线性代数教案-同济版.doc

线性代数

课 程 教 案

学院、部
系、所
授课教师
课程名称 线性代数
课程学时 45学时
实验学时
教材名称

年 月 日

线性代数 课程教案

授课类型 理论课 授课时间 3 节

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数
§3 阶行列式的定义
§4 对换

本授课单元教学目标或要求：
1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：行列式的定义
1. 计算排列的逆序数的方法
设是这个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比大的数排在前面，记为；
再看有多少个比大的数排在前面，记为；
……
最后看有多少个比大的数排在前面，记为；
则此排列的逆序数为。

2. 阶行列式

其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列求和。
阶行列式中所含个数叫做的元素，位于第行第列的元素，叫做的元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用

重点和难点：理解行列式的定义
行列式的定义中应注意两点：
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
(1) 和式中的任一项是取自中不同行、不同列的个元素的乘积。由排列知识可知，中这样的乘积共有项。
(2) 和式中的任一项都带有符号，为排列的逆序数，即当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号。
综上所述，阶行列式恰是中所有不同行、不同列的个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。

例：写出4阶行列式中含有的项。
解：和。

例：试判断和是否都是6阶行列式中的项。
解：下标的逆序数为，所以是6阶行列式中的项。
下标的逆序数为，所以不是6阶行列式中的项。

例：计算行列式
解：

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出阶行列式的定义。
通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业：
　　 §1 P.26 1(1)(3)
§2 2(5)(6)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式
§5 行列式的性质
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则

本授课单元教学目标或要求：
1． 知道阶行列式的性质。
2． 知道代数余子式的定义和性质。
3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式。
4． 知道克拉默法则。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
基本内容：
1. 行列式的性质
(1) 行列式与它的转置行列式相等。
(2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。
(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子，则可提到行列式记号之外。
(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。
(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。
(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。

2. 行列式的按行（列）展开
(1) 把阶行列式中元所在的第行和第列划去后所成的阶行列式称为元的余子式，记作；记，则称为元的代数余子式。
(2) 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第行展开：
；
或可以按第列展开：
.
(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
，
或 .

3. 克拉默法则
含有个未知元的个线性方程的方程组

当全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。
(1) 如果方程组的系数行列式，那么它有唯一解：，其中是把中第列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的阶行列式。
(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式。
(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式必定等于零。

用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。
克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

4. 一些常用的行列式
(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即

特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即.
类似地，.

(2) 设，，则
.

(3) 范德蒙（Vandermonde）行列式

计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。

重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。

例：课本P.12例7—例9

例：课本P.21例13

例：课本P.25例16

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合
以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。

本授课单元思考题、讨论题、作业：
思考题
问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？
答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。

本授课单元思考题、讨论题、作业：
　　　§5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5)
§6 P.26 5 (4)，7 (3) (6)
§7 P.28 8(1)，9

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）：
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
§2 矩阵运算
§3 逆矩阵
§4 矩阵分块法
本授课单元教学目标或要求：
掌握矩阵的定义,矩阵的加减法\数乘\转置\矩阵求逆\矩阵的行列式\分块矩阵等运算,了解矩阵
多项式运算
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成,第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲: §3逆矩阵;第三讲: §4矩阵分块法
第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;
基本内容:§1 矩阵:
一 矩阵的定义,
定义1 由M×N个数组成的行列的数表

称为行列矩阵,简称M×N矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作

这M×N个数称为菊阵A的元素,简称为元,数位于矩阵A的第行列,称为矩阵A的(I,J)元,以数为(I,J)元的矩阵可简记为或,M×N矩阵A也记着.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵
行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵, 阶矩阵A也记作.
只有一行的矩阵

称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作

只有一列的矩阵

称为列矩阵,又称为列向量.
两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=,B=是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即
),
那么就称矩阵A与矩阵B相等,级作
A=B
元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.

§2 矩阵的运算
一 矩阵的加法
定义2 设有两个矩阵A=和B=,那么矩阵A与B的和记着A+B,规定为

两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.
矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C都是矩阵):
() A+B=B+A;
()(A+B)+C=A+(B+C)
A=的负矩阵记为
-A=
A+(-A)=O
规定矩阵的减法为
A-B=A+(-B)
二 矩阵的数乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作或,规定为

矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B为矩阵,为数):
(1) ;
(2)
(3)
重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.
三 矩阵乘矩阵
定义4 设A=()是一个矩阵,B=()是一个矩阵,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵C=(),其中

把此乘积记为
C=AB
且有

例4 求矩阵
A=与
的乘积
解 C=AB==

例5 求矩阵
A=与B=
的乘积AB与BA
解 AB==
BA==
对于两个阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A与B可交换
从上面等式可以得出结论:若而也不能得出X=Y的结论
矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律
(1) (AB)C=A(BC)
(2) 为数
(3) A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
对于单位矩阵E,有

