行列式和矩阵的逆分析.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,行列式与矩阵的逆,*,谢政,.,线性代数,.,高等教育出版社,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Dept,Math,&Sys,Sci,应用数学教研室,指挥军官基础教育学院一大队八队高等数学教学课件,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Dept,Math,&Sys,Sci,应用数学教研室,指挥军官基础教育学院一大队八队高等数学教学课件,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,指挥军官基础教育学院一大队八队高等数学教学课件,可逆矩阵,上页,下页,铃,结束,返回,首页,补充例题,Dept,Math,&Sys,Sci,数学与系统科学系,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.2,行列式乘积法则,3,.3,行列式与矩阵的逆,3.3.1,伴随矩阵与矩阵的逆,3.3.3,Cramer,法则,内容,小结,3.3.1,伴随矩阵与矩阵的逆,“,两调一除,”,法求二阶矩阵,A,a,ij,的,逆矩阵的公式,:,为了将,逆矩阵的这种表达式推广到,n,阶矩阵,首先给,予上式右端的矩阵一个名称,.,2,定义,3.2,设,A,a,ij,为,n,阶矩阵,n,2,行列式,|,A,|,中各,元,a,ij,的代数余子式,A,ij,所构成的如下矩阵,称为,A,的,伴随矩阵,记作,A,.,于是对二阶,可逆,矩阵,A,有,3,定理,3.,1,1,设,A,为,n,阶矩阵,则当,n,2,时,有,进一步,A,可逆的充要条件是,|,A,|,0,.,且,当,n,2,时,有,当,|,A,|,0,时,称,A,为,奇异矩阵,否则称,A,为,非奇异矩阵,.,因此,A,为可逆矩阵当且仅当,A,为非奇异矩阵,.,由定理,3.11,可得求逆矩阵的,伴随矩阵法,.,4,解,故,A,1,存在,.,同理可得,例,3.5,求矩阵,的逆矩阵,.,因,5,于是,因此,6,证,对于矩阵,A,必有初等矩阵,P,1,P,2,P,l,和阶梯矩,阵,H,使得,A,P,1,P,2,P,l,H,.,若,A,不可逆,则,H,的最后一行全为零,3.3.2,行列式乘积法则,定理,3.,1,2,设,A,B,均为,n,阶矩阵,则,从而,HB,的最后,故,|,H,|,0,|,HB,|,0,于是,一行全为零,7,即,若,A,可逆,则,H,E,于是,注,1815,年,Cauchy,得到推广的矩阵乘积的行列式公式,.,1812,年,Binet,曾叙述过上述公式但没有给出证明,.,8,例,3.6,设,A,是三阶可逆矩阵,且,|,A,|,a,求行列式,解,因,A,可逆,故,|,A,|,a,0,从而,且,9,推论,3.,1,3,对任意,m,阶矩阵,A,和任意,n,阶矩阵,B,有,已知,:,三角行列式等于主对角元之积,.,问,:,分块三角行列式是否也有类似的性质呢,?,证,应用按行,(,列,),展开法则,可得,10,因此由行列式乘积法则及前面两个式子,可得,根据上式及定理,3.10,即得,11,例,3.7,计算行列式,解,将,|,A,|,分块,再应用推论,3.13,得,12,定理,3.14,(,Cramer,法则,),若,n,n,线性方程组,Ax,b,的,系数行列式,|,A,|,0,则方程组有唯一解,3.3.3 Cramer,法则,其中,|,A,j,|,是用常数项向量,b,替代,A,中第,j,列得到的,n,阶,行列式,.,证,因,|,A,|,0,故,A,的逆矩阵,A,1,存在,所以,x,A,1,b,是,方程组的解,即,13,将,|,A,j,|,按第,j,列展开,得,从而,14,再证唯一性,.,由,A,可逆知,rank,A,n,.,而,于是,故方程组,Ax,b,有唯一的解,.,注,1750,年,Cramer,发表用行列式解线性方程组的方法,.,1729,年,Maclaurin,也得到过这个法则,.,15,Cramer,法则既给出了,n,n,线性方程组解的一个简洁表,达式,也提供了一种求解方法,.,不过,用,Cramer,法则求解线性方程组的计算量要比消,元法大得多,因此,Cramer,法则重要的是理论价值,.,进一步有,n,n,线性方程组,Ax,b,有唯一解的充要条件,是系数行列式,|,A,|,0,.,n,n,齐次线性方程组,Ax,0,有非零解,的充要条件是系,数行列式,|,A,|,0,.,16,解,例,3.8,已知三个平面的方程分别为,试,问,a,b,c,满足什么条件时,三个平面交于一点,?,请求出它们的交点,.,三个平面交于一点等价于下列方程组有唯一解,:,17,该方程组的系数行列式,由,Cramer,法则知,当,a,b,c,互不相等时,|,A,|,0,方程组,有唯一解,.,并且,18,19,因此,即三个平面的交点为,(,a,b,c,),.,20,2.,求逆矩阵的方法,(1),待定系数法,;,(2),伴随矩阵法,;,(3),初等变换法,1.,逆矩阵,A,1,存在,|,A,|,0,内容小结,5.,Cramer,法则,3.,行列式的乘积法则,4.,分块三角行列式,的计算公式,21,