教师资格证之数学史.pptx

主讲人,曹光宇,The History of Math,数学史,(,二,),第1页,六、几何作图三大难题历史,七、集合论发展历史,八，随机思想发展历史,九、算法思想发展历史,十、近代数学史上两大巨匠,十一、近代中学数学教育改革概况,第2页,（一）几何作图三大难题,三等分角问题：将任意一个给定角三等分,立方倍积问题：求作一个正方体棱长，使这个正方体体积是已知正方体体积二倍,化圆为方问题：求作一个正方形，使它面积和已知圆面积相等,六、几何作图三大难题历史,大约在公元前世纪至世纪之间，古希腊人碰到了令他们百思不得其解三大尺规作图问题，这就是著名古代几何作图三大难题,第3页,（二）从,阿贝尔,到,伽罗瓦,解析几何出现，使人们能够经过解代数方程来解答几何问题。所以，尺规作图三大难题处理，同解代数方程挂上了钩,因为不论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能经过根式求它普通解，于是很多数学家争相研究和寻找根式求解五次方程公式。经历世纪后半叶、世纪、世纪,直到世纪初,很多数学家和数学兴趣者,都把它作为检验自己才能试金石，可是毫无例外，他们都失了年,挪威22岁数学家阿贝尔，利用置换群理论证实了普通五次以上代数方程，它们根式解法是不存在。阿贝尔首先证实了有方程不能用根式解、另首先也举例证实有方程能用根式解。于是,能用根式解或者不能用根式解方程,到底用什么来判断呢?阿贝没来得及回答,就急忙过世了。,在阿贝尔逝世后第二年，法国数学家伽罗瓦完成了这一项艰巨工作。并在阿贝尔研究基础上，深入发展了他息想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构分析。这个理论大意是：每个方对应于一个域，即含有方程全部根域，称为该方程伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根置换群称为该方程伽罗瓦群，伽罗瓦子域和伽罗瓦子群有一一对应关系；当且仅当一个方程伽罗瓦群是可解群是，该方程是根式可解。作为这个理论推论，能够得出用圆规、直尺（无刻度尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论,六、几何作图三大难题历史,第4页,（一）集合论诞生,集合论是德国著名数学家,康托尔,于19世纪末创建。他对集合所下定义是:把若干确定有区分(不论是详细或抽象)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合，其中各事物称为该集合元素,七、集合论发展历史,第5页,（二）集合论发展,到20世纪初,集合论已得到数学家们认同。他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论概念,便能够建造起整个数学大厦。但罗素悖论提出指出了集合论漏洞。,罗素,结构了一个全部不属于本身(即不包含本身作为元素)集合R。现在问R是否属于R？假如R属于BR则R满足R定义,所以R不应属于本身,即R不属于R:另首先,假如R不属于R则不满足R定义,所以R应属于本身,即R属于R。这么,不论何种情况都存在着矛盾。,这个仅包括集合与属于两个最基本概念悖论如此简单明了,以致根本留不下为集合论漏洞辩解余地,绝对严密数学陷人了自相矛盾之中,这就是数学史上第三次数学危机,危机产生后,众多数家投入到解块危机工作中去。,19,策梅洛,提出公理化集合论,后经改进形成无予盾集合论公理系统,简称ZF公理系统。原本直观集合概念被建立在严格公理基础之上,从而防止了论出现。这就是集合论发展第二个阶段:公理化集合论。,与此相对应,由康托尔创建集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论严格处理。,七、集合论发展历史,第6页,八，随机思想发展历史,（一）概率论,概率论起源与赌博问题相关。16世纪,意大利学者吉罗拉莫,卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中一些简单问题。