斯托克斯公式.pptx

Click to edit Master title style,斯托克斯,(,Stokes,),公式,环量与旋度,第七节,第十章,一、斯托克斯公式,二、环量与旋度,三、空间曲线积分与路径无关条件,第1页,一、,斯托克斯公式,有向曲面,正向边界曲线,：,正向,与,侧,符合,右手法则，如图.,是有向曲面,正向边界曲线,右手法则,第2页,设,是光滑或分片光滑有向曲面,假如函数,一阶连续偏导数,则,或,定理10.8,斯托克斯公式,第3页,将,斯托克斯公式分为三式,首先证实第一式.,证实思绪,:,第二类曲面积分,第一类曲面积分,二重积分,第二类曲线积分,第二类曲面积分,第4页,证,方向为上侧,与平行,z,轴直线,只交于一点,第5页,第6页,注,第7页,同理可证其余二式:,三式相加可得,第8页,(2),曲面,与平行 z 轴直线,交点多于一个,则可经过作辅助线面把,分成,与z 轴只交,在每一部分上应用斯托克,因为沿辅助曲线方向相,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,于一点几部分,然后相加,斯公式,反两个曲线积分相加刚好抵消,第9页,注,表示了有向曲面上曲面积分与其边界曲线上曲线积分之间关系.,1,斯托克斯,公式,实质:,2,斯托克斯公式,便于记忆形式:,或,cos,cos,cos,d,S,第10页,3,斯托克斯,公式,是,格林公式,推广,斯托克斯公式,格林公式,特殊情形,是,xOy,面上有向闭区域时,x,y,z,O,=L,第11页,x,y,z,O,=L,D,第12页,这正是,格林公式.,4何时采取,斯托克斯,公式,？,积分曲线,参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用,斯托克斯,公式,.,第13页,在,斯托克斯,公式,中，,是以,为边界,任意,分片光滑曲面(只要,P,，,Q,，,R,在包含,一个空间区域内含有一阶连续偏导数即可).,5 怎样选取,？,通常，取,为平面或球面等法向量,方向余弦易求曲面.,第14页,利用斯托克斯公式计算,例1,其中,为平面,x+y+z,=1,被三坐标面所截三角形,整个边界,它正方向与这个三角形上侧法向,量之间符合右手规则.,记三角形域为,取上侧,解,第15页,利用轮换对称性,第16页,利用,斯托克斯公式,计算曲线积分,例2,解,第17页,第18页,第19页,为柱面,与平面,y=z,交线,从,z,轴正向看为顺时针,计算,解,(方法1),则其法线方向余弦,例3,设,为平面,z=y,上被 所围椭圆域,且,取下侧,第20页,(方法2),将：,参数化：,第21页,第22页,二、环量与旋度,定义,向量场,称为,注,改变环行方向时,环量要变号.,1.环量,第23页,为,定义,当函数,一阶连续偏导数时,称向量,2.旋度,由,哈密尔顿算符,定义,第24页,注,3,利用旋度,可将斯托克斯公式写为,4,斯托克斯,公式物了解释:,等于,向量,1,2,第25页,设某刚体绕定轴,l,转动,M,为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,角速度为,点,M,线速度为,5,旋度力学意义,第26页,线速度场中任一点处旋度等于刚体旋转角速度2倍，,这就是“,旋度,”一词由来.,除去一个常数因子2外，恰好等于物体旋转角速度.,第27页,.,M,依据斯托克斯公式和积分中值定理,第28页,.,M,第29页,称环量对面积改变率,向量场旋度是一个向量,此向量方向是使方向,旋量取最大值方向,此方向模是该点处最大,方向旋量值.,第30页,三、空间曲线积分与路径无关条件,连续偏导数,定理10.9,设空间闭区域,G,是一个,一维单连通域,要条件是,即,G,内任一闭曲线总可张一片完全含于,G,内曲面,第31页,注,当,成立时,或用定积分表示为,第32页,第33页,例4,与路径无关,并求函数,解,令,验证曲线积分,积分与路径无关,所以选择特殊路径,第34页,第35页,例5,求电场强度,旋度.,解,(除原点外),这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.,第36页,保守场：,而,与从,A,到,B,路径无关.,第37页,内容小结,1.,斯托克斯公式,第38页,第39页,4.向量,即,第40页,本章小结,梯度:,散度:,旋度:,则,1.场论中三个主要概念,第41页,场论中三个主要定理,（1）格林公式,（2）斯托克斯公式,（3）高斯公式,第42页,本章知识结构图,第43页,第44页,备用题,例1-1,相交圆弧连接而成闭曲线.,解,在球面上，所以,从,x,轴正向,看,为逆时针方向.,第45页,取上侧,第46页,例2-1,解,法线方向余弦,第47页,第48页,由对称性,第49页,例4-1,解,第50页,第51页,