人教版八年级下数学18.1.2平行四边形的判定优质.pptx

18.1,平行四边形,18.1.2,平行四边形的判定,第一课时,第二课时,人教版,数学,八年级 下册,第三课时,利用平行四边形的定义、边、角、对角线判定平行四边形,第一课时,返回,昨天初一的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想明天星期六回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来,?,然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢？,(,A,B,C,为三顶点,即找出第四个顶点,D,),A,B,C,导入新知,1.,经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，逐步掌握,说理,的基本方法,.,2.,掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的,判定定理,进行推理论证,.,素养目标,3.,在探索过程中发展我们的合理推理意识、,主动探究,的习惯,.,如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？,由上面的过程你得到了什么结论？,是平行四边形,两组对边分别相等,的四边形是平行四边形,B,探究新知,知识点,1,平行四边形的判定定理,1,如何证明这个结论呢？,已知：四边形,ABCD,中，,AB=DC,，,AD=BC,.,求证：四边形,ABCD,是平行四边形,.,A,B,C,D,连接,AC,，,在,ABC,和,CDA,中,AB,=,CD,(,已知,),，,BC,=,DA,(,已知,),，,AC,=,CA,(,公共边,),，,ABC,CDA,(SSS),1=4,2=3,，,AB,CD,AD,BC,，,四边形,ABCD,是平行四边形,.,证明：,1,4,2,3,探究新知,你能用,平行四边形的定义,来证明吗？,由上述证明可以得到平行四边形的,判定定理,1,：,两组,对边,分别相等的四边形是平行四边形,.,几何语言：,A,B,C,D,A,B,C,D,在四边形,ABCD,中，,AB,=,CD,AD,=,BC,四边形,ABCD,是平行四边形,.,探究新知,例,1,如图，在,Rt,MON,中，,MON,90.,求证：,四边形,PONM,是平行四边形,证明,：,在,Rt,MON,中，,由勾股定理得,(,x,5),2,4,2,(,x,3),2,，,解得,x,8.,PM,11,x,3,，,ON,x,5,3,，,MN,x,3,5.,PM,ON,，,OP,MN,，,四边形,PONM,是平行四边形,探究新知,素养考点,1,利用两组对边分别相等识别平行四边形,1.,如图,AD,AC,BC,AC,且,AB,=,CD,求证：四边形,ABCD,是平行四边形,.,证明,：,在,Rt,ABC,和,Rt,C,DA,中，,AC,=,CA,AB,=,CD,Rt,ABC,Rt,CDA,(HL),BC=DA,.,又,AB,=,CD,四边形,ABCD,是平行四边形,巩固练习,一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？,A,B,C,探究新知,知识点,2,平行四边形的判定定理,2,D,A,B,C,观看上面的图形，李明想使,B,=,D,，,A,=,C,即可，你觉得可以,吗？对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么,?,探究新知,D,A,B,C,猜想：,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,.,猜想，对吗？