变量可分离方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,形如,（1.2.1）,方程称为,变量可分离方程,。,1.2 变量可分离方程,这里,是连续函数.,该方程特点:,方程右端是两个独立一元函数之积.,第1页,一、变量可分离方程求解,当,方程（1.2.1）两边同除以,得,这么对上式两边积分得到,例1.2.1,求微分方程,通解。,第2页,注：求方程通解时，我们假设,若,时得y值也可能为方程解。所以要考虑,情况，,解：,变量分离后得,上式两边积分得,整理得,其中,该解,在,无定义,故通解在,中有定义.,该方程对应解我们称为,常数解,第3页,例 1.2.2,求微分方程,通解.,解:变形为,积分得:,求积分得:,解得:,第4页,记,则,因为,可得,故全部解为:,第5页,二、齐次方程,齐次函数:,函数,称为m次齐次函数,假如,齐次方程:,形如,方程称为,齐次方程,。,引入一个新变量化为变量可,分离方程,求解思想:,求解。,第6页,例1.2.3,求下面初始值问题,解：方程为一齐次方程，令,求导后得,分离变量得,实际上,令,则,故有,即,第7页,积分上式得,用,代入得,利用初始条件,可定出,代入上式解出,注:当方程右端是一些线性分式函数时，可化为,齐次方程。,第8页,对特殊方程,令,则,第9页,例:雪球融化问题,设雪球在融化时体积改变率与表面积成比,例，且融化过程中它一直为球体，该雪球在,开始时半径为6,cm，,经过2小时后，其半径缩,小为3,cm,。求雪球体积随时间改变关系。,解:,设t时刻雪球体积为,，表面积为,，由题得,球体与表面积关系为,1.2.3变量可分离方程应用,第10页,引入新常数,再利用题中条件得,分离变量积分得方程得通解为,再利用条件,确定出常数C和r代入关系式得,t取值在,之间。,第11页,