即:
EA=AE=A
特殊矩阵:
1 单位矩阵;
E=
2 数量矩阵

3 对角矩阵

4 ;三角矩阵
或
可以得到:

表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换
定义矩阵的幂为

其中为正整数
例6 证明

证 用数学归纳法,时显然成立,设=时成立,即

当时,有

=
=
等式得证.
四 矩阵的转置
定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作
A=.则
A的转置也是一种运算,满足
(1)
(2)
(3)
(4) (AB)
证明(4) 设,B=,记,有

而的第行为,的第列为,因此

有

例7 已知
,B=
求
解 因为
=
所以

若A是阶方阵,如果满足,即

那么A称为对称矩阵.
例 设列矩阵X=满足,E是阶单位阵,,证明是对称矩阵,且
证

所以H是对称矩阵.
=
=+
=+
=+=
五 方阵的行列式
定义6 由阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作或
.
满足下列运算规律(A,B为阶方阵,为数)
(1)
(2)
(3) ,且
例9 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵

称为A的伴随矩阵,试证

证明 设,记,则

故
类似有

本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习
提高学生运算的准确率.
本授课单元思考题、讨论题、作业：
P53:3.4(1),(2);(3),(4)
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）
注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
第二讲: §3逆矩阵
基本内容: §3 逆矩阵
定义7 对于阶矩阵A,如果有一个阶矩阵B,使

则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵.记为
如果A可逆,则A的逆阵是唯一的.因为:设B,C都是A的逆阵,则有
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C
定理1 若矩阵A可逆,则
证 A可逆,即有,使,故所以.
定理2 若,则矩阵A可逆,且

其中为A的伴随矩阵.
证 由例9可知

所以有

按照逆矩阵的定义知A可逆,且有

当时称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵.
推论 若,则
证 ,故,因而存在,有

逆阵满足下列运算:
(1) 若A可逆,则也可逆,且.
(2) 若A可逆,,数,则可逆,且
(3) 若A,B为同阶矩阵且可逆,则AB也可逆,且

证 ,由推论有:
(4) 若A可逆,,,则也可逆,且
证 ,由推论有:
当时,定义
,为正整数
这样,当,为整数,有

重点,难点:逆矩阵的求法.定理2说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一章里还有更简单的求逆方法.
例10 求二阶矩阵的逆阵.
解 ,, 当时,有

例11 求方阵

的逆阵.
解 ,知A可逆,的余子式

得

所以

例12 设
,
求矩阵X使其满足

解 若存在,有

即
=
==
例13 设P=求
解

而 ,
所以
=

定义 设
为的次多项式,A为阶矩阵,记

称为矩阵A的次多项式.,可证矩阵A的两个多项式和是可交换的,即有

A的多项式可以象数的多项式一样相乘或分解因式.例如

容易证明
(1) 如果,则,从而

(2) 如果 为对角阵,则,从而

本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,通过逆矩阵的定义及定理2的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告
知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵
本授课单元思考题、讨论题、作业：
P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
第三讲: §4矩阵分块法
基本内容:§4 矩阵分块法
. 对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵A
用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称
为分块矩阵.
例 将矩阵

可以分块为
(1) (2) (3)
分法(1)可记为

其中 ,
,
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足:
(1) 设矩阵A与矩阵B的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有
,
其中,与的行数相同,列数相同,那么

(2) 设,为数,那么

(3) 设A为矩阵,B为矩阵,分块成
,
其中的列数分别等于的行数,那么

其中
重点,难点: 分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶,一般做四块分且尽量分出单位阵,零矩阵..
例14 设

求AB
解 把A,B分块成

则 =
而 =+=
=+
所以
(4) 设,则
(5) 设A为阶矩阵,若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且在对角线
上的子块都是方阵,即

其中都是方阵,称A为分块对角矩阵.
分块对角矩阵的行列式有下列性质:

若,则,并有

例15 设,求
解 ,

对矩阵进行按行分快或按列分块:
矩阵A有行,称为矩阵的个行向量,若第行记作

则矩阵A记为

矩阵A有列,称为矩阵A的个列向量,若第列记作

则
对于矩阵与矩阵的乘积矩阵AB=C=,若把行分成块,把B分成块,有

其中

以对角阵左乘矩阵时把A按行分块,有
=
以对角阵右乘矩阵时把A按列分块,有
=
例16 设,证明
证 设,把A的列向量表示为A=,则
=
因为,所以,
,
特别有

而
得
即
下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则
克莱姆法则 对于个变量, 个方程的线性方程组

如果它的系数行列式,则它有唯一解

证 把方程组写成向量方程

这里为阶矩阵,因,故存在.