,探究新知,已知：四边形,ABCD,A,=,C,，,B,=,D,求证：四边形,ABCD,是平行四边形,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形,(,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,),同理可证,AB,CD,又,A,+,B,+,C,+,D,=360,2,A,+2,B,=360,A,=,C,，,B,=,D,（,已知,）,即,A,+,B,=180,AD,BC,（同旁内角互补，两直线平行）,A,B,C,D,探究新知,两组,对角,分别相等的四边形是平行四边形,.,平行四边形的,判定定理,2,:,符号语言：,A,B,C,D,A,=,C,，,B,=,D,四边形,ABCD,是平行四边形,（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）,探究新知,A,B,C,D,例,2,如图，四边形,ABCD,中，,AB,DC,，,B,55,，,1,85,，,2,40.,(,1,),求,D,的度数；,(,2,),求证：四边形,ABCD,是,平行四边形,(,1,),解：,D,2,1,180,，,D,180,2,1,55,；,(,2,),证明：,AB,DC,，,2,CAB,，,DAB,1,2,125.,DCB,DAB,D,B,360,，,又,D,B,55,，,探究新知,素养考点,1,利用平行四边形的判定定理,2,判定平行四边形,DCB,DAB,125.,四边形,ABCD,是平行四边形,2.,判断,下列四边形是,否为平行四边形：,A,D,C,B,110,70,110,A,B,C,D,120,60,是,不是,3.,能判定四边形,ABCD,是平行四边形的条件：,A,:,B,:,C,:,D,的值为（）,A.1:2:3:4,B.1:4:2:3,C.1:2:2:1,D.3:2:3:2,D,巩固练习,如图，将两根木条,AC,、,BD,的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形,ABCD,，转动两根木条，四边形,ABCD,一直是一个平行四边形吗？,猜想：,对角线互相平分的四边形是平行四边形,.,A,B,C,D,A,C,B,D,探究新知,知识点,3,平行四边形的判定定理,3,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,AC,与,BD,相交于点,O,，,OA,=,OC,，,OB,=,OD,.,ADO,CBO,OA,=,OC,证明：,OB=OD,AOD,=,COB,四边形,ABCD,是平行四边形,求,证：四边形,ABCD,是平行四边形,.,A,C,D,B,O,2,1,在,ADO,和,CBO,中，,1=2,AD,BC,同理,AB,CD,探究新知,A,D,C,B,O,几何语言：,OA=OC OB=OD,四边形,ABCD,是平行四边形,.,（对角线互相平分的四边形是平行四边形）,探究新知,对角线互相平分,的四边形是平行四边形,.,平行四边形的,判定定理,3,:,例,3,如图，,ABCD,的对角线,AC,BD,相交于点,O,E,F,是,AC,上的两点，并且,AE,=,CF,.,求证：,四边形,BFDE,是平行四边形,.,B,O,D,A,C,E,F,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AO=CO,BO=DO,.,AE,=,CF,，,AO,-,AE,=,CO,-,CF,即,EO,=,OF,.,又,BO,=,DO,，,四边形,BFDE,是平行四边形,.,探究新知,素养考点,1,利用平行四边形的判定定理,3,判断平行四边形,4.,根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是,(,),A.,两组对边分别相等,B.,两条对角线互相平分,C.,两条对角线相等,D.,两组对边分别平行,5.,如图，在四边形,ABCD,中，,AC,与,BD,交于点,O,.,如果,AC,=8cm,BD,=10cm,那么当,AO,=_cm,BO,=_cm,时，四边形,ABCD,是平行四边形,.,B,O,D,A,C,C,4,5,巩固练习,1.,（2018,安徽,）,ABCD,中，,E,，,F,的对角线,BD,上不同的两点下列条件中，不能得出四边形,AECF,一定为平行四边形的是（,）,A,BE,=,DF,B,AE,=,CF,C,AF,CE,D,BAE,=,DCF,巩固练习,连接中考,B,2.,（2019,柳州,）,平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形请你证明这个判定定理,已知：如图，在四边形,ABCD,中，,AB,CD，ADBC,求证：四边形,ABCD,是平行四边形,