二重积分的概念及计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Page,*,二重积分的概念及计算,解法:,类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,2,1)“大化小”,用,任意曲线网,分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中,任取一点,小曲顶柱体,3,4)“取极限”,令,4,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决.,1)“大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,相应把薄片也分为小区域.,5,2)“常代变”,中,任取,一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第,k,小块的质量,6,两个问题的,共性,：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,7,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在,有界区域,D,上的,有界函数,8,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在,D,上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,9,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在,D,上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,例如,在,D,:,上二重积分存在;,在,D,上,二重积分不存在.,10,三、二重积分的性质,(,k,为常数),为,D,的面积,则,11,特别,由于,则,5.若在,D,上,6.设,D,的面积为,则有,12,7.,(二重积分的中值定理),证:,由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域,D,上,为,D,的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,13,例1.,比较下列积分的大小:,其中,解:,积分域,D,的边界为圆周,它与,x,轴交于点(1,0),而域,D,位,从而,于直线的上方,故在,D,上,14,例2.,判断积分,的正负号.,解:,分积分域为,则,原式=,猜想结果为负但不好估计.,舍去此项,15,例3.,判断,的正负.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,16,例4.,估计下列积分之值,解:,D,的面积为,由于,积分性质5,即:1.96,I 2,D,17,例5.,估计,的值,其中,D,为,解:被积函数,D,的面积,的最大值,的最小值,18,8.设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,19,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,20,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,21,例6.,求两个底圆半径为,R,的直角圆柱面所围的体积.,解:,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,22,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),3.曲顶柱体体积的计算,二次积分法,23,被积函数,相同,且,非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系:,24,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且 0,y,1,则,的大小顺序为(),提示,:因 0,y,1,故,故在,D,上有,25,3.,计算,解:,26,4.,证明:,其中,D,为,解:,利用题中,x,y,位置的对称性,有,又,D,的面积为 1,故结论成立.,27,五、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,28,当被积函数,均非负,在,D,上,变号,时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,29,说明:,(1)若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-型域或,Y,-型域,则,30,例7.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法2.,将,D,看作,Y,型区域,则,31,例8.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域.,解:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,32,例9.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,型域:,先对,x,积分不行,说明:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,33,例10.,交换下列积分顺序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域,则,34,例11.,计算,其中,D,由,所围成.,解:,令,(如图所示),显然,35,解：,原式,例12.,给定,改变积分的次序.,36,对应有,六、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,37,即,38,设,则,特别,对,39,若,f,1 则可求得,D,的面积,思考:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),40,例13.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,41,注:,利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当,D,为 R,2,时,利用例7的结果,得,故式成立.,42,例14.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,43,例15.计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,44,定积分换元法,七、二重积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,45,证:,根据定理条件(2)(3)可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,46,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,47,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,48,例16.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域.,解:,令,则,49,例17.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解:,令,则,50,例18.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,的原象为,的体积,V,.,51,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,52,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:,若积分区域为,在变换,下,53,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应,尽量多为坐标线,被积函数,关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,54,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y,互换,55,2.,交换积分顺序,提示:,积分域如图,56,