小波分析及其应用讲义教材.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小波分析及其应用,Wavelet Analysis,andIts Applications,同济大学 计算机系宣国荣,2003年,6,月,10,日,星期二,1,研究生讲座：小波分析及其应用,1、,小波的特点和发展,2、,小波,分析,在一维信号处理中的应用,3、,小波,分析,在图象分析中的应用,图象特征抽取,图象压缩,数据隐藏和图象水印,2,1、,小波的特点和发展,“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。,例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。,3,小波的,成就,小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。,小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析进一步热潮的到来。,5,多分辨度分析（,MRA）,1988年,Mallat,提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。,当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：,6,7,参考：,M.Vetterli,”Wavelets and Subband Coding“,Prentice Hall PTR,1995,p.11,8,小波的3 个特点,小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶,变换只,具有频率分析的性质）,小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）,小波变换比快速,Fourier,变换还要快一个数量级。,信号长度为,M,时，,Fourier,变换,（左）,和,小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：,9,小波基表示发生的时间和频率,“时频局域性”图解：,Fourier,变换的基（上）小波变换基（中）,和时间采样基（下）的比较,傅里叶,变换,(Fourier),基,小波基,时间采样基,10,Haar,小,波基母函数,（a）Haar,“近似”,基,函数,（b）Haar,“细节”,基,函数,低频滤波系数 高频滤波系数,H,0,=1 1,q,H,1,=1 -1,q,=,q q =q -q,其中：,11,Haar,小波的基函数,第 1 行基函数是取平均（近似），,第 2-8 行基函数是取变化（细节）。,细节包括变化速率和发生的时间。,H,0,=1 1,q,H,1,=1 -1,q,尺度函数,近似基函数,小波函数,细节基函数,12,小波分析发展历史,1807年,Fourier,提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文,1910年,Haar,提出最简单的小波,1980年,Morlet,首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。,1985年,Meyer,和稍后的,Daubeichies,提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。,1988年,Mallat,提出的多分辨度分析理论（,MRA），,统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。,13,小波基可以通过给定滤波系数生成,小波基,（尺度函数和小波函数）,可以通过给定滤波系数生成。,有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。,小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道,小波基,函数，这是,I.,Daubechies,等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。,14,小波基函数和滤波系数(,Haar-,正交，对称),“近似”基函数,“反变换”低频和,高频“滤波系数”,“细节”基函数,Haar,小波,“正变换”低频和,高频“滤波系数”,15,小波基函数和滤波系数(,db 2-,正交，不对称),“近似”基函数,“细节”基函数,db,小波,“反变换”低频和,高频“滤波系数”,“正变换”低频和,高频“滤波系数”,16,小波基函数和滤波系数(,db 4-,正交，不对称),17,小波基函数和滤波系数(,sym 4-,正交，近似对称),18,小波基函数和滤波系数(,bior 2.4,双正交，对称,),19,小波基函数和滤波系数(,bior 6.8,双正交，对称,),20,2、小波,分析,在一维信号处理中的应用,小波变换,就是将 “原始信号,s”,变换 成,“小波 系数,w”，w=,w,a,w,d,包括近似(,approximation),系数,w,a,与细节(,detail),系数,w,d,近似系数,w,a,-平均成分（低频）,细节系数,w,d,-变化成分（高频）,21,小波原始信号分解过程：,原始信号,s,可分解成小波近似,a,与小波细节,d,之和。