巩固练习,连接中考,证明：,连接,AC,，如图所示：,在,ABC,和,CDA,中，,ABC,CDA,（SSS）,，,BAC,DCA,，,ACB,CAD,，,ABCD，BCAD,，,四边形,ABCD,是平行四边形,B,D,A,C,1.,如图，在四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，下列条件不能判定四边形,ABCD,为平行四边形的是,(,),A.,ABCD，ADBC,B.,OA,OC，OB,OD,C.,AD,BC，ABCD,D.,AB,CD，AD,BC,C,C,课堂检测,基础巩固题,B,O,D,A,C,2.,在四边形,ABCD,中，,AC,、,BD,相交于点,O,，,（,1,）若,AD,=8cm,，,AB,=4cm,，那么当,BC,=_ cm,，,CD,=_cm,时，四边形,ABCD,为平行四边形；,（,2,）若,AO,=10cm,，,BO,=18cm,，那么当,AC,=_ cm,，,BD,=_cm,时，四边形,ABCD,为平行四边形,A,B,C,D,O,8,4,8,4,20,36,课堂检测,基础巩固题,3.,如图，,AC,DE,且,AC,DE,，,AD,，,CE,交于点,B,，,AF,，,DG,分别是,ABC,，,BDE,的中线，求证：四边形,AGDF,是平行四边形.,课堂检测,AC,DE,，,AC,DE,，,C,E,，,CAB,EDB,.,ABC,DBE,.,AB,DB,，,CB,EB,.,AF,，,DG,分别是,ABC,，,BDE,的中线，,BG,BF,.,四边形,AGDF,是平行四边形.,基础巩固题,证明：,4.,如图，已知,E,，,F,，,G,，,H,分别是,ABCD,的边,AB,，,BC,，,CD,，,DA,上的点，且,AE,=,CG,，,BF,=,DH,求证：四边形,EFGH,是平行四边形,在平行四边形,ABCD,中，,A,=,C,，,AD,=,BC,又,BF,=,DH,，,AH,=,CF,.,又,AE,=,CG,，,AEH,CGF,（SAS），,EH,=,GF,.,同理得,BEF,DGH,（SAS），,GH,=,EF,，,四边形,EFGH,是平行四边形,课堂检测,基础巩固题,证明：,如图，五边形,ABCDE,是正五边形，连接,BD,、,CE,，交于点,P,求证：四边形,ABPE,是平行四边形,证明：,五边形,ABCDE,是正五边形，,正五边形的每个内角的度数是,AB,=,BC,=,CD,=,DE,=,AE,，,DEC,=,DCE,=,(,180-108,),=36，,同理,CBD,=,CDB,=36，,ABP,=,AEP,=108-36=72，,BPE,=360-108-72,-,72=108=,A,，,四边形,ABPE,是平行四边形,A,B,C,D,E,P,课堂检测,能力提升题,如图，在,ABC,中，分别以,AB,、,AC,、,BC,为边在,BC,的同侧作等边,ABD,、等边,ACE,、等边,BCF,.,试说明四边形,DAEF,是平行四边形,证明：,ABD,和,BCF,都是等边三角形，,DBF,FBA,ABC,ABF,60,，,DBF,ABC,.,又,BD,BA,，,BF,BC,，,DBF,ABC,(SAS),，,AC,DF,.,又,ACE,是等边三角形，,AC,DF,AE,.,同理可证,ABC,EFC,，,AB,EF,AD,，,四边形,DAEF,是平行四边形,课堂检测,拓广探索题,平行四边形的判定,定义法,:,两组,对边分别平行,的四边形叫平行四边形,.,两组,对边分别相等,的四边形是平行四边形,.,两组,对角分别相等,的四边形是平行四边形,.,对角线互相平分,的四边形是平行四边形,.,课堂小结,利用一组对边判定平行四边形,第二课时,返回,取两根等长的木条,AB,、,CD,，将它们平行放置，再用两根木条,BC,、,AD,加固，得到的四边形,ABCD,是平行四边形吗？,导入新知,2.,会综合运用平行四边形的,判定方法,和性质来证明问题,.,1.,掌握用一组对边,平行且相等,来判定平行四边形的方法,.,素养目标,以小组讨论的形式探讨这一问题.,我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.,请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的,一组,对边，当它满足什么条件时这个四边形是平行四边形？