八年级数学下册第一部分基础知识篇第9课矩形例题课件浙教版.ppt

例,1.,如图，矩形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AOB=60,，,AB=5,则,AD,的长是 （）,A.B.C.5 D.10,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,矩形，对角线，边长,二联,重要结论：,根据矩形的对角线相等且平分，再利用勾股定理即可求出,.,重要方法：,数形结合,三解,解：,四悟,若矩形的两条对角线的夹角为,60,或者,120,，则图中有等边三角形，方便求解,.,在矩形,ABCD,中,AO=BO,故选,A.,例,1.,如图，矩形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AOB=60,，,AB=5,则,AD,的长是 （）,A.B.C.5 D.10,又,AOB=60,，,AOB,是等边三角形，,BO=AB=5,BD=2BO=10,举一反三,思路分析,:,根据,矩形的对角线相等且互相平分可得,OA=OB=OD=OC,，由,AOB=60,，判断出,AOB,是等边三角形，根据等边三角形的性质求出,AB,即可,如图，在矩形,ABCD,中，对角线,AC,，,BD,相交于点,O,，,AOB=60,，,AC=6cm,，则,AB,的长是（）,A,3cmB,6cmC,10cmD,12cm,失误防范,矩形定义,：,有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；,矩形的性质：,（,1,）矩形的对边平行且相等，对角线互相平分；,（,2,）矩形的四个角都是直角；,（,3,）矩形的对角线相等,.,例,2.,对于四边形,ABCD,，给出下列,6,组条件：,A=90,B=,C=,D;,A=,B=90,C=,D;,A=,B=,C=,D;,AB=CD,AD=BC,AC=BD;,AC=BD;,AB,CD,AD,BC.,其中能得到,“,四边形,ABCD,是矩形,”,的条件有（）,A,1,组,B,2,组,C,3,组,D,4,组,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,矩形，矩形的判定,二联,重要结论：,根据矩形的判定定理，用排除法即可选出答案,.,重要方法：,定理运用,三解,解：,四悟,熟练掌握矩形的判定定理是解决此类问题的关键,.,由,A=90,，,B=,C=,D,可以得到,A=,B=,C=,D=90,，故正确；,由,A=,B=90,，,C=,D=90,可以得到,A=,B=,C=,D=90,，故正确；,AB,CD,，,AD,BC,，只能得到四边形为平行四边形，故错误,；,正确的有,4,个，故选,D,A=,B=,C=,D,能得到四个角都是直角，故正确；,由,AB=CD,AD=BC,能得到四边形为平行四边形，由,AC=BD,得到,四边形为矩形，故正确；,AC=BD,，,对角线,相等的四边形不一定是矩形，故错误,；,举一反三,思路分析,:,根据,对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可,对于四边形,ABCD,，下面给出对角线的三种特征：,AC,、,BD,互相平分；,AC,BD,；,AC=BD,当具备上述条件中的,，就能得到,“,四边形,ABCD,是矩形,”,失误防范,矩形的判定,：,（,1,）有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；,（,2,）有三个角是直角的四边形是矩形；,（,3,）对角线相等的平行四边形是矩形,.,例,3.,如图，在矩形,ABCD,，,AB=2,BC=4,对角线,AC,的垂直平分线分别交,AD,，,AC,于点,E,、,O,，连接,CE,，则,CE,的长为（）,A,3 B,3.5C,2.5 D,2.8,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,矩形，矩形的性质，勾股定理,二联,重要结论：,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,.,重要方法：,定理运用,三解,解：,四悟,熟练掌握矩形的性质和勾股定理的应用是解决此类问题的关键,.,EO,是,AC,的垂直平分线，,AE=CE,，,设,CE=x,，则,ED=AD,AE=4,x,，,在,Rt,CDE,中，,CE,2,=CD,2,+ED,2,，,即,x,2,=2,2,+,（,4,x,）,2,，,解得,x=2.5,，,即,CE,的长为,2.5,故选：,C,举一反三,思路分析,:,设,AE=x,，则,ED=4,x,，利用勾股定理列方程：,x,2,=3,2,+,（,4,x,）,2,，求出,x,的值，再利用勾股定理计算,OE,的长，由全等证明,OE=OF,，从而得出,EF=2OE,如图，在矩形,ABCD,中，,AD=4,，,CD=3,，对角线,AC,的垂直平分线分别交,AD,、,BC,于点,E,、,F,，垂足为,O,，则,EF,的长为,_,举一反三,失误防范,在矩形中求线段长,：,此类,题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理,；,在矩形中，通常设未知数，利用勾股定理列方程可求得线段的长，并熟练掌握矩形的性质,.,例,4.,如图，已知矩形,ABCD,中，,F,是,BC,上一点，且,AF=BC,，,DE,AF,，垂足是,E,，连接,DF.,求,:,(,1),ABF,DEA,；（,2,）,DF,是,EDC,的平分线,.