高阶微分方程的降阶和幂级数解法.doc

§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法
教学目的
本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法
教学要求
会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程
教学重点
一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幂级数解法
教学难点
二阶线性方程幂级数解法
教学方法
讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些,本节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法.
一. 可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式
(4.57)
⒈不包含未知函数x,或更一般地, 不包含未知函数及其直到k－1(k≧１)阶导数的方程是：
　　　　　　(4.58)
如果能求得(4.58)的通解

即

对上式经过k次积分 即方程(4.57)的通解

这里为任常数.
例1 求方程的解
解:令,则方程化为

这是一个一阶方程,其通解为,即有

积分四次得原方程的通解

⒉不包含自变量t的方程
其一般形式是:
(4.59)
此时,用作为新的未知函数 而把x作为新的自变量. 因为

用数学归纳法易得 可用来表达,将这些表达式代入(4.59)可得:

即有新方程

它比原来的方程(4.59)降低了一阶:
例2 求方程 的解
解 令,要取X作为新的自变量,于是原方程化为

从而可得
及
这两方程的全部解是

再代入原来变量得到

所以原方程的通解是

3)已知各线性方程的非要特解,进行降阶
①设正二阶齐线性方程
(4.69)
的非要解
令 则

代入(4.69)得

即

引入新的未知函数 方程变为

是一阶线性方程 解之得

因而
(4.70)
这里 是任意常数。
取,得(4.69)的一个特解

因它与之比不等于常数 故线性无关
因此(4.70)为(4.69)的通解
例3 已知是方程的解 可求方程的通解
解 这是 由(4.70)得到

为任常数
②一般已知齐次线性方程
(4.2)
的K个线性无关解 其中
令 , 则

代入(4.2),得

由于为(4.2)的解 故Y的系数恒等于零 而代为不包含Y的方程:令,则在的方向上方程变为
(4.07)
且是(4.67)的个线性无关解，事实上，x……为(4.2)解及或
因此是4.67)的解,若

则

即

由线性无关知 全为零.
故 线性无关.
因此,对(4.61)■以■做法,令. 则又可把方程化为关于u的n-1阶齐线性方程.
(4.68)
一直下去,可降低n-k阶
二. 二阶线性方程的幂级数解法
对二截变函数齐线性方程
(4.72)
其求解问题归结为寻求它的一个非零解,由于是变函数,因此不能像§4.2那样利用代数方法先求解.但从微分学中知道,在满足某些条件下,可以用幂级数来表示一个函数.因此,自然想到,能否用幂级数来表示微分方程的解呢?下面讨论这一问题.为此先列出下面两个定理.( ■■一般性,可设)
定理10. 若方程(4.72)中系数和都能展成x的幂级数,且收敛区间为<R,则方程(4.72)有形为
(4.73)
的特解.也以<R为级数的收敛区间.
定理11. 若方程(4.72)中的系数,只有这样的性质.即和均能展成x的幂级数.且收敛区间为<R,则方程(4.72)有形为
(4.75)
的特解,这里,是一个待定的常数,级数(4.75)也以<R为收敛区间.
例4. 求方程的满足初始条件,的解.
解: 设级数,
为方程的解,这里是待定常数. 由初始条件,

因而
将它代入方程,合并同类项,则令各项系数等于零,得到

即

因而

故方程的解为

例5. 求解n阶贝塞耳(Bessel)方程

这里n为非负常数.
解: 将方程改写成
(4.74)
易见,它满足定理11的条件,且按x展成的幂级数收敛区间为,则方程有形为
(4.75)
的特解.这里,而是的待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得

比较x的同次幂系数,得
k=2,3,…
因为则为从而为确定起见,暂令由(4.76)得
k=2,3,…
即 k=1,2,…
从而可得
k=1,2,…
因此 在时,得到Bessel方程的一个解
(4.77)
若将任常数取为

这里 到p>0时,
因此(4.77)变为
(4.77)
当时,完全类似可得
, k=1,2,…
若取

则可得(4.74)另一个特解
(4.78)
达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛,因此
当n≠非负整数时,为(4.74)的解,且线性无关. 因而(4.74)的通解为

这里为任常数.
当n=正整数时, 而时,不能从(4.76)中确定因此不能像上面一样求得通解.这时可以利用一,B介绍的除阶法,求出与线性无关的解,因而(4.74)的通解为

是任常数
例6. 求方程 的通解
解: 引入新变量t=2x 我们有

代入方程得

这是n=的Bessel方程. 由e解知,方程通解可表为

代回原来变量得原方程的通解

其中是任常数