高二导数教案.doc

一、课前回顾
1、常见函数的导数公式表
函数
导数

2、导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
3、推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
重要知识点讲解
知识点一：求常见基本初等函数的导数
例1：求下列函数导数。
（1）　 （2）　　 （3）
（4）　 （5）y=sin(+x) (6) y=sin （7）y=

变式：（1）　 （2）　　 （3） （4）y=cos(2π－)　

知识点二：求函数的和差积商的导数

例2：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1） （2）；
（3）； （4）；
（5）．

变式： 求下列函数的导数
（1）的导数. （2）求的导数．(两种方法) （3）y=

知识点三： 导数几何意义的应用
例3：（1）求过点(1,1)的切线方程

（2） 求过点(1,2)的切线方程

变式：曲线y= 在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的坐标为_________

变式：已知曲线上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在?

例4：若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为 （ ）
A、　 B、 C、 D、

变式：平行于直线 2x­6y+1=0，且与曲线 相切的直线的方程是

变式：直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ．

例5：．已知点P在函数y=cos上，（0≤≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。

变式：若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.

变式:已知直线,点P为y=上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.

知识点4：利用导数判断函数的单调性
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
知识点五：函数的极值
1. 极大值： 一般地，设函数f(x)在点附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f()，就说f()是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f()，是极大值点
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f().就说f()是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f()，是极小值点
3. 极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点

知识点六：函数的最值
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．
1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
二、典型例题分析：
题型1：函数单调区间的问题
例1：判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）； （2）（）
变式 （1）； （2）

例2：已知在R上是减函数，求的取值范围
变式：若上是减函数，则b的取值范围
变式：设，当<恒成立，则实数m的取值范围

题型3：利用函数的单调性解决有关方程的根的个数问题
例5：求方程在（0,2）内的根的个数
变式：求证方程只有一个实根

题型4：原函数与导函数图像的互推关系
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
A B C D
例6 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( )
y

变式：已知函数  的图象如右图所示（其中 是函数 的 函数） ，下面四个图象中 的图象大致是（ ）

题型5 与函数极值的有关问题
例7：已知 （a≠0）在 x=±1 时取得极值，且 
（1） 试求常数 a、b、c 的值； （2）求函数的极大值与极小值 
变式：设与是函数的两个极值点．
（1）求、的值；（2）判断，是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
题型6：求函数的最值问题
例8 求函数 上最大值与最小值. 

变式：求的最大值与最小值

变式：已知函数，（1）求函数单调减区间
（2）若函数在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值

例9 已知 a 为实数， ， （1）求导数 ；
（2）若  上的最大值和最小值；
（3）若    上都是增函数，求 a 的取值范围. 
变式：设函数为实数。
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

变式：设函数（1）当时，（1）求的单调区间
（2）当时 ，求的取值范围