,17世纪中叶,有些人对博弈中一些问题发生争论,其中一个问题是“赌金分配问题”,他们决定请教法国数学家帕斯卡和费马,并最终处理了这个问题,这个问题处理直接推进了概率论产生。,第7页,论文结论,瑞士数学家,伯努利,使概率论成为数学一个分支,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,说明了事件频率稳定于它概率。随即棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作基础上写出了分析概率理论,明确给出了概率古典定义,并在概率论中引入了更有力分析工具,将概率论推向一个新发展阶段。19世纪末,俄国数学家切比雪夫、马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理普通形式,科学地解释了为何实际中碰到许多随机变量近似服从正态分布。,怎样把概率论建立在严格逻辑基础上,是概率理论发展困难所在,对这一问题探索一直连续了3个世纪。20世纪初完成勒贝格测度与积分理论及随即发展抽象测度与积分理论,为概率公理体系建立奠定了基础,在这种背景下,苏联数学家,柯尔莫哥洛夫,在他概率论基础一书中第一次给出了概率测度论定义和一套严密公理体系,他公理化方法成为当代概率论基础,使概率论成为严谨数学分支,对概率论快速发展起了主动作用。,第8页,论文结论,(二)近代统计学,近代统计学指是18世纪末到19世纪末描述统计学，其发展过程与概率论广泛研究和应用亲密相关，当前在统计分析中经常使用一些基本方法和术语都处于这一个时期、比如最小平方法、正态分布曲线、误差计算等。在近代统计发展一百年中、也形成了许多学派、其中以数理统计学派和社会统计学派最为著名。数理统计学派原创始人是比利时,凯特靳,其最大贡献就是将法国古典概率引入统计学,用纯数学方法对社会现象进行研究;社会统计学派首倡者是德国,克尼斯,他认为统计研究对象是社会现象,研究方法为大量观察法,在近代统计学发展过程中,这两学派矛盾是比较大。,第9页,论文结论,九、算法思想发展历史,(一)算法思想历史,在“算法”这个词被提出之前,人们早就知道了相关算法实例,如现在被称作欧几里得算法找两个数最大条约数步骤。尤其是,中国古代数学源于生活,贴近实际,实用性强,形成了以算为主,使用算器一套算法体系。即使在中国古代数学典籍中并未明确提出“算法”一词,但实际上已经孕育了结构算法基本思想即程序思想。,刘徽,九章算术注开创了中国传统数学结构性和机械化算法模式,之后这种机械化思想一直贯通于中国古代数学中。如“贾宪三角”“增乘开方法”“正负开方术”“大衍求一术”“天元术”和“四元术”(高次方程组解法)等都是中国古代数学中算法,其算法思想对我们处理数学问题有极大启发作用。,第10页,(二)计算机算法,计算机算法是以一步接一步方式来详细描述计算机怎样将输入转化为所要求输出过程。或者说,算法是对计算机上执行计算过程详细描述。,一个算法必须具备以下性质:,第一,算法首先必须是正确,即对于任意一组输入,包含合理输入与不合理输入,总能得到预期输出,假如一个算法只是对合理输入才能得到预期输出,而在异常情况下却无法预料输出结果,那么它就不是正确。,第二,算法必须是由一系列详细步骤组成,而且每一步都能够被计算机所了解和执行,而不是抽象和含糊概念。,第三,每个步骤都有确定执行次序,即上一步在哪里,下一步是什么,都必须明确,无二义性。,第四,不论算法有多么复杂,都必须在有限步之后结束并终止运行,即算法步骤必须是有限,在任何情况下,算法都不能陷入无限循环中。,九、算法思想发展历史,第11页,论文结论,十、近代数学史上两大巨匠,（一）,欧拉,欧拉，瑞士数学家和物理学家。他与高斯被一些数学史学者称为历史上最伟大两位数学家。欧拉是把微积分应用于物理学先驱者之一。欧拉大力引进和推广数学符号，他是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数表示式人,他还推广使用三角函数当代符号、用e表示自然对数底,用字母i来表示虚数单位、另外还发觉了著名欧拉公式,欧拉在1736年处理了柯尼斯堡七桥问题、对一笔画问题进行了阐述、是最早利用图论和拓扑学典范，欧拉还发觉了单连通多面体顶点、边和面数量关系:F-E+V=2。