表明是方程组的解向量,也是唯一的解向量.
由于,所以,即

也就是
本授课单元教学手段与方法：
讲授为主,练习为辅,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学
生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例
子的运算.
本授课单元思考题、讨论题、作业：
P55:26;P56:29.
本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）
线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 1 节

授课题目（教学章节或主题）：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.1 矩阵的初等变换
本授课单元教学目标或要求：
熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
1.基本内容
定义与记号
初等行变换与行等价;
初等列变换与列等价;
初等变换,与等价.
矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形
2.重点
矩阵的初等变换
对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：
(1) 交换矩阵的两行(列);
(2) 以一个非零的常数乘矩阵的某一行(列);
(3) 把矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列).
3.例题与解题方法
参见PPT
本授课单元思考题、讨论题、作业：

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.2 初等矩阵
本授课单元教学目标或要求：
知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
1.基本内容
初等矩阵
(1) 定义 单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.
(2) 对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左(右)乘.
(3) 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下：
初等变换
初等矩阵
逆变换
逆矩阵

(4) 方阵可逆

存在可逆矩阵使
(5) 若则可逆，且特别地，若则可逆，且
2.重点、难点
对矩阵作一系列初等行(列)变换，相当于用可逆矩阵左(右)乘，由此引出用初等变换求逆阵的方法；
会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵；
会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解.
3.例题与解题方法
例1 设

其中可逆，则等于
(A) (B) (C) (D)
分析：把矩阵的1,4两列对换,2,3两列对换即得到矩阵,根据初等矩阵的性质,有或
那么所以应选(C).
例2 设4阶矩阵

且矩阵满足关系式试将所给关系式化简,并求出矩阵.
解：由所给的矩阵关系得即故用初等变换法求由于

故

其他例题参见PPT
本授课单元思考题、讨论题、作业：

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 1.5 节

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.3 矩阵的秩
本授课单元教学目标或要求：
1.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。
2.知道矩阵秩的基本性质。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
1.基本内容
矩阵的秩
(1) 定义 矩阵的阶子式，矩阵的秩。
(2) 的行阶梯形含个非零行的标准形
(3) 矩阵秩的性质
①
②
③ 若则
④ 若可逆，则
⑤
特别地，当为列向量时，有

⑥
⑦
⑧ 若则

2.重点、难点
矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。
3.例题与解题方法
例1.设三阶矩阵为

试求秩
[分析] 矩阵含有参数因此其秩一般随的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵秩的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。
解: 方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论
由于
故
① 当且时,
② 当时, 且
③ 当时, 且,这时有二阶子式因此
方法二 利用初等变换求秩

因此
① 当且时,
② 当时,
③ 当时,
例2. 设为矩阵

且的秩为3,求
解: 方法一 用初等变换

可见, 则必有即
方法二 因为的秩为3,故其4阶子式

解得
例3. 设为阶矩阵的伴随矩阵,证明

证明:
①已知则可逆由知可逆,所以
②若则由又由矩阵秩的行列式定义有,矩阵至少有一个阶子式不为零,那么矩阵中至少有一个元素非零,所以从而有
③若则的任一阶子式为零,故,所以
本授课单元思考题、讨论题、作业：

线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 1.5 节

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§3.4 线性方程组的解
本授课单元教学目标或要求：
1.理解线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件).
2.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。
3.知道矩阵方程有解的充要条件。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
1.基本内容
(1) 线性方程组的解法
[1] 基本定理 元线性方程组
① 无解的充分必要条件是
② 有唯一解的充分必要条件是
③ 有无限多解的充分必要条件是
[2] 求解线性方程组的步骤(见教材)
(2) 重要定理
定理1 线性方程组有解的充分必要条件是
定理2 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
把定理1推广到矩阵方程，得
定理3 矩阵方程有解的充要条件是
2.重点、难点
根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解；
线性方程组的基本定理。
3.例题与解题方法
例1 求方程组的通解

解：对增广矩阵作初等行变换得

原方程组化为

取自由未知量得特解为对应原方程的齐次方程组为

令得基础解系为
故原方程的通解为

其中为任意常数
例2. 设

问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时，求出相应的解。
解 方法一 方程组的系数行列式

当即时，方程组有唯一解，且唯一解为(按克莱姆法则)

