直线与方程-知识点总结-例题习题精讲-详细答案-提高训练46.pdf

龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-1-课程星级：知能梳理知能梳理【知识点一：倾斜角与斜率】【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与 x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 x倾斜角的范围000180（2）直线的斜率）直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在.记作 tank0(90)当直线 与轴平行或重合时,lx000tan00k 当直线 与轴垂直时,不存在.lx090k经过两点的直线的斜率公式是 1112212(,),(,)P x yP xyxx（）2121yykxx每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：）求斜率的一般方法：已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；212121()yykxxxx已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；tank（4）利用斜率证明三点共线的方法：）利用斜率证明三点共线的方法：已知，若，则有 A、B、C 三点共线。112233(,),(,),(,)A x yB xyC xy123ABBCxxxkk或【知识点二：直线平行与垂直】【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有 2121/kkll特别地，特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行（2）两条直线垂直：）两条直线垂直：如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则有 1-2121kkll龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-2-注：注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，12ll与互相垂直.【知识点三：直线的方程】【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式直线方程的几种形式 需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 11()yyk xx为直线上一定点，11(,)x y为斜率 k不包括垂直于轴的x直线 斜截式 ykxb为斜率，是直线在轴 kby上的截距 不包括垂直于轴的x直线 两点式 112121yyxxyyxx 11221212(,),(,)x yxyxxyy经过两点且(,)不包括垂直于轴和x轴的直线 y截距式 1xyab a是直线在x轴上的非零截距，是直线在轴上的非零by截距 不包括垂直于轴和x轴或过原点的直线 y一般式 0AxByC 22(0)AB,A B C为系数无限制，可表示任何位置的直线 问题：过两点问题：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】【不一定】111222(,),(,)P x yP xy(1)若，直线垂直于轴,方程为；1212xxyy且x1xx(2)若，直线垂直于轴,方程为；1212xxyy且y12yy(3)若，直线方程可用两点式表示 1212xxyy且直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为，即两个截距均不能为零两个截距均不能为零，0,0ab因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-3-负。截距式方程的应用截距式方程的应用 与坐标轴围成的三角形的周长为:|a|+|b|+；22ab直线与坐标轴围成的三角形面积为:S=；1|2ab直线在两坐标轴上的截距相等，则或直线过原点，常设此方程为 1k xyaykx或（2）线段的中点坐标公式）线段的中点坐标公式 121122,(,),(,)P Px yxy若点的坐标分别是，1212122(,)2xxxPPM x yyyy且线段的中点的坐标为【知识点四【知识点四 直线的交点坐标与距离】直线的交点坐标与距离】（1）两条直线的交点）两条直线的交点 设两条直线的方程是,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC两条直线的交点坐标就是方程组的解。11122200AxB yCA xB yC若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.（2）几种距离）几种距离 两点间的距离：两点间的距离：平面上的两点间的距离公式 111222(,),(,)P x yP xy 22122121|()()PPxxyy特别地，原点与任一点的距离(0,0)O(,)P x y22|OPxy点到直线的距离：点到直线的距离：点到直线的距离 00(,)oP xy0AxByC 0022|AxByCdAB两条平行线间的距离：两条平行线间的距离：两条平行线间的距离 1200AxByCAxByC与 1222|CCdAB注注:1 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-4-2 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】精讲精练精讲精练【例】【例】已知，直线 过原点 O 且与线段 AB 有公共点，则直线 的斜率的ll取值范围是（）A B C D 答案：B 分析：由于直线 与线段 AB 有公共点，故直线 的斜率应介于 OA，OB 斜率之间 ll解：由题意，由于直线 与线段 AB 有公共点，l所以直线 的斜率的取值范围是 l考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线 