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函数最值教案

教学目标
理解函数最大(小)值的定义，强调最值是函数的整体性质;
掌握简单的求函数最值的方法(图象法、配方法、单调性法);
会利用求函数最值的方法解决一些简单的实际问题，如：用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.
教学重难点
教学重点:
函数最大值、最小值定义的理解;
掌握求函数最值的三种基本方法：图象法、配方法、单调性法;
会利用求函数最值的方法解决一些简单的实际问题.
教学难点:
利用单调性法求函数的最值;
利用求函数最值的方法解决现实生活中的最值问题.
教学过程
(一)观察图象，导入新课
让学生自己动手画出函数和函数的图象,引导学生观察两个函数图象的共同点，引导启发学生发现这两个函数的图象都有一个最高点,并告诉学生在数学上将这个最高点称为函数在定义域上的最大值.进一步提出问题：根据你对图象的观察,能否试着归纳出函数最大值的定义.
根据学生对函数最大值定义的归纳情况,给出函数最大值的准确定义.
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
(1)对于任意的,都有;
(2)存在,使得.
x
y
O
2
3
那么,就称是函数的最大值.
(二)列举实例，理解内涵
问题一:

2是函数的最大值吗？为什么？
[设计意图]强调概念中的“任意”二字.
问题二：4是问题一中函数的最大值吗？为什么？
[设计意图]强调最大值必须能取到.
问题三：常值函数有没有最大值？如果有最大值是多少？
[设计意图]强调函数的最大值虽然是唯一的，但与最大值对应的自变量的值并不一定是唯一的.
引导学生归纳出函数的最大值就是函数图象最高点所对应的纵坐标.
(三) 自己动手，类比研究
让学生根据研究函数最大值的方法、手段、过程,给出函数最小值的概念及对概念内涵的理解.
(四)实际应用,巩固提高
讲解课本30页例3(图象法，配方法)
题后小结:
(1)函数最值的图形特征：函数的最大（小）值是函数图像上最高（低）点的纵坐标;
(2)二次函数的最值：
①，当时，.
②，当时，.
(3)若在上为增函数，则;
若在上为减函数，则.
(4)若值域为，则.
31页例4(图象法，单调性法，其中详细讲解单调性法的推理过程及解题步骤).
课堂练习:课本32页第5题,39页第5题
小结
学生自己作小结，教师归纳：
函数最大(小)值定义的理解；求函数最值的三种方法
作业
1.组1 已知函数.
(1)求的单调区间; (2)求的最小值.
2.组2 如图所示,动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建

造围墙的材料总厂是30(单位: )为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?
3.已知函数,且的最小值为,则实数的取值范围是 .
答案 提示: 数形结合.
4.若函数在上最大值是3,最小值是2,则实数的取值范围是 .
答案 提示: .①当时,函数在上递减,其最大值为,最小值为.当时不合题意.②当时,函数在上递减,在上递增,其最小值为.又,当时必有,即 ,此时函数在上的最小值为2,最大值为3.综上所述, 的取值范围是.
5.已知函数对任意,总有时,.
(1)求证是上的减函数;
(2)求在上的最大值和最小值.
解 (1)令,
在R上任取,则

又
由定义可知在R上为单调递减函数.
(2)在R上是减函数,上也是减函数.

最大,最小.

.
即在上最大值为2,最小值为.
课后反思