高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理资料.pptx

,第一章,1.1,正弦定理和余弦定理,1.1.2,余弦定理,(,二,),1/41,1.,熟练掌握余弦定理及其变形形式,.,2.,会用余弦定了解三角形,.,3.,能利用正弦、余弦定理处理相关三角形恒等式化简、证实及形,状判断等问题,学习目标,2/41,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3/41,问题导学,4/41,知识点一已知两边及其中一边对角解三角形,思索,能在余弦定理,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,中，已知三个量,AC,b,，,AB,c,，,cos,B,，代入后得到关于,a,一元二次方程，解此方程即可,答案,5/41,梳理,已知两边及其一边对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件三角形个数为,0,1,2,，详细判断方法以下：,(1),当,A,为钝角时，则,B,必为锐角，三角形解唯一；,(2),当,A,为直角且,a,b,时，三角形解唯一；,6/41,(3),当,A,为锐角时，如图，以点,C,为圆心，以,a,为半径作圆，,三角形解个数取决于,a,与,CD,和,b,大小关系：,当,a,CD,时，无解；,当,a,CD,时，一解；,当,CD,a,b,，则有,A,B,，所以,B,为锐角，此时,B,值唯一,7/41,知识点二判断三角形形状,思索,1,三角形形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其它；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形在判断三角形形状时是不是要一个一个去判定？,不需要假如所知条件方便求角，只需判断最大角是钝角，直角，锐角；假如方便求边，假设最大边为,c,，可用,a,2,b,2,c,2,来判断,cos,C,正负而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说,答案,8/41,思索,2,ABC,中，,sin 2,A,sin 2,B,.,则,A,，,B,一定相等吗？,A,，,B,(0,，,),，,2,A,2,B,(0,2),，,2,A,2,B,或,2,A,2,B,，即,A,B,或,A,B,.,答案,9/41,梳理,判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等边,(,或角,),在转化条件时要注意等价,10/41,知识点三证实三角形中恒等式,思索,前面我们用正弦定理化简过,a,cos,B,b,cos,A,，当初是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？,答案,11/41,梳理,证实三角恒等式关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边差异,12/41,题型探究,13/41,例,1,已知在,ABC,中，,a,8,，,b,7,，,B,60,，求,c,.,类型一利用余弦定了解已知两边及一边对角三角形,由余弦定理,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,，,得,7,2,8,2,c,2,2,8,c,cos 60,，,整理得,c,2,8,c,15,0,，解得,c,3,或,c,5.,解答,14/41,引申探究,解答,例,1,条件不变，用正弦定理求,c,.,15/41,sin,C,sin,(,A,B,),sin(,A,B,),sin,A,cos,B,cos,A,sin,B,16/41,17/41,相对于用正弦定了解这类题，用余弦定理无须考虑三角形解个数，解出几个是几个,反思与感悟,18/41,跟踪训练,1,在,ABC,中，角,A,、,B,、,C,所正确边分别为,a,、,b,、,c,，若,A,，,a,，,b,1,，则,c,等于,c,2,2,c,，,c,2,或,c,1(,舍,),答案,解析,19/41,类型二利用正弦、余弦定理证实三角形中恒等式,例,2,在,ABC,中，有,(1),a,b,cos,C,c,cos,B,；,(2),b,c,cos,A,a,cos,C,；,(3),c,a,cos,B,b,cos,A,，,这三个关系式也称为射影定理，请给出证实,.,证实,20/41,方法一,(1),由正弦定理，得,b,2,R,sin,B,，,c,2,R,sin,C,，,b,cos,C,c,cos,B,2,R,sin,B,cos,C,2,R,sin,C,cos,B,2,R,(sin,B,cos,C,cos,B,sin,C,),2,R,sin(,B,C,),2,R,sin,A,a,.,即,a,b,cos,C,c,cos,B,.,同理可证,(2),b,c,cos,A,a,cos,C,；,(3),c,a,cos,B,b,cos,A,.,21/41,方法二,(1),由余弦定理，得,a,b,cos,C,c,cos,B,.,同理可证,(2),b,c,cos,A,a,cos,C,；,(3),c,a,cos,B,b,cos,A,.,22/41,反思与感悟,证实三角形中边角混合关系恒等式，能够考虑两