与线段 AB 有公共点，应注意结合图象理解 l【例】【例】在坐标平面内，与点 A（1，2）距离为 1，且与点 B（3，1）距离为 2 的直线共有（）A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案：B 分析：由题意，A、B 到直线距离是 1 和 2，则以 A、B 为圆心，以 1、2 为半径作圆，两圆的公切线的条数即可 解：分别以 A、B 为圆心，以 1、2 为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求 考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想【例】【例】将直线 l1：y=2x 绕原点逆时针旋转 60得直线 l2，则直线 l2到直线 l3：x+2y3=0 的角为（）A 30 B 60 C 120 D 150 答案：A 分析：结合图象，由题意知直线 l1l3互相垂直，不难推出 l2到直线 l3：x+2y3=0 的角 解：记直线 l1的斜率为 k1，直线 l3的斜率为 k3，注意到 k1k3=1，l1l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线 l2到直线 l3的角是 30 需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-5-考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式【例】【例】方程所表示的图形的面积为_。1 yx答案：2解：方程所表示的图形是一个正方形，其边长为 1 yx2【例】【例】设，则直线恒过定点 ),0(为常数kkkba1byax答案：1 1(,)k k解：变化为 1byax()1,()10,axka ya xyky 对于任何都成立，则 aR010 xyky【例】【例】一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是_(3,4)M 12答案：，或 4160 xy390 xy解：设 444(3),0,3;0,34;33412yk xyxxykkkk 2413110,31140,4,3kkkkkk 或【例】【例】已知 A（1，2），B（3，4），直线 l1：x=0，l2：y=0 和 l3：x+3y1=0、设 Pi是 li（i=1，2，3）上与 A、B 两点距离平方和最小的点，则P1P2P3的面积是_ 答案：分析：设出 P1，P2，P3，求出 P1到 A，B 两点的距离和最小时，P1坐标，求出 P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可 解：设 P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）由题设点 P1到 A，B 两点的距离和为 显然当 b=3 即 P1（0，3）时，点 P1到 A，B 两点的距离和最小，同理 P2（2，0），P3（1，0），所以 考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题 龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-6-【例】【例】已知直线（a2）y=（3a1）x1，为使这条直线不经过第二象限，则实数 a 的范围是_ _ 答案：2，+）分析：由已知中直线（a2）y=（3a1）x1 不经过第二象限，我们分别讨论 a2=0（斜率不存在），a20（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数 a 的取值，进而综合讨论结果，得到答案 解：若 a2=0，即 a=2 时，直线方程可化为 x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；若 a20，直线方程可化为 y=x，此时若直线不经过第二象限，则0，0，解得 a0 综上满足条件的实数 a 的范围是2，+）考点：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当 k0 且 b0时，直线不过第二象限得到关于 a 的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对 a2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+）。【例】【例】过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为。(5,4)A l5解：设直线为交轴于点，交轴于点，4(5),yk xx4(5,0)ky(0,54)k 14165545,4025102Skkkk得，或 22530160kk22550160kk解得或 ，或为所求。2,5k 85k 25100 xy85200 xy【例】【例】直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边313yx xy,A BABABC，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，求的值。1(,)2P mABPABCm解：由已知可得直线，设的方程为/CPABCP3,(1)3yxc c 则，过 133,32113cABc333yx 1(,)2P m 得 135 33,232mm【例】【例】已知点，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。(1,1)A(2,2)BPxy2122PBPAP解：设，则(2,)Pt t2222222(21)(1)(22)(2)101410PAPBtttttt龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-7-当时，取得最小值，即 710t 22PBPA77(,)5 10P【例】【例】求函数的最小值。