,探究新知,知识点,1,平行四边形的判定定理,4,问题,1,：,一组对边,平行,的四边形是平行四边形吗？如果是请给出证明，如果不是请举出反例说明,.,xk,小学学习过的,梯形,满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形.,问题,2：,满足一组对边,相等,的四边形是平行四边形吗？,如图,1,，这个四边形,EFGH,满足一组对边,EF=HG,相等的条件，但它不是平行四边形.,探究新知,问题,3,：,如果,一组,对边,平行,，而,另一组,对边,相等,的四边形是平行四边形吗？,如图,2,，,等腰梯形,属于一组对边平行（上底和下底），而另一组对边相等（两腰），但是等腰梯形不是平行四边形,图,2,E,F,G,H,图,1,我们在方格纸上利用手中的木棍，做一个满足一组对边平行且相等的四边形，并判断所做的四边形是否是平行四边形,.,请你猜想，这个命题成立吗？,命题：一组对边,平行且相等,的四边形是平行四边形,探究新知,命题：,一组对边,平行且相等,的四边形是平行四边形,.,请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明.,已知：如图,，,在四边,形,ABCD,中,，,AB,/,CD,，,AB,=,CD,.,求证：四边形,ABCD,是,平行四边形.,探究新知,B,D,A,C,证明：,方法,1,：,如图，,连接,AC,.,AB/CD，,1=2,又 ,AB=CD，,AC=CA，,ABC,CDA,BC=,D,A,四边形,ABCD,是平行四边形,探究新知,B,D,A,C,2,1,证明：,方法,2,：,AB/CD,，,1,=,2,又,AB=CD,，,AC=CA,，,ABC,CDA,BCA=,DAC,AD/BC,四边形,ABCD,是平行四边形,如图，,连接,AC,探究新知,B,D,A,C,2,1,平行四边形的,判定定理,4,：,在四边形,ABCD,中,，,AB,/,CD,，,AB,=,CD,，,四边形,ABCD,是平行四边形,符号语言,：,提示：,同一组,对边平行且相等,.,探究新知,B,D,A,C,一组对边,平行且相等,的四边形是平行四边形,.,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB=CD，EB/FD,又,EB=AB，FD=CD，,EB=FD,四边形,EBFD,是平行四边形,例,1,如图,，在平行四边形,ABCD,中，,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点,.,求证：四边形,EBFD,是平行四边形.,探究新知,素养考点,1,直接利用平行四边形的判定定理,4,判定平行四边形,证明：,A,B,C,D,E,F,证明：,四边形,AEFD,和,EBCF,都是平行四边形，,AD EF,，,AD=EF,，,EF,BC,，,EF=BC,.,AD,BC,，,AD=BC,.,四边形,ABCD,是平行四边形,.,1,.,四边形,AEFD,和,EBCF,都是平行四边形，,求证：四边形,ABCD,是平行四边形.,巩固练习,例,2,如图，点,A,，,B,，,C,，,D,在同一条直线上，点,E,，,F,分别在直线,AD,的两侧，,AE,=,DF,，,A,=,D,，,AB,=,DC,求证：四边形,BFCE,是平行四边形,AB,=,CD,，,AB,+,BC,=,CD,+,BC,，,即,AC,=,BD,，,在,ACE,和,DBF,中,，,AC,BD,A,D,AE,DF,ACE,DBF,(,SAS,),，,CE,=,BF,，,ACE,=,DBF,，,CE,BF,，,四边形,BFCE,是平行四边形,素养考点,2,探究新知,平行四边形的判定定理,4,和全等三角形判定平行四边形,证明：,2.,如图，点,C,是,AB,的中点，,AD,=,CE,，,CD,=,BE,（1）求证：,ACD,CBE,；,（2）求证：四边形,CBED,是平行四边形,证明：,（,1,）点,C,是,AB,的中点，,AC,=,BC,.,在,ADC,与,CEB,中，,AD,CE,CD,BE,AC,BC,ADC,CEB,（SSS），,（,2,）,ADC,CEB,，,ACD,=,CBE,，,CD,BE,.,又,CD,=,BE,，,四边形,CBED,是平行四边形,巩固练习,例,3,如图，,ABC,中，,BD,平分,ABC,，,DFBC,，,EFAC,，试问,BF,与,CE,相等吗？