1.1函数与极限.pptx

,*,*,1,第,1,章 函数与极限,引言,2,初等数学,研究对象为,常量,以静止观点研究问题,.,高等数学,研究对象为,变量,运动,和,辩证法,进入了数学,.,一、什么是高等数学,?,3,1.分析基础:函数,极限,持续,2.,微积分学,:,一元微积分,(,上册,),(,下册,),3.,常微分方程,重要内容,多元微积分,4,应用广泛、威力强大,感受 微积分,是人类智慧最伟大的成就之一,是有关运动和变化的数学,是科学而优美的语言,5,修完本课程，你将能,解释雨后彩虹的形成,计算水坝承受的压力,推算火箭逃逸的速度,6,二、如何学习高等数学,?,1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习爱好.,2.学数学最佳的方式是做数学.,聪颖在于学习,天才在于积累.,学而优则用,学而优则创,.,由薄到厚,由厚到薄,.,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地理解自然,就必须熟悉数学.,一门科学,只有当它成功地运用数学时,才干达成真正完善的地步.,华罗庚,7,核心：强化概念的理解！,办法：“数值化”“代数化”“几何化”具体 精确 形象,8,习题册：,大学数学原则化习题（四川大学出版社）,9,1.1,映射与函数,10,分析基础,函数,极限,持续,研究对象,研究办法,研究桥梁,11,元素,a,属于集合,M,记作,元素,a,不属于集合,M,记作,一、集合,1.定义及表达法,定义,1.,含有某种特定性质的事物的总体称为集合.,构成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为,空集,记作,.,(,或,).,注,:,M,为数集,表达 M 中排除 0 的集;,表达 M 中排除 0 与负数的集.,12,表达法：,(1),列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素,.,例,:,有限集合,自然数集,(2),描述法：,x 所含有的特性,例,:,整数集合,或,有理数集,p,与,q,互质,实数集合,x,为有理数或无理数,开区间,闭区间,13,无限区间,点的,邻域,其中,a,称为邻域中心,称为邻域半径,.,半开区间,去心,邻域,左,邻域,:,右,邻域,:,14,是,B,的,子集,或称,B,包含,A,2.,集合之间的关系及运算,定义,2,.,则称,A,若,且,则称,A,与,B,相等,例如,显然有下列关系,:,若,设有集合,记作,记作,必有,15,定义,3.,并集,交集,且,差集,且,给定两个集合,A,B,定义下列运算,:,余集,直积,特例,:,记,为平面上的全体点集,或,16,二、映射,1.,映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,按一定规则查号,某班学生的集合,某教室座位,的集合,按一定规则入座,引例,1.,17,引例,2.,引例,3.,(,点集,),(,点集,),向,y,轴投影,18,定义,4.,设,X,Y,是两个非空集合,若存在一种对应规,则,f,使得,有唯一拟定的,与之对应,则,称,f,为从,X,到,Y,的,映射,记作,元素,y,称为元素,x,在映射,f,下的,像,记作,元素,x,称为元素,y,在映射,f,下的,原像,.,集合,X,称为映射,f,的,定义域,;,Y,的子集,称为,f,的,值域,.,注意,:,1),映射的三要素,定义域,对应规则,值域,.,2),元素,x,的像,y,是唯一的,但,y,的原像不一定唯一,.,19,对映射,若,则称,f,为,满射,;,若,有,则称,f,为,单射,;,若,f,既是满射又是单射,则称,f,为,双射,或,一一映射,.,引例,2,3,引例,2,引例,2,20,例,1.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,本身之间定义了一种映射,(,满射,),例,2.,如图所示,则有,(,满射,),21,X,(,数集 或点集,),阐明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X,(,),Y,(,数集,),f,称为,X,上的,泛函,X,(,),X,f,称为,X,上的,变换,R,f,称为定义在,X,上的,为,函数,映射又称为,算子,.,名称,.,例如,22,2.,逆映射与复合映射,(1),逆映射的定义,定义,:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上,的逆映射记成,例如,映射,其逆映射为,其中,称此映射,为,f,的逆映射,.,23,(2),复合映射,手电筒,D,引例,.,复合映射,24,定义,.,则当,由上述映射链可定义由,D,到,Y,的,复,设有映射链,记作,合映射,时,或,注意,:,构成复合映射的条件,不可少,.,以上定义也可推广到多个映射的情形,.,25,定义域,三、函数,1.,函数的概念,定义,4,.,设数集,则称映射,为定义在,D,上的函数,记为,f,(,D,),称为值域,函数图形,:,自变量,因变量,26,例如,反正弦主值,定义域,值域,又如,绝对值函数,定义域,值 域,27,例,4.,已知函数,求,及,解,:,函数无定义,并写出定义域及值域,.,定义域,值 域,28,2.函数的几个特性,设函数,且有区间,(1),有界性,使,称,使,称,阐明:还可定义有上界、有下界、无界,(,见上册,P11),(2),单调性,为,有界函数,.,在,I,上有界,.,使,若对任意正数,M,均存在,则称,f,(,x,),无界,.,称 为,有上界,称 为,有下界,当,时,称,为,I,上的,称,为,I,上的,单调增函数,;,单调减函数,.,29,(3),奇偶性,且有,若,则称,f,(,x,),为,偶函数,;,若,则称,f,(,x,),为,奇函数,.,阐明:若,在,x,=0,有定义,为,奇函数,时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,30,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,31,(4),周期性,且,则称,为,周期函数,若,称,l,为,周期,(普通指最小正周期).,周期为,周期为,注,:,周期函数不一定存在最小正周期,.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x,为有理数,x,为无理数,32,3.,反函数与复合函数,(1),反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为,f,的,反函数,.,其反函数,(,减,),(,减,).,1),y,f,(,x,),单调递增,且也单调递增,性质,:,33,2),函数,与其反函数,的图形有关直线,对称,.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线,对称,.,指数函数,34,(2),复合函数,则,设有函数链,称为由,拟定的复合函数,复合映射的特例,u,称为,中间变量,.,注意,:,构成复合函数的条件,不可少,.,例如,函数链,:,函数,但函数链,不能构成复合函数,.,可定义复合,35,练习：下列多个关系式表达的 y 与否为 x 的函数?为什么?,不是,是,不是,提示,:,(2),36,两个以上函数也可构成复合函数,.,例如,可定义复合函数,:,37,4.,初等函数,(1),基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2),初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为,非初等函数,.,例如,并可用一种式子表达的函数,通过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为,初等函数,.,可表为,故为初等函数,.,又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数,.,(,自学,P17 P21),38,非初等函数举例,:,符号函数,当,x,0,当,x,=0,当,x,0,取整函数,当,39,练习：下列函数与否为初等函数?为什么?,以上各函数都是初等函数,.,40,例,5.,求,的反函数及其定义域,.,解,:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,41,四、小结,1.,集合及映射的概念,定义域,对应规律,3.,函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的构造,2.,函数的定义及函数的二要素,