矩阵的特征值和特征向量总结.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,矩阵的特征值和特征向量总结,矩阵的特征值和特征向量总结矩阵的特征值和特征向量总结,第1节,方阵的特征值与特征向量,9/11/2026,2,定义3.1,3.1.1,特征值与特征向量的基本概念,9/11/2026,3,例1,解,是,不是,9/11/2026,4,命题1,命题2,命题3,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。,9/11/2026,5,它有非零解的充分必要条件是,即,怎样求矩阵A的特征值与特征向量？,9/11/2026,6,矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2,A的特征方程,A的特征多项式,A的特征矩阵,特征方程的根称为A的,特征根,，,也称为A的,特征值,。,9/11/2026,7,求矩阵的特征值与特征向量的步骤,求矩阵,A,的特征方程,2.求特征方程的根，即特征值,3,.,对每个特征值,解方程组,求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量,便得属于,的全部特征向量。,9/11/2026,8,例2：求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,9/11/2026,9,得基础解系,得基础解系,9/11/2026,10,练习:求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,9/11/2026,11,对应的特征向量可取为,9/11/2026,12,3.1.2 特征值与特征向量的性质,定理1,定理2,推论,若 n 阶方阵有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关,。,9/11/2026,13,定理3,9/11/2026,14,(2)由于,9/11/2026,15,定理4,设 A 是 n 阶方阵，,是,的特征值.,若,为,A,的特征值，则,9/11/2026,16,9/11/2026,17,例3,设 A 是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求,（1）,A的主 对角线元素之和,（2）,解,的特征值依次为,9/11/2026,18,例4,试证 n 阶矩阵 A 是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是 A 中至少有一个特征值为0。,证明,因为,为,A的特征值,）,所以,的充分必要条件是至少有一个特征值,为零,。,9/11/2026,19,第2节,矩阵的对角化,9/11/2026,20,定义3.3,设 A和B为 n 阶矩阵,如果存在n 阶可逆矩阵P，,使得,则称A相似于B，或说A和B相似(similar),记做A,B.,性质,（1）反身性 A相似于A,（2）对称性 A相似于B，可推出B相似于A,（3）传递性 A相似于B，B相似于C，可推出,A相似于C。,3.2.1 相似矩阵及其性质,9/11/2026,21,容易证明相似矩阵的如下性质：,（1）反身性，即,（2）对称性，即如果,则,（3）传递性，即如果,则,证明,证明,证明,9/11/2026,22,方阵的迹定义3.4,方阵的迹是它的主对角线上的元素和,例5,tr(A)=2+(-3)+0=-1,性质,：(1),tr(A+B)=tr(A)+tr(B),(2),tr(AB)=tr(BA)(性质3.1),9/11/2026,23,性质3.1(2)设,则,证明,故,9/11/2026,24,相似矩阵的性质,若A和B相似，则,A,和,B,有相等的秩。,2.方阵A和B有相等的行列式,。(性质3.2),证明（1）,9/11/2026,25,3.方阵A和B有相等的迹,。(性质3.2),4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。,TH5,推论,如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。,9/11/2026,26,易证,对角形矩阵,则,是 的全部特征值。,9/11/2026,27,定理3.6,n 阶矩阵A与n 阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量,。,充分性,3.2.2 矩阵的对角化,9/11/2026,28,必要性,设A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵B，使得,由B可逆便知：,都是非零向量，因而都是A的特征,向量，且,线性无关。,9/11/2026,29,推论,如果n阶矩阵A的特征值,互不相同,则A相似于对角矩阵,定理3.7,n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个 重特征值 ,对应着 个线性无关的特征向量.,9/11/2026,30,相似变换,若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵,9/11/2026,31,例,矩阵 能否相似于对角阵?,解,A的特征方程为,得特征值为,9/11/2026,32,对于,解方程组,解方程组,可求得特征向量,是对应于 的全部特征向量.,不存在两个线性无关的特征向量.由定理可知A不能与对角阵相似.,因为 是二重根,而对应于特征根,9/11/2026,33,将一个方阵A对角化,可以按P88如下步骤进行:,9/11/2026,34,注,(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n 个,则不能对角化,此时A只能化为若当标准形.,9/11/2026,35,例,用相似变换化下列矩阵为对角阵,解:,A的特征方程为,特征值为,对于,可求得特征向量,对于,可求得线性无关的特征向量,这三个特征向量线性无关,9/11/2026,36,9/11/2026,37,练一练,用相似变换化矩阵为对角形.,9/11/2026,38,应用 :利用对角化计算矩阵的幂,9/11/2026,39,设,解:,A的特征方程为,特征值为,对应的特征向量为,对应的特征向量为,例7,9/11/2026,40,练习,已知,问 满足什么条件时，,A,可对角化？,解,首先,所以，,A,的特征值为2（重数为,1,）和1（重数为,2,）。,9/11/2026,41,考虑,A,的特征值 1。对方程组 ，,仅当 秩 时，才能使基础解系含,2,个解向量。,又,故 。,所以，当 时，,A,可对角化。,9/11/2026,42,9/11/2026,43,9/11/2026,44,THE END.,P88将一个方阵A对角化的三步骤.,思考?,第三章作业:,1(4),3,7,9,10(3),11,15,16,预习 向量的内积,正交向量组和正交矩阵,9/11/2026,45,Thank You,世界触手可及,携手共进，齐创精品工程,