高中物理第六章万有引力与航天第四节万有引力理论的成就课堂探究学案新人教版必修2.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第四节万有引力理论的成就课堂探究探究一计算被环绕天体质量的几种方法问题导引观察下面两幅图片，请思考：(1)如果知道自己的重力，你能否求出地球的质量；(2)如何能测得太阳的质量呢？提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，根据mgGMmR2可求地球质量；(2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力提供，根据GMmr2m(2T)2r可求太阳质量。名师精讲应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于天体质量的方法。已知条件求解方法已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T，半径为r 由GMmr2m(2T)2r得M42r3GT2已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 由GMmr2mv2r得Mv2rG已知卫星运行的线速度v和运行周期T 由GMmr2m2Tv和GMmr2mv2r得Mv3T2G已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g 由mgGMmR2得MgR2G特别提醒(1)利用万有引力提供向心力的方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量。(2)若已知星球表面的重力加速度g和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有GMmR2mg，所以MgR2G。其中GMgR2是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金替换”。【例 1】一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v0，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学数为N0，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.mv2GN0B.mv4GN0C.N0v2Gm D.N0v4Gm解析：卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有GMmR2mv2R，宇航员在行星表面用弹簧测力计测得质量为m的物体的重为N0，则GMmR2N0，解得Mmv4GN0，B项正确。答案：B 题后反思求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据重力等于万有引力，即mgGMmR2，求得MgR2G；另一种方法是根据万有引力等于向心力，即GMmr2m(2T)2r，求得M4r3GT2。当然，无论哪种方法只能求中心天体的质量。探究二应用万有引力定律分析计算天体运动的问题问题导引2003 年 8 月 29 日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。这是 6 万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576 万千米，为人类研究火星提供了最佳时机。如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，请思考：(1)该时刻火星和地球谁的速度大呢？(2)在经过一年时间，火星是否又回到了原位置？提示：(1)火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动GMmR2mv2R，可得vGMR，故地球的速度大；(2)在经过一年，地球回到原来位置，火星的周期大于地球的周期，火星还没有回到原位置。名师精讲1两条思路两个重要的关系式(1)质量为m的行星绕质量为M的星体在半径为r的轨道上做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律及圆周运动知识得GMmr2manmv2rm2rm(2T)2r。(2)质量为m的物体在地球(星体)表面受到的万有引力等于其重力，即GMmR2mg。2几个重要的物理量小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由GMmr2mv2r得vGMr，r越大，天体的v越小。(2)由GMmr2m2r得 GMr3，r越大，天体的 越小。(3)由GMmr2m(2T)2r得T2r3GM，r越大，天体的T越大。(4)由GMmr2man得anGMr2，r越大，天体的an越小。利用上述结论可以对行星运动的线速度v、角速度、周期T以及向心加速度an等进行定性分析，也可以进行定量计算。【例 2】(多选)如图所示，飞船从轨道1 变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1 上，飞船在轨道2 上的()A速度大 B 向心加速度大C运动周期长 D 角速度小解析：飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即GMmR2mv2Rm2Rm(2T)2R，可判断飞船在2 轨道上速度小，向心加速度小，周期长，角速度小，正确选项为CD。答案：CD 题后反思解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供。还要记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小。探究三双星问题的分析思路问题导引宇宙中两颗靠得很近的天体构成一个“双星系统”，两颗天体以它们连线上的一点为圆心，做匀速圆周运动，两天体及圆心始终在同一条直线上。请思考：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)“双星系统”中的两颗天体做圆周运动的向心力由什么力提供？(2)两颗天体做应注意的周期有什么关系？提示：(1)两颗天体做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供；(2)因两天体及圆心始终在同一条直线上，所以两颗天体转动的周期必定相同。名师精讲1双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作是匀速圆周运动，其向心力由两颗恒星间的万有引力提供。由于力的作用是相互的，所以两颗子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。2双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。3两子星做圆周运动的动力学关系设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度为，由万有引力定律和牛顿第二定律得对M1：GM1M2L2M1v21r1M1r12对M2：GM1M2L2M2v22r2M2r22警示在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。【例3】(多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法正确的是()A它们做圆周运动的角速度之比与其质量成正比B它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C它们做圆周运动的半径之比与其质量成正比D它们做圆周运动的半径之比与其质量成反比解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A错误；由vr 得线速度与两子星做圆周运动的半径成正比，因两子星圆周运动的向心力是由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由GM1M2L2M1r12和GM1M2L2M2r22可知：M1r12M2r22，所以它们的轨道半径与其质量成反比，选项D正确、C错误；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与其质量也成反比，选项B正确。答案：BD 题后反思解决双星模型的习题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供各自所需要的向心力；其二，两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离。