高阶微分方程的降阶和幂级数解法.doc

4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法教学目的本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法教学要求会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程教学重点一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幂级数解法教学难点二阶线性方程幂级数解法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些,本节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法.一. 可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式 (4.57)不包含未知函数x,或更一般地, 不包含未知函数及其直到k1(k)阶导数的方程是：(4.58)如果能求得(4.58)的通解 即 对上式经过k次积分 即方程(4.57)的通解 这里为任常数.例1 求方程的解解:令,则方程化为这是一个一阶方程,其通解为,即有积分四次得原方程的通解不包含自变量t的方程其一般形式是: (4.59)此时,用作为新的未知函数 而把x作为新的自变量. 因为 用数学归纳法易得 可用来表达,将这些表达式代入(4.59)可得:即有新方程它比原来的方程(4.59)降低了一阶:例2 求方程 的解解 令,要取X作为新的自变量,于是原方程化为从而可得 及 这两方程的全部解是再代入原来变量得到所以原方程的通解是3)已知各线性方程的非要特解,进行降阶设正二阶齐线性方程 (4.69)的非要解令 则 代入(4.69)得 即 引入新的未知函数 方程变为是一阶线性方程 解之得因而 (4.70)这里 是任意常数。取,得(4.69)的一个特解因它与之比不等于常数 故线性无关 因此(4.70)为(4.69)的通解例3 已知是方程的解 可求方程的通解解 这是 由(4.70)得到为任常数一般已知齐次线性方程 (4.2)的K个线性无关解 其中令 , 则代入(4.2),得由于为(4.2)的解 故Y的系数恒等于零 而代为不包含Y的方程:令,则在的方向上方程变为 (4.07)且是(4.67)的个线性无关解，事实上，x为(4.2)解及或因此是4.67)的解,若则即由线性无关知 全为零.故 线性无关.因此,对(4.61)以做法,令. 则又可把方程化为关于u的n-1阶齐线性方程. (4.68)一直下去,可降低n-k阶二. 二阶线性方程的幂级数解法对二截变函数齐线性方程 (4.72)其求解问题归结为寻求它的一个非零解,由于是变函数,因此不能像4.2那样利用代数方法先求解.但从微分学中知道,在满足某些条件下,可以用幂级数来表示一个函数.因此,自然想到,能否用幂级数来表示微分方程的解呢?下面讨论这一问题.为此先列出下面两个定理.( 一般性,可设)定理10. 若方程(4.72)中系数和都能展成x的幂级数,且收敛区间为R,则方程(4.72)有形为 (4.73)的特解.也以R为级数的收敛区间.定理11. 若方程(4.72)中的系数,只有这样的性质.即和均能展成x的幂级数.且收敛区间为R,则方程(4.72)有形为 (4.75)的特解,这里,是一个待定的常数,级数(4.75)也以0时,因此(4.77)变为 (4.77)当时,完全类似可得 , k=1,2,若取 则可得(4.74)另一个特解 (4.78)达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛,因此当n非负整数时,为(4.74)的解,且线性无关. 因而(4.74)的通解为 这里为任常数.当n=正整数时, 而时,不能从(4.76)中确定因此不能像上面一样求得通解.这时可以利用一,B介绍的除阶法,求出与线性无关的解,因而(4.74)的通解为 是任常数例6. 求方程 的通解 解: 引入新变量t=2x 我们有 代入方程得 这是n=的Bessel方程. 由e解知,方程通解可表为 代回原来变量得原方程的通解 其中是任常数