为什,么？,探究新知,素养考点,3,平行四边形的性质和判定的综合题目,解：,BF,CE,理由如下：,DFBC,，,EFAC,，,四边形,FECD,是平行四边形，,FDB,=,DBE,，,FD,=,CE,.,BD,平分,ABC,，,FBD,=,EBD,，,FBD,=,FDB,.,BF,=,FD,.,BF,CE,.,3,.,如图，在,ABCD,中，,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点，连接,DE,，,EF,，,BF,，,写出图中除,ABCD,以外的所有的平行四边形,.,解：,四边形,ABCD,是平行四边形,AD,BC,，,AD,=,BC,.,E,，,F,分别是,AB,，,CD,的中点，,AE,=,BF,=,DE,=,FC,，,四边形,A,D,FE,是平行四边形，,四边形,EFC,B,是平行四边形，,四边形,BEDF,是平行四边形,.,巩固练习,（2019遂宁）如图，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，延长,BC,到,E,，使,CE,BC,，连接,AE,交,CD,于点,F,，点,F,是,CD,的中点,求证：,（1）,ADF,ECF,（2）四边形,ABCD,是平行四边形,巩固练习,连接中考,证明：,（,1,）,AD,BC,，,DAF,E,，,点,F,是,CD,的中点，,DF,CF,，在,ADF,与,ECF,中，,ADF,ECF,（AAS）；,（2）,ADF,ECF,，,AD,EC,，,CE,BC,，,AD,BC，,ADBC，四边形ABCD是平行四边形,DAF,=,E,，,DF,=,CF,，,AFD,=,EFC,，,1.,已知四边形,ABCD,中有四个条件：,A,B,CD,，,AB,=,CD,，,BC,AD,，,BC,=,AD,，,从中任选两个，不能使四边形,ABCD,成为,平行四边形的选项是（）,A,AB,CD,，,AB,=,CD,B,AB,CD,，,BC,AD,C,AB,CD,，,BC,=,AD,D,AB,=,CD,，,BC,=,AD,C,课堂检测,基础巩固题,2.,四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,相交于点,O,，给出下列四个条件：,AD,BC,；,AD,BC,；,OA,OC,；,OB,OD,.,从中任选两个条件，能使四边形,ABCD,为平行四边形的选法有,(,),A,3,种,B,4,种,C,5,种,D,6,种,B,O,D,A,C,B,课堂检测,基础巩固题,3.,在,ABCD,中，,E,、,F,分别在,BC,、,AD,上，若想要使四边形,AFCE,为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（）,A,AF,=,CE,B,AE,=,CF,C,BAE,=,FCD,D,BEA,=,FCE,B,课堂检测,基础巩固题,4.,如图，点,E,，,C,在线段,BF,上，,BE,=,CF,，,B,=,DEF,，,ACB,=,F,，求证：四边形,ABED,为平行四边形,BE,=,CF,，,BE,+,EC,=,CF,+,EC,即,BC,=,EF,又,B,=,DEF,ACB,=,F,，,ABC,DEF,，,AB,=,DE,.,B,=,DEF,，,AB,DE,四边形,ABED,是平行四边形,基础巩固题,课堂检测,证明：,如图，将,ABCD,沿过点,A,的直线,l,折叠，使点,D,落到,AB,边上的点,D,处，折痕,l,交,CD,边于点,E,，连接,BE,求证：四边形,BCED,是平行四边形,.,由题意得,DAE,=,DAE,，,DEA,=,DEA,，,D,=,ADE,，,DE,AD,，,DEA,=,EAD,，,DAE,=,EAD,=,DEA,=,DEA,，,DAD,=,DED,，,四边形,DADE,是平行四边形，,DE,=,AD,.,课堂检测,能力提升题,证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,DC,，,AB,=,DC,，,CE,DB,，,CE,=,DB,，,四边形,BCED