其中，F为给定多面体面数之和、E为边数之和、V为顶点数之和。,欧拉是世界上最出色科学家之一,他科学论著有70多卷。欧拉努力使纯数学和应用数学领域都得到了充实,他数学物理结果有着无限辽阔应用领域。,第12页,论文结论,(二),高斯,高斯,德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称,高斯数学研究几乎遍布全部领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学研究,创造了最小二乘法原理,高斯算术研究莫定了近代数论基础,它不但是数论方面划时代之作,也是数学史上不可多得经典著作之一。高斯对代数学主要贡献是证实了代数基本定理,他存在性证实开创了数学研究新路径。高斯在18左右就得出非欧几何原理。他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念,发觉了著名柯西积分定理,他还发觉椭圆函数双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来。高斯撰写关于曲面普通研究,全方面系统地闸述了空间曲面微分几何学,并提出内蕴曲面理论。,十、近代数学史上两大巨匠,第13页,(一),贝利,一,克莱因,运动,19,英国数学家贝利发表了论数学教学著名演讲,提出了“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”思想,以及改革数学教育鲜明主张,其中多数是针对几何课程。与此同时,著名数学家克莱因也在各种场所发表自己对数学教育看法,并提出了所谓“米兰纲领”,这些观点对当初数学界以强烈抨击，作为对贝利和克莱因响应,法国波利尔和美国穆尔也纷纷提出了数学教育改革主张,于是就形成了以后被称为贝利一克莱因运动20世纪第一个数学教育当代化运动。,十一、近代中学数学教育改革概,第14页,(二)新数学运动,1950年代早期,新数学运动就已经作为美国战后数学教育计划之一悄悄地开始了,其最初想法主要基于下面两个方面变革:首先是数学本身变革。二战以后,数学抽象化、公理化、结构化程度越来越高,并使得古典几何被排除在当代数学之外,在这种情况下,许多数学家都尽力主张彻底改革中学数学课程,用当代数学思想方法和语言来重建传统初等数学,并引进新当代数学内容。其次是课程观念上转变。传统数学课程存在着显著不足:一是过分强调运算技巧,学习数学退化成为死记公式、模仿例题工作,缺乏必要数学了解;二是忽略数学逻辑结论和系统性,人为把数学分割成些互不相通部分。正是在这种课程思想指导下,人们开始考虑制订新数学课程。继美国、欧洲推进数学教育当代化后,非洲、拉丁美洲、东南亚地域都相继成立了地域性机构,召开会议推进“新数学运动”，于是“新数学运动“涉及全球,于1960年形成高潮。,十一、近代中学数学教育改革概,第15页,（三）回到基础运动,与“新数学运动”轰轰烈烈成鲜明对比是，“回到基础”几乎是悄无声息进行，既没有响亮口号，也没有统一纲领,其出发点是希望重新引发对基本技能重视、但令人遗憾是,回到基础不没有提升教学水平，反而使数学教学回落到历史最低谷。,十一、近代中学数学教育改革概,(四)多样化改革发展,（1）大众数学;,（2）问题处理,（3）服务性学科。,第16页,总结,伽罗瓦,罗素,康托尔,集合论创始人,悖论,策梅洛,1980年提出公理化集合论,阿贝尔,伯努利,一个分支,两个,定理,即伯努利大数定律,中心极限定理,第17页,总结,高斯,欧拉,贝利一克莱因运动,刘徽,九章算术注,克尼斯,社会,统计学派,凯特靳,数理统计学派,柯尔莫哥洛夫,概率论基础,第18页,本世纪初，法国著名科学家普恩凯莱曾说过：“假如我们想要预见数学未来，适当路径是研究这门科学历史和现实状况”而了解数学历史，不但对有志于数学研究研究人员来说是十分主要，就是对高、中、初级各类学校中数学教育工作者以及更为广大数学兴趣者讲来，其主要意义都是极为显而易见,第19页,