时，方程组为

此时

方程组无解。
时，方程组为

故方程组有无穷多解，其同解方程组为，通解为
其中为任意常数
方法二 直接化增广矩阵为阶梯形

时，有

可见方程组有唯一解

时，方程组无解
时，

故方程组有无穷多解，通解为
其中为任意常数
本授课单元思考题、讨论题、作业：
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性
　　　　　　　　　　　　　　§1． 　向量组及其线性组合
　　　　　　　　　　　　　　§2． 向量组的线性相关性
本授课单元教学目标或要求：
一、了解维向量空间的概念．
二、掌握线性组合的概念，掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件．
三、掌握线性相关和线性无关的概念，能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线　　　性关系．

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
一、向量组及其线性组合（定义１、定义２、定义3、定理1、定理2、定理3）
二、维向量的表示方法
三、向量空间
四、向量、向量组与矩阵
五、线性相关性的概念（定义4）
六、线性相关性的判定(定理4、定理5）
向量 b 可由（不可由）a1，a2，…，an线性表示的主要结论：
（1）若b = k1a1+ k2a2 + …+knan（ki为实数），则说 b 可由a1，a2，…，an线性表示．
命题：b 可由向量组a1，a2，…，an线性表示 Û 方程组AX = b 有解，其中A =（a1，a2，…，an ）Û 秩（A）= 秩（A，b ）．
推论1：b 可由a1，a2，…，an线性表示，且表达式是惟一的 Û 方程组AX = b 有惟一解 Û 秩（A）= 秩（A，b）= n Û a1，a2，…，an线性无关，a1，a2，…，an ，b线性相关．
推论2：b 可由a1，a2，…，an线性表示，且表达式是不惟一的 Û 秩（A）= 秩（A，b）< n．
（2）若对于任何一组数k1，k2，…，kn都有
b ¹ k1a1+ k2a2 + … + knan
则说 b 不可由a1，a2，…，an线性表示．
命题：b 不可由a1，a2，…，an线性表示 Û 方程组AX = b 无解 Û 秩（A）¹ 秩（A，b），其中A =（a1，a2，…，an ）．
七、线性相关性在线性方程组中的应用

重点（难点）：
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）
本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。
本授课单元思考题、讨论题、作业：. P108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、20
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节
授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性
　　　　　　　　　　　　　　§3． 　向量组的秩

本授课单元教学目标或要求：
一、掌握最大无关组与向量组的秩的概念．
二、掌握求向量组的秩的方法
三、掌握求向量组的最大无关组的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
一、最大线性无关向量组的概念．（定义5）
二、矩阵与向量组秩的关系
三、向量组秩的重要结论：
1．m维向量组a1，a2，…，an线性无关的充分必要条件：
向量组a1，a2，…，an线性无关 Û 对于任何一组不全为零的数组k1，k2，…，kn都有k1a1+ k2a2 + …+ knan ¹ 0 Û 对于任一个ai（1≤i≤n）都不能由其余向量线性表示 Û AX = 0只有零解 Û 秩（A）= n，其中A =（a1，a2，…，an ）．
2．m维向量组a1，a2，…，an线性相关的充分必要条件：
向量组a1，a2，…，an线性相关 Û 存在一组不全为零的数组k1，k2，…，kn，使得k1a1+ k2a2 + …+ knan = 0 Û 至少存在一个ai（1≤i≤n）使得ai可由其余向量线性表示 Û AX=0有非零解 Û 秩（A）< n，其中A =（a1，a2，…，an ）．
3．线性相关向量组的几个结论：
（1） 设a1，a2线性相关，则a1，a2，a3必线性相关（反之不一定对）；
（2） 含有零向量的向量组必线性相关（反之不一定对）；
（3） 若向量个数 > 向量维数，则向量组必线性相关．
4．列向量组b1，b2，…，b t可由a1，a2，…，as线性表示．则
（1）若t > s，则b1，b2，…，b t线性相关；
（2）若b1，b2，…，b t线性无关，则t ≤ s；
重点（难点）：
１． 最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论．
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．
本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。
本授课单元思考题、讨论题、作业：P109：13、14、15、16、17
线性代数 课程教案
授课类型 理论课 授课时间 2 节

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性
　　　　　　　　　　　　　 §4． 线性方程组的解的结构

本授课单元教学目标或要求：
一、理解基础解系的概念。
二、掌握齐次线性方程组基础解系的求法。
三、掌握非齐次线性方程组解的求法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：
一、齐次线性方程组解的性质（性质１、性质２、定理7）
线性齐次方程组AX = 0（A是m ´ n矩阵）解的性质：
（1）设X1，X2是AX = 0的两个解，则k1X1+ k2X2也是AX = 0的解，其中k1，k2为两个任意数；
（2）零解X = 0总是AX = 0的解；AX = 0有非零解 Û 秩（A）< n；AX = 0只有零解 Û 秩（A）= n = A的列数；若A是n阶矩阵，则AX = 0有非零解Û | A | = 0，AX = 0只有零解 Û | A |≠0 ；