,是平行四边形,.,能力提升题,课堂检测,如图，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,AD,=12cm，,BC,=15cm，点,P,自点,A,向,D,以1cm/s的速度运动，到,D,点即停止点,Q,自点,C,向,B,以2cm/s的速度运动，到,B,点即停止，点,P,，,Q,同时出发，设运动时间为,t,(s),（1）用含,t,的代数式表示：,AP,=,_,；,DP,=,_,；,BQ,=,_,；,CQ,=,_,；,t,cm,(12-,t,),cm,(15-2,t,),cm,2,t,cm,课堂检测,拓广探索题,（,2,）当,t,为何值时，四边形,APQB,是平行四边形？,解：,根据题意有,AP,=,t,cm,，,CQ,=2,t,cm,，,PD,=,(12-,t,),cm,，,BQ,=,(15-2,t,),cm,AD,BC,，,当,AP,=,BQ,时，四边形,APQB,是平行四边形,t,=15-2,t,，,解得,t,=5,s,t,=5s,时四边形,APQB,是平行四边形；,课堂检测,拓广探索题,解：,由,P,D,=,(12-,t,),cm，,CQ,=2,t,cm，,AD,BC,，,当,PD,=,QC,时，四边形,PDCQ,是平行四边形,即,12-,t,=2,t,，,解得,t,=4s,，,当,t,=4s,时，四边形,PDCQ,是平行四边形,（,3,）当,t,为何值时，四边形,PDCQ,是平行四边形,？,拓广探索题,课堂检测,平行四边形的判定,平行四边形的,性质与判定,的综合运用,一组对边,平行且相等,的四边形是平行四边形,.,课堂小结,三角形的中位线,第三课时,返回,我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！,【,想一想,】,如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？,导入新知,1.,理解三角形中位线的,概念,，掌握它的,性质,.,2.,掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的,添辅助线法,.,素养目标,3.,能利用,三角形的,中位线定理,解决有关证明和计算问题,.,1.,什么叫三角形的中线？有几条？,2.,三角形的中线有哪些性质？,A,B,C,D,E,F,连结三角形的顶点和对边中点的线段叫,三角形的中线,.,三角形的每一条中线把三角形的面积,平分,.,三角形的中线相交于,同一点,.,探究新知,知识点,1,三角形的中位线,三角形有,3,条中线,.,A,B,C,D,E,DE,是,ABC,的,中位线,什么叫三角形的,中位线,呢？,探究新知,定义：,连接三角形,两边中点,的线段叫做,三角形的中位线,.,A,B,C,D,E,如图，在,ABC,中，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,的中点，连接,DE,.则线段,DE,就称为,ABC,的,中位线.,探究新知,问题,1,：,一个三角形有几条中位线？你能在,ABC,中画出它所有的中位线吗？,A,B,C,D,E,F,有,三,条，如图，,ABC,的中位线是,DE,、,DF,、,EF,.,问题,2,：,三角形的中位线与中线有什么区别？,中位线是连接三角形,两边中点,的线段,.,中线是连结一个,顶点,和它的,对边中点,的线段,.,探究新知,问题,3,：,如图，,DE,是,ABC,的中位线，,DE,与,BC,有怎样的关系？,D,E,两条线段的关系,位置关系,数量关系,分析：,DE,与,BC,的关系,猜想：,DE,BC,？,探究新知,度量,一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论,平行,角,平行四边形,或,线段相等,一条线段是另一条线段的一半,倍长短线,分析,1,：,D,E,猜想：,三角形的中位线,平行于,三角形的第三边且等于第三边的,一半,问题,4,：,如何证明你的猜想？