材料力学-第八章叠加法求变形(3-4-5).ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,材料力学 第八章叠加法求变形(3,4,5),8-3 用叠加法计算梁的变形及梁的刚度计算,一、用叠加法计算梁的变形,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。,当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷,共同作用,下在某截面上引起的变形，则可,分别计算,各个载荷单独作用下的变形，然后,叠加,。,例8-3如图用叠加法求,解：,1.求各载荷产生的位移,2.将同点的位移叠加,=,+,+,试按叠加原理求图,a,所示简支梁的跨中截面的挠度,w,C,和两端截面的转角,q,A,及,q,B,。已知,EI,为常量。,例题 5-4,为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面,C,正对称和反对称荷载的叠加(图b)。,例题 5-4,解:,在集度为,q,/2,的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得,C,q,A,1,q,B,1,w,C,例题 5-4,注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁,AC,和右半跨梁,CB,分别视为受集度为,q,/2,的均布荷载作用而跨长为,l,/2,的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得,在集度为,q,/2,的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有,C,q,A,2,q,B,2,例题 5-4,按叠加原理得,例题 5-4,试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面,B,的转角,q,B,，以及,A,端和,BC,段中点,D,的挠度,w,A,和,w,D,。已知,EI,为常量。,例题 5-5,利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁,AB,(图b)和简支梁,BC,(图c)所组成。,和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的,B,截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。,例题 5-5,解:,图c中所示简支梁,BC,的受力情况以及约束情况与原外伸梁,BC,段完全相同，注意到简支梁,B,支座处的外力2,qa,将直接传递给支座,B,，而不会引起弯曲。简支梁,BC,，由,q,产生的,Bq,、,w,Dq,(图d)，由,M,B,产生的,BM,、,w,DM,(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得,B,、,w,D,，它们也是外伸梁的,B,和,w,D,。,例题 5-5,例题 5-5,图,b,所示悬臂梁,AB,的受力情况与原外伸梁,AB,段相同，但要注意原外伸梁的,B,截面是可以转动的，其转角就是上面求得的,q,B,，由此引起的,A,端挠度,w,1,=|,q,B,|,a,，应叠加到图,b,所示悬臂梁的,A,端挠度,w,2,上去,才是原外伸梁的,A,端挠度,w,A,例题 5-5,逐段刚化法：,变形后：AB,AB,BC BC,变形后AB部分为曲线，BC部分为直线。,C,点的位移为：w,c,例：求外伸梁C点的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,将梁各部分分别,引起的位移叠加,A,B,C,P,刚化EI=,P,C,f,c1,1）BC部分引起的位移f,c1、,c1,c1,2）AB部分引起的位移,f,c,2、,c,2,C,A,B,P,刚化EI=,f,c,2,B2,P,Pa,B,2,例8-4,欲使,AD,梁,C,点挠度为零，求,P,与,q,的关系。,解：,例8-5 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,解,:,例8-6求图示梁,B,、,D,两处的挠度,w,B,、,w,D,。,解：,例8-7求图示梁C点的挠度 w,C,。,解：,三.梁的刚度条件,例8-8图示工字钢梁，,l,=8m，I,z,=2370cm,4,W,z,=237cm,3,，,w/l,=,1500，E=200GPa，=100MPa,。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,刚度条件：,w、,是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,CL9TU40,机械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000,机械：0.0050.001rad,P,解：由刚度条件,图,a,所示简支梁由两根槽钢组成(图,b,)，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知,=,170 MPa,，,=,100 MPa,，,E,=210 GPa,，。