非线性微分方程及稳定性.pptx

6.1 引言引言n n阶微分方程：阶微分方程：做变换：做变换：则则n n阶微分方程可以用一阶方程组阶微分方程可以用一阶方程组设给定方程组（设给定方程组（6.16.1）的初始条件为）的初始条件为考虑包含点考虑包含点（6.1）的某区域的某区域所谓所谓在域在域上关于上关于局部满足局部满足利普希茨条件利普希茨条件是指对于是指对于内任意点内任意点存在闭邻域存在闭邻域满足利普希茨条件，即存在常数满足利普希茨条件，即存在常数而而使得不等式：使得不等式：关于关于与与写成向量形式：写成向量形式：对所有对所有如果向量函数如果向量函数在域在域满足利普希茨条件，则方程组满足利普希茨条件，则方程组（6.16.1）存在唯一存在唯一解解存在唯一性定理存在唯一性定理成立。成立。上连续且关于上连续且关于如果向量函数如果向量函数解的延拓与连续性定理解的延拓与连续性定理续，且关于续，且关于它在区间它在区间这里这里内连内连在某域在某域条件条件的解的解满足局部里普希茨条件，则方程组满足局部里普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初始的满足初始到到或者使点或者使点可以延拓，或者延拓可以延拓，或者延拓任意接近区域任意接近区域的边界。的边界。上连续，而且上连续，而且可微性定理可微性定理在域在域及及如果向量函数如果向量函数确定确定把方程把方程（6.1）化为：化为：作为作为内连续，那么方程组内连续，那么方程组（6.16.1）由初始条件由初始条件的函数，在存在范围内是连续可微。的函数，在存在范围内是连续可微。的解的解（6.3）邻近的解的性态，通常先利用邻近的解的性态，通常先利用变换变换:(6.28)为研究为研究（6.1）的特解的特解其中其中此时显然有：此时显然有：（6.4）6.2 稳定性的基本概念稳定性的基本概念定义定义6.1 设设是系统是系统(6.3)适合初值条件适合初值条件的解的解(1)若若使得只要使得只要对一切恒有恒有则称系统则称系统(6.3)的零解的零解是稳定的。是稳定的。(2)若若 1)是稳定的是稳定的;2)使得只要使得只要就有就有则称系统则称系统(6.3)(6.3)的零解的零解是渐近稳定的是渐近稳定的;区域区域称为称为吸引域吸引域;如果吸引域是全空间如果吸引域是全空间,则称则称稳定的稳定的.是全局渐近是全局渐近(3)若若 是不稳定的。是不稳定的。都都但但则称则称与使使6.3 相平面相平面现在讨论二阶微分方程组现在讨论二阶微分方程组（6.5）它的解它的解 如果把时间如果把时间t t当做参数，仅考虑当做参数，仅考虑x x，y y为坐标的（欧氏）空间，为坐标的（欧氏）空间，此空间成为方程组（此空间成为方程组（6.56.5）的）的相平面相平面（若方程组是高阶的，则称为（若方程组是高阶的，则称为相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线轨线。对一般。对一般的方程组（的方程组（6.56.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但如果方程组（如果方程组（6.56.5）是）是驻定方程组驻定方程组，即其右端函数不显含时间，即其右端函数不显含时间t t的情的情形，此时（形，此时（6.56.5）式变成：）式变成：（6.6）（6.7）附注附注：在相平面，驻定方程组（：在相平面，驻定方程组（6.7）的轨线不相交。）的轨线不相交。同时满足同时满足（6.7）的）的奇点奇点，显然，显然称为驻定方程组称为驻定方程组是方程组的解。是方程组的解。的点的点 （6.8）方程（方程（6.7）的另一形式：）的另一形式：（6.9）其中，其中，根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换特征方程特征方程把线性方程组把线性方程组（6.8）化成标准形式，其系数为下列四种形式：化成标准形式，其系数为下列四种形式：（6.10）为实数。这些标准形式是根据方程组为实数。这些标准形式是根据方程组（6.8）的的则此奇点还是唯一的。则此奇点还是唯一的。显然，坐标原点显然，坐标原点是奇点。如果方程组的系数满足条是奇点。如果方程组的系数满足条件件（6.11），且当，且当的根（称为特征根）的性质来决定的。的根（称为特征根）的性质来决定的。定理定理时奇点为时奇点为结点结点为实根，则为实根，则，零解为不稳定的。，零解为不稳定的。如果二阶线性驻定方程组如果二阶线性驻定方程组（6.8）的系数满足条件的系数满足条件（6.9），），则方程则方程的零解（奇点）将依特征方程（的零解（奇点）将依特征方程（6.11）的根的性质而分别有如下的）的根的性质而分别有如下的不同特性：不同特性：1）如果特征方程的根）如果特征方程的根即：即：时奇点为时奇点为鞍点鞍点时奇点和对应的零解均为不稳定的；当时奇点和对应的零解均为不稳定的；当结点是稳定的，而对应的零解为渐进稳定的，但当结点是稳定的，而对应的零解为渐进稳定的，但当则当则当时时为不稳定的。