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,矩形，三角形全等，平分线,.,二联,重要结论：,矩形性质，全等三角形的性质和判定,.,重要方法：,逻辑推理,三解,解：,（,1,）四边形,ABCD,是矩形，,B=90,AD=BC,AD,BC,DAE=,AFB,DE,AF,，,DEA=,B=90,，,AF=BC,，,AF=AD,，,DEA,ABF,（,AAS,）；,（,2,）由（,1,）知,ABF,DEA,，,DE=AB,，,四边形,ABCD,是矩形，,C=90,，,DC=AB,，,DC=DE,DEA=90,C=,DEF=90,DF=,DF,Rt,DEF,Rt,DCF,（,HL,）,EDF=,CDF,，,DF,是,EDC,的平分线,四悟,熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算,是解答本题的关键,.,举一反三,如图，在矩形,ABCD,中，点,F,在边,BC,上，且,AF=AD,，过点,D,作,DE,AF,，垂足为点,E,求证：,DE=AB,思路分析,:,由矩形的性质得出,B=,C=90,，,AB=DC,，,BC=AD,，,AD,BC,，得出,EAD=,AFB,，由,AAS,证明,ADE,FAB,，得出对应边相等即可,答案：,四边形,ABCD,是矩形，,B=,C=90,，,AB=DC,，,BC=AD,，,AD,BC,，,EAD=,AFB,，,DE,AF,，,AED=90,，,在,ADE,和,FAB,中，,ADE,FAB,（,AAS,），,DE=AB,失误防范,1.,矩形的性质,：,（,1,）矩形的,4,个内角都是直角；,（,2,）矩形的对角线相等且互相平分；,（,3,）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；,（,4,）矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴；对称中心是对角线的交点,.,（,5,）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质；,（,6,）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形,.,失误防范,2.,矩形的判定,：,定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；,定理,1,：有三个角是直角的四边形是矩形；,定理,2,：对角线相等的平行四边形是矩形；,对角线互相平分且相等的四边形是矩形,.,例,5.,如图，矩形,ABCD,的对角线相交于,O,，,AE,平分,BAD,交,BC,于,E,CAE=15,，则,BOE=_,.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,矩形性质，对角线，平分，求角大小,.,二联,重要结论：,矩形性质，全等三角形的性质和判定,.,重要方法：,逻辑推理,三解,解：,四边形,ABCD,为矩形，,DAB=,ABC=90,，,AO=OB,，,又,AE,平分,BAD,，,BAE=45,，,而,CAE=15,，,BAO=60,，,ABO,是等边三角形，,BO=BA,，,ABO=60,OBE=30,又,ABE,是等腰直角三角形，,BE=BA,，,BO=BE,，,BOE=,BEO=,（,180,OBE,）,/2,=,（,18030,）,/2,=75,四悟,熟练掌握矩形的性质，判断出三角形的形状,是解答本题的关键,.,举一反三,如图，矩形,ABCD,中，两条对角线相交于点,O,，,AE,平分,BAD,交于,BC,边上的中点,E,，连接,OE,下列结论：,ACB=30,；,OE,BC,；,OE=BC/4,其中正确的个数是（,）,A,1B,2C,3D,0,思路分析,:,由矩形的性质和,等腰三角形的性质，证出,ABE,是等腰直角三角形，得出不正确，、正确；即可得出结论,举一反三,失误防范,等腰三角形的性质,：,（,1,）等腰三角形的两个底角相等（简写成,“,等边对等角,”,）；,（,2,）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；,（,3,）等腰三角形的两底角的平分线相等；,（,4,）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等,.,例,6.,如图，在矩形,ABCD,中，,E,F,分别是,AB,CD,上的点，,AE=CF,，连接,EF,BF,EF,与对角线,AC,交于点,O,，且,BE=BF,BEF=2,BAC.,（,1,）求证：,OE=OF;,(2),若,BC=,，求,AB,的长,.,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,矩形，,边、角的,关系，,求线段的关,系及线段长,.,二联,重要结论：,矩形的性质，,全等三角形的判定与性质，,三角形的性质,.,重要方法：,逻辑推理思想,三解,解：,（,1,）证明：四边形,ABCD,是矩形，,CD,AB,，,FCO=,EAO,，,在,FCO,和,EAO,中，,FCO,EAO,（,AAS,），,OF=OE.,解题技巧,三解,解：,（,2,）如图，连接,OB,，,BE=BF,，,OE=OF,，,BO,EF,，,FCO,EAO,，,OA=OC,OB=AC=OA,BAC=,ABO.,在,Rt,BEO,中，,BEF=2,BAC,，,BAC=,ABO,，,2,BAC+,BAC=90,，,解得,BAC=30,，,BC=2,，,AC=2BC=4,，,AB=6,四悟,灵活应用,所学知识,解决问题，,解题