,例题 5-7,一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。,例题 5-7,解:,1.,按正应力强度条件选择槽钢型号,梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示。最大弯矩为,M,max,=62.4 kNm。梁所需的弯曲截面系数为,例题 5-7,而每根槽钢所需的弯曲截面系数,W,z,36710,-6,m,3,/2=183.510,-6,m,3,=183.5 cm,3,。由型钢表查得20a号槽钢其,W,z,=178 cm,3,，虽略小于所需的,W,z,=183.5 cm,3,，但,所以可取20a号槽钢。,例题 5-7,2.,按切应力强度条件校核,图c最大剪力,F,S,max,=138 kN。每根槽钢承受的最大剪力为,例题 5-7,S,z,max,为20a号槽钢的中性轴,z,以下半个横截面的面积对中性轴,z,的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：,z,例题 5-7,当然，的值也可按下式得出：,每根,20a,号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为,I,z,=1780.4,cm,4,1780cm,4,例题 5-7,故,20a,号槽钢满足切应力强度条件。,于是,例题 5-7,3.校核梁的刚度条件,如图a，跨中点,C,处的挠度为梁的最大挠度,w,max,。由叠加原理可得,例题 5-7,梁的许可挠度为,由于,因此，所选用的槽钢满足刚度条件。,例题 5-7,四.提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,一、增大梁的抗弯刚度EI；,二、减小跨度,L,或增加支承降低弯矩,M,；,三、改变加载方式和支承方式、位置等。,8-5 梁的弯曲应变能,一.梁的弯曲应变能,1.纯弯曲：,2.横力弯曲：,W,二.小结,：,1、杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功。,V,=W,2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最终值：,其中：,P-广义力,-广义位移,拉、压：,扭转：,弯曲：,例8-12试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端,B,的挠度。,解：,8-4 用比较变形法解超静定梁,一.静不定梁的基本概念,二.变形比较法解静不定梁,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的,相当系统,，又称,静定基,。,梁的约束个数多于独立静力平衡方程的个数。,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,三.用变形比较法解静不定梁的步骤,（1）选取基本静定结构（静定基如图），,B,端解除多余约束，代之以约束反力；,（2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约束处产生的位移；,（4）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。,（3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移；,6-4 简单超静定梁,.超静定梁的解法,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图,a,所示一次超静定梁时可以铰支座,B,为“多余”约束，以,约束力,F,B,为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为,A,端固定的悬臂梁。,基本静定系,基本静定系在原有均布荷载,q,和“多余”未知力,F,B,作用下(图,b,)当满足位移相容条件(参见图,c、d,),时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为,从而解得“多余”未知力,所得,F,B,为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个,约束力,利用相当系统由静力平衡条件求得为,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图,所示,。,思考,1,.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？,2,.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,例8-10为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁,CD,加固。设二梁,EI,相同，试求：,二梁接触处的压力,解：解除约束代之以约束反力,变形协调条件为：,例8-11梁,ABC由AB、BC,两段组成，两段梁的,EI,相同。试绘制剪力图与弯矩图。,解：变形协调条件为：,试求图a所示结构中,AD,杆内的拉力,F,N,。