为不稳定的。时奇点为时奇点为中心中心，零解为稳定但非渐近稳定的。，零解为稳定但非渐近稳定的。3）如果特征方程的根为共轭复根，即）如果特征方程的根为共轭复根，即稳定的，而零解为渐近稳定的，但当稳定的，而零解为渐近稳定的，但当定的，而当定的，而当2）如果特征方程具有重根）如果特征方程具有重根时奇点和对应的零解均时奇点和对应的零解均时奇点和对应的解均为不稳定的；当时奇点和对应的解均为不稳定的；当时焦点是稳定的，对应的零解为渐近稳时焦点是稳定的，对应的零解为渐近稳奇点为奇点为焦点焦点，且当，且当时，这两类结点均为时，这两类结点均为的情形奇点为的情形奇点为奇结点奇结点。又当。又当则奇点通常为则奇点通常为退化结点退化结点，但在，但在6.4 由线性近似系统判定稳定性由线性近似系统判定稳定性称系统(6.13)的线性近似系统为(6.12)设为(6.12)的解,利用TayLor公式 可将(6.12)化为(6.14)(6.13)定理定理 (1)若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统(6.12)的零解是渐近稳定的;(2)若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统(6.12)的零解是不稳定的.定理定理(Hurwitz准则)实系数 n 次代数方程的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:定理定理 若特征方程若特征方程 没有零根或零实部的根，则非没有零根或零实部的根，则非方程组方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.14）的零解的稳定性态一致。的零解的稳定性态一致。6.5 判定稳定性的判定稳定性的Liapunov函数法函数法定义6.5 设若 且当时,则称函数在上是常正(常负)的;若函数且当时,则称在上是定正(定负)的;常常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为定号函数.若且在的任意领域内均既有使的点,也有使的点的点,则称函数在上是变号的.定理定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法)设有定义在上的定正(定负)函数表示沿系统(6.2)的轨线的全导数(1)若在上是常负(常正)的,则是稳定的;(2)若在上是定负(定正)的,则是渐近稳定的;(3)若在上是定正(定负)的,则是不稳定的;用来判定稳定性的这种函数称为Liapunov函数,也称为函数.内除附注附注1 若定正(定负),则常负(常正),但集合是渐近稳定的.外不含有系统(6.2)的整条轨线,附注附注2 若在的邻域内是变号函数,而定号,则是不稳定的.6.6 周期解和极限圈周期解和极限圈例例 对二阶非线性驻定方程组对二阶非线性驻定方程组由（由（6.16）可知当）可知当如取极坐标如取极坐标则方程组（则方程组（6.15）可化为）可化为（6.15）（6.16）时时和和及及即有两个特解即有两个特解第一个解即为原点，是一奇点。而第二个解在相平面上是半径等于第一个解即为原点，是一奇点。而第二个解在相平面上是半径等于，轨线是沿着顺时针方向旋转的。，轨线是沿着顺时针方向旋转的。1以原点为圆心的一个圆。这个以圆为轨线的解是一个以原点为圆心的一个圆。这个以圆为轨线的解是一个周期解周期解，周，周期为期为当当方程轨线的走向。方程轨线的走向。虑通过虑通过（圆心在原点）的圆，考（圆心在原点）的圆，考圆上的任一点圆上的任一点在相平面上任意作一个半径为在相平面上任意作一个半径为时，由式（时，由式（6.16）有）有时，则由时，则由（6.16）有有当当走出圆外。走出圆外。即轨线按顺时针方向从圆即轨线按顺时针方向从圆组成的环域组成的环域考虑由考虑由首先，由方程组首先，由方程组（6.16）的右端的右端限圈附近的轨线均正向（即限圈附近的轨线均正向（即和和内没有方程的奇点。其次，在边界内没有方程的奇点。其次，在边界上所有的轨线均从环域上所有的轨线均从环域外进入其内，并不再走出该环域。外进入其内，并不再走出该环域。可知，此环域可知，此环域这种孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为这种孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限圈极限圈。当极。当极）趋近于它时，称此）趋近于它时，称此极限圈为极限圈为稳定的稳定的。如果轨线是负向（即。如果轨线是负向（即走出圆外。走出圆外。即轨线按顺时针方向从圆即轨线按顺时针方向从圆定的定的。