,s,=,a,+,d,小波系数,w=,w,a,w,d,的分量，乘以 基函数，形成小波分解：,小波近似系数,w,a,基函数,A=,近似分解,a,-平均,小波细节系数,w,d,基函数,D=,细节分解,d,-变化,22,小波分解和,小波基,小波基,D,小波基,A,原始信号,小波系数,w,d,小波系数,w,a,正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量,反变换：所有“小波分解”合成原始信号,例如：小波分解,a,=小波系数,w,a,小波基,A,23,离散小波变换公式,正变换,反变换,其中：是小波基函数,参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002,年,（R.C.Gonzalaz,”Digital Image Processing”，p.375),信号 s 有M个样本，J 级小波变换：,小波分解,小波系数,24,一维信号小波变换例子,Haar,小波，例子：,16,点信号:,6 5 9 8 3 7 8 5,6 5 9 8 1 3 3 9,通过,MATLAB,实现(,wavemenu),波形图,小波正变换：小波系数：,小波近似系数（加）；小波细节系数（减）,小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号。,有2种：近似分解；细节分解,25,一维信号的二级小波变换系数,原始信号,2级小波系数,w,2,=w,a,2,w,d,2,w,d,1,*Haar,是,正交变换。除以常数,，,目的使变换后平方和不变。,例如：,16位,2级近似系数,2级细节系数,1级细节系数,16位,26,一维信号的二级小波变换分解,2级近似分解 （原始信号每4个平均值）,2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）,1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）,恢复信号,27,一维信号的二级小波变换系数和分解,原始信号,2级小波系数,w,2,=w,a,2,w,d,2,w,d,1,2级近似分解 （原始信号每4个平均值）,2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）,1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）,恢复信号,28,原始信号,16,点,16,点原始信号 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9,29,两级小波系数,16,点,原始信号,小波系数,原始信号(红),两级,小波系数,w,d1,w,d2,|w,d2,|,|w,d1,|,30,16,点 信号 的,Haar,小波近似值和细节分解,两级分解,31,小波,去噪声,一般噪声特点：,（1）高频成分（细节），（2）幅度小：用阈值；,去噪声过程：,去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。,对2级小波，设定2个阈值，称“阈值2”和“阈值1”。,去除1级噪声：去除1级小波细节分解中小于“阈值1”部分。,去除2级噪声：去除2级小波细节分解中小于“阈值2”部分。,恢复：,将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号,32,噪声去除,两级分解,噪声去除，,括号内保留部分数据,原始信号(红),去噪后 (黄),w,d1,两级,小波系数,w,d2,33,小波,去噪声,16,点,6 5,9 8,3 7,8 5,6 5,9 8,1 3,3 9,|w,d1,|1,级去噪前绝对值,|w,d1,|1,级去噪后绝对值,|w,d2,|2,级去噪后绝对值,|w,d2,|2,级去噪前绝对值,原始信号(红),去噪后 (黄),1,级细节小波系数,2,级细节小波系数,0.707,1,1,-4,3,1,1,-2,-6,0.5,-6,-3,-6,-8,两级,小波系数,阈值1,w,d1,w,d2,阈值2,34,Haar,小波,去噪声（,16,点信号）,16,点原始信号 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9,小波去噪声,两级分解,35,一维信号的小波变换例子 2（,电压曲线,）,通过,MATLAB,实现(,wavemenu),波形图,(MATLAB,toolbox