梁,AC,和杆,AD,的材料相同，弹性模量为,E,；,AD,杆的横截面积为,A,，,AC,梁的横截面对中性轴的惯性矩为,I,。,例题 6-7,1.,梁,AC,共有三个未知力(图,b,),F,N,，,F,B,，,F,C,，但平面仅有两个平衡方程，故为一次超静定问题。,例题 6-7,解：,2.把,AD,杆视为梁,AC,的“多余”约束，相应的“多余”未知力为,F,N,。位移(变形)相容条件为梁的,A,截面的挠度,w,A,等于杆的伸长量,D,l,DA,(图b)，即,w,A,=,D,l,DA,。,例题 6-7,3.求,w,A,和,D,l,DA,w,A,是由荷载产生的,w,Aq,(图c)和,F,N,产生的,w,AF,(图d)两部分组成，,例题 6-7,把图d所示外伸梁，视为由悬臂梁,AB,(图e)和简支梁,BC,(图f)两部分组成。,例题 6-7,4.,把,w,A,和,D,l,DA,代入,位移(变形)相容条件得补充方程：,由此求得,例题 6-7,试求图,a,所示等截面连续梁的,约束反力,F,A,F,B,F,C,，,并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度,EI,=5,10,6,N,m,2,。,例题 6-8,1.,该梁有三个未知力,F,A,、,F,B,、,F,C,，仅有两个平衡方程。故为一次超静定问题。,例题 6-8,解：,2.若取中间支座,B,处阻止其左、右两侧截面相对转动的约束为“多余”约束，则,B,截面上的一对弯矩,M,B,为“多余”未知力，相当系统如图b。,例题 6-8,相当系统的位移条件是,B,处两侧截面的相对转角等于零，即,例题 6-8,3.查关于梁位移公式的附录可得,4.将,q,B,q,B,代入位移相容条件补充方程，从而解得,这里的负号表示,M,B,的实际转向与图b中所设相反，即为,M,B,负弯矩。,例题 6-8,5.,利用图,b,可得,约束力分别为,例题 6-8,绘出剪力图和弯矩图分别如图c,d所示。,(c),(d),F,S,例题 6-8,超静定梁多余约束的选择可有多种情况，例如，若以支座,B,为多余约束，,F,B,为多余未知力，位移条件为,w,B,=0，相当系统如图(e)所示。有如以支座,C,为多余约束，,F,C,为多余未知，位移条件为,w,C,=0，相当系统如图(f)所示。,位移条件容易计算的相当系统就是最适宜的。,(f),F,C,(e),F,B,例题 6-8,*II.支座沉陷和温度变化对超静定梁的影响,超静定梁由于有“多余”约束存在，因而支座的不均匀沉陷和梁的上,下表面温度的差异会对梁的,约束力,和内力产生明显影响，在工程实践中这是一个重要问题。,(1)支座不均匀沉陷的影响,图,a,所示一次超静定梁，在荷载作用下三个支座若发生沉陷,A,、,B,、,C,，而沉陷后的支点,A,1,、,B,1,、,C,1,不在同一直线上时(即沉陷不均匀时)，支座,约束力,和梁的内力将不同于支座均匀沉陷时的值。,现按如图,a,中所示各支点沉陷,B,C,A,的情况进行分析。此时，支座,B,相对于支座,A,、,C,沉陷后的点,A,1,、,C,1,的连线有位移,于是，如以支座,B,1,作为“多余”约束，以约束力,F,B,为“多余”未知力，则作为基本静定系的简支梁,A,1,C,1,(参见图b)在荷载,q,和“多余”未知力,F,B,共同作用下应满足的位移相容条件就是,于是得补充方程,由此解得,其中的,w,B,按叠加原理有(参见图,c,、,d,):,再由静力平衡方程可得,(2)梁的上,下表面温度差异的影响,图,a,所示两端固定的梁,AB,在温度为,t,0,时,安装就位，其后，由于梁的,顶,面温度升高至,t,1,，底,面温度升高至,t,2,，且,t,2,t,1,，从而产生,约束力,如图中所示。,由于未知的,约束力,有,6,个，而独立的平衡方程只有,3,个，故为三次超静定问题。,l,现将右边的固定端,B,处的,3,个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。,它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角,q,Bt,和挠度,w,Bt,(见图,c,)以及轴向位移,Bt,。,如果,忽略“多余”未知力,F,Bx,对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：,式中一些符号的意义见图,c、d、e,。,现在先来求,q,Bt,和,w,Bt,与梁的上,下表面温差(,t,2,-,t,1,)之间的物理关系。,从上面所示的图,a,中取出的微段,d,x,当其下表面和上表面的温度由,t,0,分别升高至,t,2,和,t,1,时，右侧截面相对于左侧截面的转角,d,q,由图,b,可知为,上式中的负号用以表示图,a,所示坐标系中该转角,d,q,为负。,将此式积分，并利用边界条件,得,根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为,从而有,至于温差引起轴向位移,D,Bt,则为,位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为,位移相容条件,已得出的物理关系,将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得,第六章结束,谢 谢 大 家!,