当此极限圈的一侧轨线正向趋于它，而另一侧轨线负向趋近。当此极限圈的一侧轨线正向趋于它，而另一侧轨线负向趋近它时，此它时，此极限圈称为半稳定的极限圈称为半稳定的。）趋近于它时，称）趋近于它时，称它为不稳它为不稳便可以证明在此环域内必存在极限圈。这种方法称为便可以证明在此环域内必存在极限圈。这种方法称为造的环域造的环域实际上可以不必先求出特解（如上例的实际上可以不必先求出特解（如上例的r=1），而仅仅由构），而仅仅由构假设二阶驻定微分方程组假设二阶驻定微分方程组当当上点的解上点的解定理定理（6.17）内存在单连通域内存在单连通域其右端函数其右端函数在相平面的某域在相平面的某域内的某一周期解（闭轨线）。内的某一周期解（闭轨线）。内有一阶连续偏导数。内有一阶连续偏导数。如果在如果在时不离开该域，则或其本身是一个周期解（闭轨线）时不离开该域，则或其本身是一个周期解（闭轨线）班狄克生方法班狄克生方法。在其内不含有方程组在其内不含有方程组（6.17）的奇点，而（）的奇点，而（6.17）的经过域）的经过域内存在有界的环形闭域内存在有界的环形闭域如果于如果于定理定理，或它按正向（或负向）趋近于，或它按正向（或负向）趋近于不变不变在其内函数在其内函数内内号且在号且在内的任何子域不恒等于零，则方程组（内的任何子域不恒等于零，则方程组（6.17）在域）在域不存在任何周期解，更不存在任何极限圈。（利用格林公式反证之）不存在任何周期解，更不存在任何极限圈。（利用格林公式反证之）是偶函数，是偶函数，则方程（则方程（6.19）可化为）可化为并设并设李安奈特方程李安奈特方程（6.18）时时对一切对一切2）（6.19）二阶方程组二阶方程组范得坡方程范得坡方程满足局部利普希茨条件；满足局部利普希茨条件；如果记如果记连续，连续，假设假设定理定理为奇函数，当为奇函数，当（6.20）1）内的任何子域不恒等于零，则方程组内的任何子域不恒等于零，则方程组（6.17）在域在域3）当）当时时且对且对有唯一正零点有唯一正零点，均为唯一的二次型，均为唯一的二次型（或定正）的对称阵（或定正）的对称阵的极限圈。的极限圈。均不满足关系均不满足关系那么，方程那么，方程（6.19）有为一周期解，即方程组有为一周期解，即方程组（6.20）有一个稳定有一个稳定则对任何定负则对任何定负是单调增加的。是单调增加的。（6.21）的特征根的特征根6.7 6.7 二次型二次型二次型二次型V V V V函数的构造与控制系统的绝对稳定性函数的构造与控制系统的绝对稳定性函数的构造与控制系统的绝对稳定性函数的构造与控制系统的绝对稳定性（6.22）使其通过方程组（使其通过方程组（6.21）的全导数有）的全导数有定理定理 如果如果n阶线性微分方程组阶线性微分方程组（6.23）时，时，1）正（或定负）的；如果正（或定负）的；如果（6.21）有正实部的特征根，则二次型有正实部的特征根，则二次型如果方程组如果方程组（6.21）的特征根均具负实部，则二次型的特征根均具负实部，则二次型（6.22）是定是定而当而当且对称阵且对称阵（6.226.22）不是常正（或常负）的。不是常正（或常负）的。（6.25）满足关系式满足关系式2）（6.24）连续，连续，表示非线性特征，它满足条件：表示非线性特征，它满足条件：函数函数下面讨论控制系统中提出的一类非线性微分方程组：下面讨论控制系统中提出的一类非线性微分方程组：（6.26）故其绝对稳定的含义变为对满足条件故其绝对稳定的含义变为对满足条件（6.26）的任意函数的任意函数的解的解全局渐近稳定全局渐近稳定的，即零解的，即零解满足上述条件的方程组满足上述条件的方程组（6.25）只要函数只要函数稳定且对所有的取任意初始向量稳定且对所有的取任意初始向量满足满足（6.26），），则方程组则方程组（6.25）的零解的零解方程组（方程组（6.27）的零解）的零解称为称为绝对稳定绝对稳定的。的。时均趋于时均趋于是是当当是是全局渐近稳定全局渐近稳定的。的。时，这是称时，这是称直接控制系统直接控制系统；反之就；反之就称称间接控制系统间接控制系统。且间接控制系统可化为：。且间接控制系统可化为：若方程组若方程组（6.25）的的（6.27）时时的。的。根。当矩阵根。当矩阵A的特征值均具负实部时，要求控制参数的特征值均具负实部时，要求控制参数绝对稳定的必要条件是矩阵绝对稳定的必要条件是矩阵A没有具正实部的特征根，也没有零特征没有具正实部的特征根，也没有零特征而而定理定理定理定理的全导数的全导数间接控制系统的微分方程组间接控制系统的微分方程组（6.25）亦即其等价组亦即其等价组（6.27）为定负，则方程组为定负，则方程组(6.2)解是全局稳定解是全局稳定当当的定义域为全空间，即的定义域为全空间，即:如果有定义于全空间的定正函数如果有定义于全空间的定正函数假设微分方程假设微分方程(6.2)通过方程组通过方程组(6.2)(6.2)