湖南大学微积分30-第30讲一元微积分应用(三)幻灯片资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,一,）,第三十讲 一元微积分的应用(三),脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,函数展开为幂级数,第六章 一元微积分的应用,本章学习要求：,熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。,能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。,掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。,知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。,掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。,熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。,能利用定积分定义式计算一些极限。,一、幂级数的解析运算,三、函数展开为幂级数,四、函数展开为幂级数应用举例,第六章 一元微积分的应用,第四节 函数展开为幂级数,二、泰勒级数,魏尔斯特拉斯,Weierstrass,K.W,1815 1897,数学家魏尔斯特拉斯1815年10月31日出生于,德国的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。,魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教,育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。,魏尔斯特拉斯11岁丧母，翌年其父再婚。他有一,个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活,上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。1834年其父将,他送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋取政府高级职位创造条件。,魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并于1854年发表于克雷尔杂志上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。,1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师，并享受一年的研究假期。1856 年6 月14日柏林皇家综合科学校任命他为数学教授，他欣然地接受了聘书。同年的11月19日他当选为柏林科学院院士。1864年成为柏林大学教授，在此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础，进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔,成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。1873年他出任柏林大学校长，从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占去了他的全部时间，紧张的工作影响了他的健康，使他疲惫不堪，但他的智力未见衰退，研究工作仍继续进行。,1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,医治无效，于1897年2月19日与世长辞，享年 82 岁。,除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（1856年）、巴黎科学院院士（1868年）、英国皇家学会会员（1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。,魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论的奠基人，是无与伦比的大学数学教师。,幂级数的解析运算,2,幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的,在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性.,幂级数的解析运算,3,幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性,在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,幂级数也在其收敛区间内可积.,逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有,相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变.,首项为,x,公比为,x.,例,1,解,符合积分要求了,分析,例,2,等比级数,例,2,解,幂级数的解析运算,4,幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性,逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有,相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数,为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起,始值.,例,3,解,由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得,请自己完成,例,4,分析,在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项,积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级,数具有相同的收敛半径.如有必要,可对它连,续进行逐项求导和逐项积分.,就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具,有任意阶的导数及任意次的可积性.,幂级数的性质多好啊！,如何将函数表示为幂级数?,怎么做？,二、泰勒,级数,将函数展开为幂级数得的问题是否,就是将函数展开为泰勒级数的问题?,一个幂级数在其收敛区间内代,表一个函数,即它的和函数:,任意一个函数能否在某一个区间内表示为,某一个幂级数的形式呢?即是否有,工程需要,泰勒公式,问题,回忆泰勒中值定理的构建过程,按照上面的方法不断地做下去,是否有下,面的结论:,等号成立吗？,该级数收敛吗？,即算级数收敛,其和函数等于,f,(,x,),吗？,定理,证,由定理的条件可知,且其和函数,于是有,由数学归纳法,得,该定理说明,幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式:,定理和定义给我们提供了什么信息?,定义,定理和定义告诉我们：,处有任意阶导数,则它,就有一个相应的泰勒级数存在.,但此泰勒级数,不一定收敛,即算收敛,其和函数也不一定等于,就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是条件的.,内可表示为幂级数的形式,则该幂级数一定是函数,f,(,x,),的泰勒级数.,问 题,回忆泰勒中值定理的构建过程,由级数的部分和及收敛性,质看出一点什么没有?,定理,证,余下的工作由学生自己完成.,推 论,证,（提示）,自己做!,马克劳林级数,就可写出它的泰勒级数.,但它的泰勒级数不一,定收敛,只有当拉格朗日余项,时,泰勒级数才收敛于,一个函数如果能够展开为幂级数形式,则,该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是,唯一的.,即使收敛,其和函数,三、函数展开为,幂级数,函数展开,为幂级数,直接展开法,间接展开法,该方法是先求出函数,写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的,拉格朗日余项是否满足,确定级,数的收敛区间.,直接展开法,例,4,解,例,5,解,从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用,幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行,适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公,式的方法,称为间接展开法.,间接展开法,例,6,解,利用变量代换,例,7,解,等比级数的和,例,8,解,