的关,键是学会,添加常用,辅助线,.,举一反三,如图，在矩形,ABCD,中，点,E,、,F,分别是,AD,、,BC,上的点，连接,AF,、,EF,，,EF,与对角线,BD,交于点,O,若,AE=AF=CF=12,，,AEF=2,ADB,，求矩形,ABCD,的面积,举一反三,思路分析,:,连接,AC,、,EC,首先证明,AC,经过点,O,，由,ECD,ECO,，推出,DC=OC=OA,，推出,AC=2CD,，推出,DAC=30,，由此即可解决问题,答案：,连接,AC,、,EC,四边形,ABCD,是矩形，,DE,BF,，,AD=BC,，,EDO=,OBF,，,AE=CF,，,DE=BF,，,EOD=,BOF,，,EOD,FOB,，,OB=OD,，,AC,经过点,O,，,AEF=2,ADB,，,AEF=,EDO+,EOD,，,EDO=,EOD,，,ED=EO,，同理可知,OF=BF,，,AE=AF,，,AC,EF,，,EOF=,EDC=90,，,EC=,EC,，,EO=ED,，,ECD,ECO,，,举一反三,DC=OC=OA,，,AC=2CD,，,DAC=30,，,EF,AC,，,OC=OA,，,EA=EC,，,EAC=,ECA=30,，,DEC=60,，,ECD=30,，,在,Rt,EDC,中，,EC=AE=12,，,ECD=30,，,AD=18,，,S,矩形,ABCD,失误防范,矩形的性质：,对边平行且相等；,四个角为直角；,对角线互相平分且相等；,中心对称图形、轴对称图形,.,例,7.,如图，,ABC,中，点,O,是边,AC,上一个动点，过,O,作直线,MN,BC,设,MN,交,ACB,的平分线于点,E,，交,ACB,的外角平分线于点,F.,（,1,）求证：,OE=OF,；,（,2,）若,CE=12,，,CF=5,，求,OC,的长；,（,3,）当点,O,在边,AC,上运动到什么位,置时，四边形,AECF,是矩形？并说明理由,重点中学与你有约,解题技巧,一读,关键词：,平行线，,角平分线，,线段长，,求线段的,关系、线段,长及四边形,形状,.,二联,重要结论：,矩形的判定，,平行四边形的判定，,角三角形的判定,.,重要方法：,转化思想,三解,（,1,）证明：,MN,交,ACB,的平分线于点,E,，,交,ACB,的外角平分线于点,F,，,2=,5,，,4=,6,，,MN,BC,，,1=,5,，,3=,6,，,1=,2,，,3=,4,，,EO=CO,，,FO=CO,，,OE=OF,；,（,2,）,2=,5,，,4=,6,，,2+,4=,5+,6=90,，,CE=12,，,CF=5,，,EF=,=13,，,OC=EF=6.5,；,解题技巧,三解,解：,（,3,）当点,O,在边,AC,上运动到,AC,中点时，,四边形,AECF,是矩形,理由如下：由（,1,）知,OE=OF,，,当点,O,移动到,AC,中点时有,OA=OC,四边形,AECF,为平行四边形，,又,ECF=90,，,四边形,AECF,为矩形,四悟,读懂题意，,结合图形，,根据已知,得出,ECF=90,是解题关,键,举一反三,如图，在,ABC,中，点,O,是边,AC,上一个动点，过点,O,作直线,EF,BC,分别交,ACB,、外角,ACD,的平分线于点,E,、,F,（,1,）若,CE=8,，,CF=6,，求,OC,的长；,（,2,）连接,AE,、,AF,问：当点,O,在边,AC,上运动到什么位置时，四边形,AECF,是矩形？并说明理由,举一反三,思路分析,:,（,1,）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出,OEC=,OCE,，,OFC=,OCF,，证出,OE=OC=OF,，,ECF=90,，由勾股定理求出,EF,，即可得出答案；,（,2,）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可,答案：,（,1,）证明：,EF,交,ACB,的平分线于点,E,，交,ACB,的外角平分线于点,F,，,OCE=,BCE,，,OCF=,DCF,，,MN,BC,，,OEC=,BCE,，,OFC=,DCF,，,OEC=,OCE,，,OFC=,OCF,，,OE=OC,，,OF=OC,，,OE=OF,；,OCE+,BCE+,OCF+,DCF=180,，,ECF=90,，,在,Rt,CEF,中，由勾股定理得：,OC=OE=EF=5,；,（,2,）解：当点,O,在边,AC,上运动到,AC,中点时，四边形,AECF,是矩形理由如下：,连接,AE,、,AF,，如图所示：,当,O,为,AC,的中点时，,AO=CO,，,EO=FO,，四边形,AECF,是平行四边形，,ECF=90,，平行四边形,AECF,是矩形,失误防范,1.,矩形的判定：,有一个角是直角的平行四边形是矩形；,有三个角是直角的四边形是矩形；,对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）,.,失误防范,2.,平行四边形中常用辅助线的添法：,平行四边形,(,包括矩形、正方形、菱形,),的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下,:(1),连对角线或平移对角线,:(2),过顶点作对边的垂线构造直角三角形；,失误防范,(3),连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；,(4),连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；,(5),过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等,.,