二维随机变量的定义、分布函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二维随机变量的定义、分布函数,体重,X,身高,Y,例2：,检查某大学的全体学生的身体状况,例1,飞机的,重心,在空中的位置是由,三个随机变量(三个坐标)来确定的.,从其中随机抽取一个学生，,分别以,X,和,Y,表示其,体重,和,身高,.,多个随机变量举例,3.1 二维随机变量及其分布,例如,E：抽样调查15-18岁青少年的,身高,X,与体重,Y,以研究当前该年龄段青少年的身体,发育情况,。,任务：,需要研究的不仅仅是,X,及,Y,各自的性质，更需要了解这两个随机变量的,相互依赖和制约,关系。,3.1.1 二维随机变量的定义、分布函数,定义,3.1.1,设,X、Y,为定义在同一样本空间,上的随机变量，,则称,为,上的一个,二维随机变量。,向量,（X，Y）,二维,随机变量,（X,Y）,的几何意义,二维随机变量,(,X,Y,),的,取值,可看作平面上的点,（,x，y,）,A,二维随机变量的联合分布函数,定义,3.1.2,称为二维随机变量的,联合分布函数,若,（X，Y）,是,随机变量，对于任意的实数,x,y.,二维随机变量(X,Y)的分布函数,F(x,y),的含义,几何解释 ：,F,(,x,y,)表示,随机点(,X,Y,)落在,以(,x,y,)为顶点,且位于该点左下方的,无穷矩形,内的概率.,x,1,x,2,y,1,y,2,P,（,x,1,X,x,2,，,y,1,Y,y,2,）,=,F,(,x,2,y,2,)-,F,(,x,2,y,1,)-,F,(,x,1,y,2,)+,F,(,x,1,y,1,),用联合分布函数,F,(,x,y,),表示矩形域概率,P,（,x,1,X,x,2,，,y,1,Y,y,2,）,F,(,x,2,y,2,),-,F,(,x,2,y,1,),-,F,(,x,1,y,2,),+,F,(,x,1,y,1,),性质（1）,性质（2）,性质（3）,性质（4）,二维随机变量的联合分布函数的性质,F,(x,y),分别关于X和Y,.,F,(,x,y,),.,F,(,x,)=,；,F,(,y,)=,.,F,(,)=,；,F,(+,+,),=,.,F,(,x,y,),分别关于,X,和,Y,.,单调不减；,0,1,0,0,0,1,右连续；,3.1.2 二维离散型随机变量,定义,3.1.3,若二维 随机变量,（X，Y）,的,所有可能取值只有限对或可列对,，,则称,（X，Y）,为,二维离散型随机变量。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式,PX,x,i,Y=,y,j,p,ij,，,i,j=,1,2,X,Y,x,1,x,2,x,n,y,1,y,m,P,ij,的性质,例题讲解,例1,一个口袋中有三个球，依次标有数字,1，2，2,，从中任取一个，,不放回袋中,，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以,、,分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求,(X,Y),的,联合分布律。,(X,Y),的可能取值为,(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).,P,X1，Y1=,P,X1，Y2=,P,X2，Y1=,P,X2，Y2=,(1/3)(2/2)1/3，,(2/3)(1/2)1/3，,(2/3)(1/2)1/3，,0,1/3,1/3,1/3,0,(X,Y)的联合分布律,X/Y,1,2,1,2,箱内装有,12,只开关，其中,2,只是,次品,，,现从箱内随机,抽取二次,，每次取一只，,取后不放回,，,求,(X,Y),的联合分布律。其中：,练一练,1,0,1,0,X,Y,(X,Y),的联合分布律,例2.,设随机变量,X,在,1,2,3,中等可能地取值,Y,在,1,X,中等可能地取整数值,求,(,X,Y,),的,分布列,及,F,(2,2).,解,1/3,1/6,0,X,Y,1 2 3,1,2,3,1/6,1/9,1/9,1/9,0,0,=,+,+,=2/,3,F,(,x,y,),=,P,(,X,x,Y,y,),F,(,2,2,),1/3,Y,1 2 3,X,1,2,3,1/6 1/6,1/9 1/9 1/9,0 0,0,=,P,(,X,2,Y,2,),例：(X,Y),的联合分布律如下：,Y,X,-,1 0,1,2,k,求（1）,k,=?;,(2),F,(,x,y,)=?,+,+,+,k=1,k,=,Y,X,-,1 0,1,2,-1,1,2,0,X,Y,0,Y,X,-,1 0,1,2,-1,1,2,0,X,Y,Y,X,-,1 0,1,2,-1,1,2,0,X,Y,Y,X,-,1 0,1,2,-1,1,2,0,X,Y,Y,X,-,1 0,1,2,-1,1,2,0,X,Y,Y,=-,1,Y=,0,X,=1,X,=2,3.1.3 二维连续型随机变量,定义,3.1.4,(,二元,连续型随机变量,),若存在,非负函数,f,（,x,，,y,）,，,使对任意实数,x，y,，,二元随机变量,(X,Y),的分布函数可表示成如下形式,则称,(X,Y),是二元,连续型随机变量,。,f,（,x,，,y,）,称为二元随机变量,(X,Y),的,联合概率密度函数.,二维连续型随机变量的,联合概率密度,的性质,（,1,）非负性,（,2,）正则性,（,3,）可导性,几何解释,=,曲顶柱体的体积,x,o,f(x,y),G,（,4,）,（,X,Y),落在平面区域,G,上的概率,例题讲解,例1：,已知二维随机变量,(X,Y),的概率密度,求：,系数A；,F,(x,y)；,P,X2,Y1;,(4),P,2X+3Y6,求：F(x,y)；,x,y,解(3):,P,X,2,Y,1,2,1,x,2,y,1,f(x,y)0,3,2,2,x,+3,y,=6,x,y,0,解(4):,f(x,y)0,二维均匀分布,设二维随机变量,(X,Y),的概率密度为,则称,（X,Y),在D上服从,均匀分布,.,其中,G,是平面上的有界区域，其面积为,S,G,例题讲解,例1：,设二维随机变量（X,Y)在区域G上服从均匀分布，其中G是曲线,y=x,2,和,y=x,所围成的区域，则(X,Y)的联合概率密度,f,x,y,=,0 1,例2,、设随机变量（,X，Y,）在区域,上服从,均匀分布,，则,=,