wavelet wavedemo leleccum.mat),是,“电网监视的电压曲线”，,有,4570,个点,Haar,小波变换,36,haar,小波,(,s=a,2,+d,2,+d,1,),(,wavemenu)leleccum Level 2,(,s,-原始信号，,a,2,-,近似，,d,1,-d,2,细节),1,级细节分解(奇偶数值的差),2,级 细节分解(前2和后2的差),原始信号(红),2,级近似分解值,2 级小波分解,波形中的毛刺(见下页),37,1,级细节分解(奇偶数值的差),2,级细节分解(前2和后2的差),原始信号(红),2,级近似分解值,2 级小波分解（放大）,波形中的毛刺,38,图-5,haar,(,s=a,5,+d,5,+.+d,1,),(,wavemenu)leleccum Level 5,a,5,-,近似，,d,5,-d,1,细节,附录-5(,wavemenu)leleccum haar Level 5,leleccum.mat,是有,36560,个点的一维电压信号(,s,-原始信号，,a1-,近似，,d1-,细节),信号前2和后2的差-细节2,信号奇偶数值的差-细节1,原始信号,信号-近似值,5 级小波分解,39,小波,去噪声,leleccum haar,小波,两级,小波系数,1,级细节小波系数,2,级细节小波系数,黄虚线表示阈值,w,d1,w,d2,原始信号(红),去噪后(黄),|w,d1,|1,级去噪前绝对值,|w,d1,|1,级去噪后绝对值,|w,d2,|2,级去噪后绝对值,|w,d2,|2,级去噪前绝对值,40,小波,压缩,leleccum haar,黄虚线表示阈值,1,级细节小波系数,2,级细节小波系数,w,d1,w,d2,原始信号(红),压缩后(黄),两级,小波系数,|w,d1,|1,级去噪前绝对值,|w,d1,|1,级去噪后绝对值,|w,d2,|2,级去噪后绝对值,|w,d2,|2,级去噪前绝对值,41,小波,压缩效果,leleccum haar,黄色虚线全局阈值（自动分配两级阈值）,紫色线相对能量百分比（能量尽量保持）,绿色线零数目百分比(零数目愈大，压缩愈明显,),42,3、,小波,分析,在图象处理中的应用,图象是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。,（1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的,行变换。,（2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的,列变换。,小波变换用于图象压缩有良好的效果，已形成图象压缩的标准如,JPEG2000。,43,小波变换用于图象特征抽取,第1级,斜线细节,第1级,水平细节,第1级,垂直细节,水平细节,近似,图象,垂直细节,斜线细节,44,第1级,L,1,斜线细节,第1级,L,1,水平细节,第1级,L,1,垂直细节,第2级,L,2,细节,近似图象,第3级,L,3,小波系数分级方块表示法,45,第 3 级,L,3,分辨率,第 2 级,L,2,分辨率,第 1 级,L,1,分辨率,小波系数分级树形表示法,46,小波变换用于图象压缩,采用,小波,进行压缩。作“,小波变换”后，,统计特性有改善，,消除行和列之间的相关关系。,有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后,转换到一维,作,熵编码，如算术编码或霍夫曼编码,。,无损压缩：选择,“整数,小波变换”，无舍入误差。但不能进行比特分配。,47,小波变换用于图象压缩,第 3 级,L,3,水平、斜线、垂直细节,第 2 级,L,2,水平、斜线、垂直细节,第 1 级,L,1,水平、斜线、垂直细节,两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）,48,小波变换用于无损数据隐藏,无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择,“整数,小波变换”，无舍入误差。例如可以采用第二代小波。,无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出。小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据。,第一个无损数据隐藏是1999年科达公司发表的一个专利。由于法律上原因，医学图象数据隐藏必须是无损的。此外、无损数据隐藏在电子银行、电子政务、电子商务、图象建档等有广泛的用途。