22()2248f xxxxx解：可看作点到点和点的距离之和，2222()(1)(0 1)(2)(02)f xxx(,0)x(1,1)(2,2)作点关于轴对称的点(1,1)x(1,1)22min()1310f x【例】【例】在ABC 中，已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x2y+1=0，A 的平分线所在直线的方程为y=0若点 B 的坐标为（1，2），求点 C 的坐标 分析：根据三角形的性质解 A 点，再解出 AC 的方程，进而求出 BC 方程，解出 C 点坐标逐步解答 解：点 A 为 y=0 与 x2y+1=0 两直线的交点，点 A 的坐标为（1，0）kAB=1 又A 的平分线所在直线的方程是 y=0，kAC=1 直线 AC 的方程是 y=x1 而 BC 与 x2y+1=0 垂直，kBC=2 直线 BC 的方程是 y2=2（x1）由 y=x1，y=2x+4，解得 C（5，6）考点：直线的点斜式方程。本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解【例】【例】直线 l 过点 P（2，1），且分别与 x，y 轴的正半轴于 A，B 两点，O 为原点（1）求AOB 面积最小值时 l 的方程；（2）|PA|PB|取最小值时 l 的方程 分析：（1）设 AB 方程为，点 P（2，1）代入后应用基本不等式求出 ab 的最小值，即得三角形OAB 面积面积的最小值（2）设直线 l 的点斜式方程，求出 A，B 两点的坐标，代入|PA|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件 解：（1）设 A（a，0）、B（0，b），a0，b0，AB 方程为，点 P（2，1）代入得 2，ab8（当且仅当 a=4，b=2 时，等号成立），故三角形 OAB 面积 S=ab4，此时直线方程为：，即 x+2y4=0（2）设直线 l：y1=k（x2），分别令 y=0，x=0，得 A（2，0），B（0，12k）龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-8-则|PA|PB|=4，当且仅当 k2=1，即 k=1 时，|PA|PB|取最小值，又 k0，k=1，这时 l 的方程为 x+y3=0 考点：本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及基本不等式的应用【例】【例】求倾斜角是直线 yx1 的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：314(1)经过点(，1)；(2)在 y 轴上的截距是5.3解：直线的方程为 yx1，k，倾斜角 120，33由题知所求直线的倾斜角为 30，即斜率为.33(1)直线经过点(，1)，所求直线方程为 y1(x)，即x3y60.33333(2)直线在 y 轴上的截距为5，由斜截式知所求直线方程为 yx5，即x3y150.333需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】【例】【例】已知直线 l：kxy12k0(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 交 x 负半轴于 A，交 y 正半轴于 B，AOB 的面积为 S，试求 S 的最小值并求出此时直线l 的方程。解：(1)证明：由已知得 k(x2)(1y)0，无论 k 取何值，直线过定点(2,1)。(2)令 y0 得 A 点坐标为(2，0)，1k令 x0 得 B 点坐标为(0,2k1)(k0)，SAOB|2|2k1|(2)(2k1)(4k 4)(44)4 121k121k121k12当且仅当 4k，即 k 时取等号。1k12即AOB 的面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 xy110，即 x2y40 12【例】【例】已知函数，g（x）=x+a（a0）（1）求 a 的值，使点 M（f（x），g（x）到直线 x+y1=0 的最短距离为；（2）若不等式在 x1，4恒成立，求 a 的取值范围。分析：（1）先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解；（2）将绝对值符号化去，从而转化为上恒成立，进而利用换元法转化为龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-9-at22t+a20 在 t1，2上恒成立，从而得解 解：（1）由题意得 M 到直线的距离，令 则 t0 a1 时，即 t=0 时，a=30a1 时，dmin=0，不合题意 综上 a=3（2）由 即上恒成立，也就是在1，4上恒成立 令，且 x=t2，t1，2，由题意 at22t+a20 在 t1，2上恒成立 设（t）=at22t+a2，则要使上述条件成立，只需 即满足条件的 a 的取值范围是 考点：本题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略 需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】学习感悟学习感悟通过本课程的学习：通过本课程的学习：一、一、“知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗？“知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗？1、需要巩固的知识点：、需要巩固的知识点：2、尚未掌握的知识点：、尚未掌握的知识点：龙奇迹【学习资料网】宗旨：宗旨：专心精挑细选，用心为您服务 目标：目标：高效复习 快乐提分-10-二、二、“精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗？“精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗？1、完全掌握的例题：、完全掌握的例题：2、需要再次复习得例题：、需要再次复习得例题：3、尚未掌握的例题：、尚未掌握的例题：三、其他备注三、其他备注