种路径：一是把角关系经过正弦、余弦定理转化为边关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是经过正弦定理把边关系转化为角关系,.,23/41,跟踪训练,2,在,ABC,中，,a,、,b,、,c,分别是角,A,、,B,、,C,对边，求证：,.,证实,24/41,等式成立,.,25/41,等式成立,.,26/41,例,3,在,ABC,中，已知,(,a,b,c,)(,b,c,a,),3,bc,，且,sin,A,2sin,B,cos,C,，试判断,ABC,形状,.,解答,类型三利用正弦、余弦定理判断三角形形状,27/41,由,(,a,b,c,)(,b,c,a,),3,bc,，得,b,2,2,bc,c,2,a,2,3,bc,，,即,b,2,c,2,a,2,bc,，,0,A,，,又,sin,A,2sin,B,cos,C,.,由正弦、余弦定理，,b,2,c,2,，,b,c,，,ABC,为等边三角形,.,28/41,引申探究,将本例中条件,(,a,b,c,)(,b,c,a,),3,bc,改为,(,b,2,c,2,a,2,),2,b,3,c,c,3,b,a,2,bc,，其余条件不变，试判断,ABC,形状,.,解答,29/41,由,(,b,2,c,2,a,2,),2,b,3,c,c,3,b,a,2,bc,，得,(,b,2,c,2,a,2,),2,bc,(,b,2,c,2,a,2,),，,(,b,2,c,2,a,2,)(,b,2,c,2,a,2,bc,),0,，,b,2,c,2,a,2,0,或,b,2,c,2,a,2,bc,0,，,a,2,b,2,c,2,或,b,2,c,2,a,2,bc,，,由,a,2,b,2,c,2,，得,A,90,，,又,0,A,180,，,A,60,，由例,3,知，,b,c,，,ABC,为等边三角形或等腰直角三角形,.,30/41,(1),判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断,.,(2),在余弦定理中，注意整体思想利用，如：,b,2,c,2,a,2,2,bc,cos,A,，,b,2,c,2,(,b,c,),2,2,bc,等等,.,反思与感悟,31/41,跟踪训练,3,在,ABC,中，若,B,60,，,2,b,a,c,，试判断,ABC,形状,.,解答,32/41,方法一依据余弦定理，得,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,.,B,60,，,2,b,a,c,，,整理得,(,a,c,),2,0,，,a,c,.,又,2,b,a,c,，,2,b,2,c,，即,b,c,.,ABC,是等边三角形,.,33/41,方法二依据正弦定理，,2,b,a,c,可转化为,2sin,B,sin,A,sin,C,.,又,B,60,，,A,C,120,，,C,120,A,，,2sin 60,sin,A,sin(120,A,),，,A,(0,，,120),，,整理得,sin(,A,30),1,，,A,30,(30,，,150),，,A,30,90,，,A,60,，,C,60.,ABC,是等边三角形,.,34/41,当堂训练,35/41,1.,在,ABC,中，若,b,2,a,2,c,2,ac,，则,B,等于,A.60 B.45,或,135,C.120 D.30,答案,解析,1,2,3,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,a,2,c,2,ac,，,0,B,180,，,B,120.,36/41,2.,在,ABC,中，若,2cos,B,sin,A,sin,C,，则,ABC,形状一定是,A.,等腰直角三角形,B.,直角三角形,C.,等腰三角形,D.,等边三角形,1,2,3,答案,解析,2cos,B,sin,A,sin,C,，,a,b,.,故,ABC,为等腰三角形,.,37/41,1,2,3,3.,在,ABC,中，若,B,30,，,AB,2,，,AC,2,，则满足条件三角形有几个？,解答,设,BC,a,，,AC,b,，,AB,c,，,由余弦定理得,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,，,即,a,2,6,a,8,0,，解得,a,2,或,a,4.,当,a,2,时，三边长为,2,2,2,，可组成三角形；,当,a,4,时，三边长为,4,2,2,，也可组成三角形,.,满足条件三角形有两个,.,38/41,规律与方法,1.,已知两边及其中一边对角解三角形，普通情况下，利用正弦定理求出另一边所正确角，再求其它边或角，要注意进行讨论,.,假如采取余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采取余弦定理较简单,.,2.,依据所给条件确定三角形形状，主要有两种路径：,(1),化边为角；,(2),化角为边，并惯用正弦,(,余弦,),定理实施边、角转换,.,39/41,3.,在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程观点，能够知三求一,.,4.,利用余弦定理求三角形边长时轻易出现增解，原因是余弦定理中包括是边长平方，通常转化为一元二次方程求正实数,.,所以解题时需尤其注意三角形三边长度所应满足基本条件,.,40/41,本课结束,41/41,