,49,数据嵌入,核磁共振医学图象,(,可,无损恢复,),(,水印图象见下页,),(,a),原始(5125128,),(,b),小波域,嵌入水印图象,50,水印图象,(1921202 二值图象),51,小波变换用于无损数据隐藏,（,交通图象）,原始图象,（1024,768）,信息隐藏后的伪装图象,（1024,768）,同时隐藏 5 张（320,280）图象（见下页）,52,同时隐藏的 5 张（320,280）交通图象，,可完全恢复,（1）上海延安路,（3）上海,曲阳路,（2）外地,（4）上海,曲阳路,（5）上海,曲阳路,53,小波变换用于图象水印,指纹原始图象 嵌入水印(取款密码等)后图象,指纹传感器：标准的,Veridicom,指纹鼠标,指纹开发工具：,Veridicom Authentication SDK,以,Windows,的,DLL,库方式提供,指纹库：,(,Fingerprint Verification Competition,FVC),。,FVC2000 db1,是由光学设备采集；,FVC2000 db2,是由电容设备采集。,银行,取款密码嵌入,指纹，网上进行身份认证,54,小波变换用于图象水印,小波正变换,小波反变换,小波 正变换,小波反变换,数据嵌入,数据提取,原始图象,加水印后图象输入,原始图象,加水印后图象 输出,隐藏数据,隐藏数据,55,小波分析最新进展,（1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波。,（2）嵌入零树法，获得更优良的效果。,（3）小波与统计理论结合。,（4）商品化，如“,JPEG2000”,小波图象压缩标准，,MATLAB,小波计算包等。,56,“小波分析及其应用”讲座,小结,（1）小波分析理论上比较完善,小波变换基，既具有频率局域性质，又具有时间局域性质。小波变换的多分辨度的变换，能在多个尺度上分解，便于观察信号在不同尺度（分辨率）上不同时间的特性。,（2）小波分析有广泛的实用性,小波变换存在快速算法，对于,M,点序列而言，计算复杂性为：,O(M)，,处理快速。小波变换基函数有多种类型，可以是正交的，也可以是非正交（双正交），比傅里叶变换更加灵活。,(,（,完）,57,附录1：2 级,Haar,小波变换,4,点,例子,序,信号,s,1 级 小波系数,w,1,=w,a1,w,d1,2 级 小波系数,w,2,=w,a,2,w,d,2,w,d,1,1,6,7.7782,14.0000,2,5,12.0208,-3.0000,3,9,0.7071,0.7071,4,8,0.7071,0.7071,w,d1,w,a1,w,a2,w,d2,w,d1,细节系数（,w,d1,）形成后不再变化。,原始信号,1 级 小波近似系数,1 级 小波,细节,系数,2级 小波近似系数,2 级 小波,细节,系数,(s,w,1,w2,的平方和不变),58,序,信号,s,一级小波,w,1,=w,a,1,w,d,1,二级小波,w,2,=w,a,2,w,d,2,w,d,1,1,6,7.7782,14.0000,2,5,12.0208,11.5000,3,9,7.0711,14.0000,4,8,9.1924,8.0000,5,3,7.7782,-3.0000,6,7,12.0208,-1.5000,7,8,2.8284,-3.0000,8,5,8.4853,-4.0000,9,6,0.7071,0.7071,10,5,0.7071,0.7071,11,9,-2.8284,-2.8284,12,8,2.1213,2.1213,13,1,0.7071,0.7071,14,3,0.7071,0.7071,15,3,-1.4142,-1.4142,16,9,-4.2426,-4.2426,附录2：,一级、二级,小波,16,点,w,d1,w,a1,w,a2,w,d2,w,d1,59,附录3：,小波,去噪声,16,点,序,n,信号,s,小波系数,w,1,小波系数,w,2,去噪声,小波,w,2,去噪声,信号,s,dn,s,dn,乘4,取整,1,6,7.7782,14.0000,14.0000,7.0000,28,2,5,12.0208,11.5000,11.5000,7.0000,28,3,9,7.0711,14.0000,14.0000,7.0000,28,4,8,9.1924,8.0000,8.0000,7.0000,28,5,3,7.7782,-3.0000,0,5.7500,23,6,7,12.0208,-1.5000,0,5.7500,23,7,8,2.8284,-3.0000,0,5.7500,23,8,5,8.4853,-4.0000,-0.5000,5.7500,23,9,6,0.7071,0.7071,0,7.0000,28,10,5,0.7071,0.7071,0,7.0000,28,11,9,-2.8284,-2.8284,0,7.0000,28,12,8,2.1213,2.1213,0,7.0000,28,13,1,0.7071,0.7071,0,3.7500,15,14,3,0.7071,0.7071,0,3.7500,15,15,3,-1.4142,-1.4142,0,3.8964,16,16,9,-4.2426,-4.2426,-0.5000,4.6036,18,w,d1,w,a1,w,a2,w,d2,w,d1,去噪声,w,d2,去噪声,w,d1,60,