离心率,e,=,=,.,(2)设线段,AP,的中点为,D,连接,BD,因为|,BA,|=|,BP,|,所以,BD,AP,由题意知,直线,BD,的斜率存在,设点,P,(,x,0,y,0,)(,y,0,0),则点,D,的坐标为,且直线,AP,的斜率,k,AP,=,所以直线,BD,的斜率为-,=,所以直线,BD,的方程为,y,-,=,.,令,x,=0,得,y,=,则,B,由,+,=1,得,=6-3,化简,得,B,所以四边形,OPAB,的面积,S,四边形,OPAB,=,S,OAP,+,S,OAB,=,3,|,y,0,|+,3,=,=,2,=3,.,当且仅当2,y,0,=,即,y,0,=,-,时,等号成立.,所以四边形,OPAB,面积的最小值为3,.,方法技巧,圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有,两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几,何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何,量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等,式方法等进行求解.,2-1,在平面直角坐标系,xOy,中,点,P,(,x,0,y,0,)(,y,0,0)在椭圆,C,:,+,y,2,=1上,过,点,P,的直线,l,的方程为,+,y,0,y,=1.,(1)求椭圆,C,的离心率;,(2)若直线,l,与,x,轴,y,轴分别相交于,A,B,两点,试求,OAB,面积的最小值.,解析,(1)依题意可知,a,=,c,=,=1,所以椭圆,C,的离心率为,e,=,=,.,(2)因为直线,l,与,x,轴,y,轴分别相交于,A,B,两点,所以,x,0,0,y,0,0.,令,y,=0,由,+,y,0,y,=1得,x,=,则,A,.,令,x,=0,由,+,y,0,y,=1得,y,=,则,B,.,所以,OAB,的面积,S,OAB,=,|,OA,|,OB,|=,=,.,因为点,P,(,x,0,y,0,)在椭圆,C,:,+,y,2,=1上,所以,+,=1.,所以1=,+,2,即|,x,0,y,0,|,则,.,所以,S,OAB,=,|,OA,|,OB,|=,.,当且仅当,=,=,即,x,0,=,1,y,0,=,时,OAB,的面积取得最小值,为,.,典例3,(2017北京海淀一模,19)已知椭圆,G,:,+,y,2,=1,与,x,轴不重合的直,线,l,经过左焦点,F,1,且与椭圆,G,相交于,A,B,两点,弦,AB,的中点为,M,直线,OM,与椭圆,G,相交于,C,D,两点.,(1)若直线,l,的斜率为1,求直线,OM,的斜率;,(2)是否存在直线,l,使得|,AM,|,2,=|,CM,|,DM,|成立?若存在,求出直线,l,的方程;若不存在,请说明理由.,考点三圆锥曲线中的探索性问题,解析,(1)由已知可得,F,1,(-1,0),又直线,l,的斜率为1,所以直线,l,的方程为,y,=,x,+1,由,解得,所以,AB,的中点,M,所以直线,OM,的斜率为,=-,.,所以|,AM,|=,所以|,AM,|,2,=,.,|,CM,|,DM,|=(,-1),(,+1)=1,矛盾,所以直线,l,的斜率存在,故可设直线,l,的方程为,y,=,k,(,x,+1)(,k,0),代入椭圆,G,的方程并化简,得,(2,k,2,+,1),x,2,+4,k,2,x,+2(,k,2,-1)=0,(2)存在.,解法一:假设存在直线,l,使得|,AM,|,2,=|,CM,|,DM,|成立.,当直线,l,的斜率不存在时,AB,的中点,M,(-1,0),设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,所以,=,k,=,k,=,点,M,的坐标为,|,AB,|=,=,=,.,直线,CD,的方程为,y,=-,x,代入椭圆,G,的方程并化简,得,x,2,=,设,C,(,x,0,y,0,),则,=,|,OC,|,2,=,+,=,=,.,由题意,知|,AB,|,2,=4|,CM,|,DM,|=4(|,CO,|+|,OM,|)(|,CO,|-|,OM,|),=4(|,CO,|,2,-|,OM,|,2,),即,=4,化简,得,k,2,=,或-1(舍去),故,k,=,所以直线,l,的方程为,y,=,(,x,+1),或,y,=-,(,x,+1).,故存在满足题意的直线,l,其方程为,y,=,(,x,+1).,解法二:假设存在直线,l,使得|,AM,|,2,=|,CM,|,DM,|成立,由题意直线,l,不与,x,轴重合,设直线,l,的方程为,x,=,my,-1,由,得(,m,2,+2),y,2,-2,my,-1=0,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,y,1,+,y,2,=,y,1,y,2,=,故|,AB,|=,|,y,1,-,y,2,|=,=,x,1,+,x,2,=,m,(,y,1,+,y,2,)-2=,-2=,所以,AB,的中点,M,的坐标为,所以直线,CD,的方程为,y,=-,x,由,得,x,2,=,设,C,(,x,0,y,0,),则,D,(-,x,0,-,y,0,),=,所以|,CM,|,DM,|=,|,x,M,-,x,0,|,|,x,M,+,x,0,|=,|,-,|=,由|,AB,|=2|,AM,|,|,AM,|,2,=|,CM,|,DM,|得|,AB,|,2,=4|,CM,|,DM,|,即,=4,解得,m,2,=2,故,m,=,所以直线,l,的方程为,x,=,y,-1,或,x,=-,y,-1.,故存在满足题意的直线,l,其方程为,x,=,y,-1.,方法技巧,(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的,元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方,程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在.,(2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法.,3-1,已知椭圆,M,:,+,=1(,a,b,0)过点(0,-1),且离心率,e,=,.,(1)求椭圆,M,的方程;,(2)是否存在菱形,ABCD,同时满足下列三个条件:,点,A,在直线,y,=2上;,点,B,C,D,在椭圆,M,上;,直线,BD,的斜率等于1.,如果存在,求出,A,点的坐标;如果不存在,请说明理由.,解析,(1)由题意得,解得,所以椭圆,M,的方程为,+,y,2,=1.,(2)不存在满足题意的菱形,ABCD,.理由如下:,假设存在满足题意的菱形,ABCD,.,设直线,BD,的方程为,y,=,x,+,m,B,(,x,1,y,1,),D,(,x,2,y,2,),线段,BD,的中点,Q,(,x,0,y,0,).,由,得4,y,2,-2,my,+,m,2,-3=0.,由,=(-2,m,),2,-16(,m,2,-3)0得-2,m,2.,因为,y,1,+,y,2,=,所以,y,0,=,=,.,因为四边形,ABCD,为菱形,所以,Q,是,AC,的中点,又因为,A,点的纵坐标为2,所以,C,点的纵坐标,y,C,=2,y,0,-2=,-2-1.,因为点,C,在椭圆,M,上,所以-1,y,C,1,这与,y,C,-1矛盾.,所以不存在满足题意的菱形,ABCD,.,