矢量场和梯度算子培训课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,第七章 电磁波的散射、色散和吸收,*,2026/9/23,1,矢量、矢量场和梯度算子,2026/9/23,什么是矢量？,2,坐标变换,坐标系,Oxyz,任一点,P,的坐标：,坐标系,Oxyz,任一点,P,的坐标：,坐标变换,2026/9/23,什么是矢量？,3,标量与矢量的定义,定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述，,并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为,标量,推论：如果,a,和,b,是两个标量，则,a+b,和,ab,也都是标量。,例子：质量,m,、电荷,q,、温度、,Newton,时间,t,，,etc.,定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述，,并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样，,则称其为,矢量,。即,推论：位矢是一个矢量,矢量的表示,:,2026/9/23,矢量运算,5,标量与矢量运算,(,续,),推论：动能,标量积,：,矢量的长度,：,证明：,如果对于任意矢量,、功,是标量,是一个标量，则,必是某个矢量 的分量。,2026/9/23,矢量运算,6,标量与矢量运算,(,续,),矢量积,：,证明：,推论：角动量,、力矩,是（赝）矢量。,2026/9/23,矢量运算,7,标量与矢量运算,(,续,),标量积的几何意义：,证明：,矢量积的几何意义：,大小为 ，即两个矢量张成的平行四边形的面积，方向满足右手法则。,为两个矢量之间的夹角：,2026/9/23,矢量运算,8,单位基矢,单位基矢：,“完整”的矢量,指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义,突出了矢量是坐标变换下得不变量,单位基矢的变换：,2026/9/23,矢量运算,9,矢量的混合积,的大小为三个矢量所张成的平行六面体的体积，正负取决于这三个矢量是否满足右手法则确定。,2026/9/23,什么是场？,10,标量场及其几何表示,标量场,：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋,予某个唯一的标量（数）,代数表示：函数,几何表示：等值面、等值线,-,q,+,q,-,q,+3,q,-,q,+,q,-,q,+,q,-,q,+,q,-,q,+,q,2026/9/23,什么是场？,11,矢量及其几何表示,矢量场,：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋予某个唯一的矢量,代数表示：函数,几何表示：箭头、场线,2026/9/23,梯度算子,12,场在空间某个方向上的变化率,在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律,在 方向上的变化率,方向导数,2026/9/23,梯度算子,13,场在空间某个方向上的变化率,(,续,),是一个矢量场的三个分量,梯度算子,在 方向上的,方向导数,2026/9/23,梯度算子,14,梯度算子,梯度算子是一个矢量算子,标量场,梯度,是一个矢量场：,矢量场,散度,是一个标量场：,矢量场,旋度,是一个矢量场：,梯度算子是一个,矢量,微分,算符,：,作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则,作为算符，需作用于表达式中的所有对象,2026/9/23,梯度算子,15,与位置有关的矢量微分公式,证明：,2026/9/23,梯度算子,16,与梯度算子有关的一些矢量恒等式,2026/9/23,梯度算子,17,关于梯度算子恒等式的符号法证明,例,:,用符号法证明,证,(1),视,为“,算符”，分别作用,和,（加上下标以示区别），得两项：,(2),视,矢和,为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：,(3),代回原式并舍去矢量算符的下标得,证毕,2026/9/23,梯度算子,18,梯度算子,补例,:,用符号法证明,证,(1),视,为“,算符”，分别作用,和,（加上下标以示区别），得两项：,(2),视,矢和,A,为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：,(3),代回原式并舍去矢量算符的下标得,证毕,2026/9/23,梯度算子,19,梯度算子,补例,:,用符号法证明,证,(1),视,为“,算符”，分别作用,A,和,B,（加上下标以示区别），得两项：,(2),视,A,矢和,B,为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：,(3),代回原式并舍去矢量算符的下标得,证毕,2026/9/23,梯度算子,20,梯度算子,补例,:,用符号法证明,证,(1),视,为“,算符”，分别作用,A,和,B,（加上下标以示区别），得两项：,(2),视,A,矢和,B,为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：,(3),代回原式并舍去矢量算符的下标得,证毕,2026/9/23,梯度算子,21,场随空间的二阶变化,标量场梯度 是矢量场：,矢量场散度 是标量场：,矢量场旋度 是矢量场：,Laplace,(,标量,),算符,是一个矢量场，其分量为,2026/9/23,梯度算子,22,场随空间的二阶变化,矢量场的旋度是无源（散）场：,标量场的梯度是无旋场：,标量场梯度 是矢量场：,矢量场散度 是标量场：,矢量场旋度 是矢量场：,