,探究新知,分析,2,：,D,E,互相平分,构造,平行四边形,倍长,DE,探究新知,证明：,D,E,延长,DE,到,F,，使,EF,=,DE,连接,AF,、,CF,、,DC,AE,=,EC,，,DE,=,EF,，,四边形,ADCF,是平行四边形,F,四边形,BCFD,是平行四边形，,CF,AD,CF,BD,又,，,DF,BC,DE,BC,，,如图，在,ABC,中，点,D,E,分别是,AB,AC,边的中点，,求证：,探究新知,D,E,延长,DE,到,F,，使,EF,=,DE,F,四边形,BCFD,是平行四边形,ADE,CFE,ADE,=,F,，,连接,FC,AED,=,CEF,，,AE,=,CE,，,证法,2,：,AD,=,CF,BD CF,又,，,DF,BC,DE,BC,，,CF,AD,探究新知,证明：,A,B,C,D,E,如图，,D,、,E,、,F,分别是,ABC,的三边的中点，那么，,DE,、,DF,、,EF,都是,ABC,的中位线,.,F,DE,BC,且,DE,=,BC,同理,:,DF,AC,且,DF,=,AC,；,EF,AB,且,EF,=,AB,探究新知,三角形的中位线,平行于,三角形的第三边，且等于第三边的,一半,.,三角形,中位线定理,：,A,B,C,D,E,DE,是,ABC,的中位线，,DE,BC,且,DE,=,BC,符号语言：,有何作用？,（,AD,=,BD,AE,=,CE,),这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据,.,探究新知,A,B,C,D,E,F,提示：,中位线,DE,、,EF,、,DF,把,ABC,分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形,ADFE,和,BDEF,，四边形,BFED,和,CFDE,，四边形,ADFE,和,DFCE,.,顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一,.,探究新知,由此你知道怎样分蛋糕了吗,?,例,1,如图，在,ABC,中，,D,、,E,分别为,AC,、,BC,的中点，,AF,平分,CAB,，交,DE,于点,F,.若,DF,3，求,AC,的长,.,解：,D,、,E,分别为,AC,、,BC,的中点，,DE,AB,，,2,3.,又,AF,平分,CAB,，,1,3,，,1,2,，,AD,DF,3,，,AC,2,AD,2,DF,6.,探究新知,素养考点,1,利用中位线定理求线段,1.,三角形各边的长分别为,6 cm,、,10 cm,和,12cm,，连接各边中点所成三角形的周长是,_.,A,B,C,D,E,F,6,10,12,14 cm,6,5,3,巩固练习,A,B,C,测出,MN,的长，就可知,A,、,B,两点的距离,.,M,N,分别找出,AC,和,BC,的中点,M,、,N,.,若,MN,=36 m,，则,AB,=,2,MN,=72 m,如果，,MN,两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？,2.,如图，,A,、,B,两点被池塘隔开，在,AB,外选一点,C,，连接,AC,和,BC,，怎样测出,A,、,B,两点的实际距离？根据是什么？,巩固练习,例,2,如图，,D,、,E,分别是,ABC,的边,AB,、,AC,的中点，点,O,是,ABC,内部任意一点，连接,OB,、,OC,，点,G,、,F,分别是,OB,、,OC,的中点，顺次连接点,D,、,G,、,F,、,E,.,求证：四边形,DGFE,是平行四边形,.,A,B,C,G,F,E,D,O,四边形,DGFE,是平行四边形,=,=,=,证明：,探究新知,素养考点,2,利用三角形的中位线判断平行四边形,在,ABC,中，,AD=BD,AE=CE,在,OBC,中，,OG=BG,OF=CF,3.,已知,:,如图,点,E,、,F,、,G,、,H,分别是四边形,ABCD,各边中点，,求证：四边形,EFGH,为平行四边形,.,证明：,连接,AC,.,E,、,F,是,AB,、,BC,边中点,EF,AC,且,EF,AC,同理：,HG,AC,且,HG,AC,EF,HG,且,EF,HG,四边形,EFGH,为平行四边形,.,E,F,G,H,A,B,C,D,巩固练习,例,3,如图，在四边形,ABCD,中，,AB,=,CD,，,M,、,N,、,P,分别是,AD,、,BC,、,BD,的中点，,ABD,=20，,BDC,=70，求,PMN,的度数,解,：,M,、,N,、,P,分别是,AD,、,BC,、,BD,的中点，,PN,，,PM,分别是,CDB,与,DAB,的中位线，,PM,=,AB,，,PN,=,DC,，,PM,AB,，,PN,DC,，,AB,=,CD,，,PM,=,PN,，,PMN,是等腰三角形，,PM,AB,，,PN,DC,，,MPD,=,ABD,=20，,BPN,=,BDC,=70，,素养考点,3,利用三角形的中位线求角度,探究新知,MPN,=,MPD,+,(,180,NP,B,),=130，,PMN,=,(,180130,),2=25,A,C,B,D,E,5cm,5.,如图，,ABC,中,D,、,E,分别是,AB,、,AC,的中点，,A,=50,B,=70,则,AED=,.,60,巩固练习,60,4.,如图,MN,为,ABC,的中位线,若,ABC,=61,则,AMN,=,.,61,A,M,B,C,N,1.,（2018宁波）如图，在,ABCD,中，对角线,AC,与,BD,相交于点,O,，,E,是边,CD,的中点，连结,OE,若,ABC,=60，,BAC,=80，则1的度数为（）,A50,B40,C30,D20,连接中考,巩固练习,B,2.,（2019铜仁市）如图，,D,是,ABC,内一点，,BD,CD,，,AD,7，,BD,4，,CD,3，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BD,、,CD,、,AC,的中点，则四边形,EFGH,的周长为（）,A12,B14,C24,D21,连接中考,巩固练习,A,1.,如图，在,ABC,中，,AB,=6，,AC,=10，点,D,，,E,，,F,分别是,AB,，,BC,，,AC,的中点，则四边形,ADEF,的周长为 （）,A,.,8 B,.,10,C,.,12 D,.,16,D,课堂检测,基础巩固题,2.,如图，点,D,、,E,、,F,分别是,ABC,的三边,AB,、,BC,、,AC,的中点,.,（,1,）若,ADF,=50,，则,B,=,；,（,2,）已知三边,AB,、,BC,、,AC,分别为,12,、,10,、,8,，则,DEF,的周长为,.,50,15,A,B,C,D,F,E,课堂检测,基础巩固题,3.,如图，,ABCD,的周长为36，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，点,E,是,CD,的中点，,BD,=12，求,DOE,的周长,解：,ABCD,的周长为36，,BC,+,CD,=18,点,E,是,CD,的中点，,OE,是,BCD,的中位线，,DE,=,CD,，,OE,=,BC,，,DOE,的周长为,OD,+,OE,+,DE,=（,BD,+,BC,+,CD,）=15,.,课堂检测,基础巩固题,4.,如图，在,ABC,中，,AB,AC,，,E,为,AB,的中点，在,AB,的延长线上取一点,D,，使,BD,AB,，求证：,CD,2,CE,.,证明：,取,AC,的中点,F,，连接,BF,.,BD,AB,，,BF,为,ADC,的中位线，,DC,2,BF,.,E,为,AB,的中点，,AB,AC,，,BE,CF,，,ABC,ACB,.,BC,CB,，,EBC,FCB,CE,BF,，,CD,2,CE,.,F,基础巩固题,课堂检测,如图，,E,、,F,、,G,、,H,分别为四边形,ABCD,四边之中点,求证：四边形,EFGH,为平行四边形,.,证明：,如图，,连接,BD,.,E,、,F,、,G,、,H,分别为四边形,ABCD,四边之中点，,EH,是,ABD,的中位线，,FG,是,BCD,的中位线，,EH,BD,且,EH,=,BD,，,FG,BD,且,FG,=,BD,，,EH,FG,且,EH,=,FG,，,四边形,EFGH,为平行四边形,.,能力提升题,课堂检测,G,如,图，在四边形,ABCD,中，,AC,BD,，,BD,=12，,AC,=16，,E,，,F,分别为,AB,，,CD,的中点，求,EF,的长,解：,取,BC,边的中点,G,，连接,EG,、,FG,E,，,F,分别为,AB,，,CD,的中点，,EG,是,ABC,的中位线，,FG,是,BCD,的中位线，,又,BD,=12，,AC,=16，,AC,BD,，,EG,=8，,FG,=6，,EG,FG,，,EGAC,FGBD,拓广探索题,课堂检测,三角形的中位线,三角形中位线,平行,于第三边，并且等于它的,一半,三角形的,中位线定理,三角形的中位线,定理的,应用,课堂小结,