高三数学复习第九章平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题理.pptx

,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,教材研读,考点突破,栏目索引,教材研读,考点突破,栏目索引,*,*,理数,课标版,第十节圆锥曲线综合问题,1/21,考点一定点、定值问题,典例1,(北京,19,14分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,A,(,a,0),B,(0,b,),O,(0,0),OAB,面积为1.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)设,P,是椭圆,C,上一点,直线,PA,与,y,轴交于点,M,直线,PB,与,x,轴交于点,N,.求,证:|,AN,|,BM,|为定值.,考点突破,2/21,解析,(1)由题意得,解得,a,=2,b,=1.,所以椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,(2)证实:由(1)知,A,(2,0),B,(0,1).,设,P,(,x,0,y,0,),则,+4,=4.,当,x,0,0时,直线,PA,方程为,y,=,(,x,-2).,令,x,=0,得,y,M,=-,从而|,BM,|=|1-,y,M,|=,.,3/21,直线,PB,方程为,y,=,x,+1.,令,y,=0,得,x,N,=-,从而|,AN,|=|2-,x,N,|=,.,所以|,AN,|,BM,|=,=,=,=4.,当,x,0,=0时,y,0,=-1,|,BM,|=2,|,AN,|=2,所以|,AN,|,BM,|=4.,综上,|,AN,|,BM,|为定值,.,4/21,方法技巧,1.定点问题常看法法,(1)依据题意选择参数,建立一个含参数直线系或曲线系方程,经过分,析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关坐标,(该坐标对应点即为所求定点).,(2)从特殊位置入手,找出定点,再证实该点符合题意.,2.求定值问题常见方法,(1)从特殊情况入手,求出定值,再证实这个值与变量无关;,(2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值,.,5/21,1-1,已知椭圆,C,:,+,y,2,=1(,a,1)上顶点为,A,右焦点为,F,直线,AF,与圆,M,:,(,x,-3),2,+(,y,-1),2,=3相切.,(1)求椭圆,C,标准方程;,(2)若不过点,A,动直线,l,与椭圆,C,交于,P,Q,两点,且,=0,求证:直线,l,过定点,并求出该定点坐标.,解析,(1)圆,M,圆心为(3,1),半径,r,=,.,由题意知,A,(0,1),F,(,c,0),则直线,AF,方程为,+,y,=1,即,x,+,cy,-,c,=0,由直线,AF,与圆,M,相切,得,=,解得,c,2,=2,所以,a,2,=,c,2,+1=3,6/21,故椭圆,C,标准方程为,+,y,2,=1.,(2)解法一:由,=0,知,AP,AQ,从而直线,AP,与坐标轴不垂直,由,A,(0,1)可设直线,AP,方程为,y,=,kx,+1(,k,0),则直线,AQ,方程为,y,=-,x,+1(,k,0).,将,y,=,kx,+1代入椭圆,C,方程,+,y,2,=1中,整理,得(1+3,k,2,),x,2,+6,kx,=0,解得,x,=0或,x,=-,P,即,P,7/21,将上面,P,坐标中,k,换成-,得,Q,.,直线,l,方程为,y,=,+,化简得直线,l,方程为,y,=,x,-,所以直线,l,过定点,.,解法二:由,=0知,AP,AQ,从而直线,PQ,与,x,轴不垂直,故可设直线,l,方程为,y,=,kx,+,t,(,t,1),将其与椭圆方程联立得,8/21,消去,y,整理得(1+3,k,2,),x,2,+6,ktx,+3(,t,2,-1)=0.,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),则,(*),由,=0,得,=(,x,1,y,1,-1)(,x,2,y,2,-1)=(1+,k,2,),x,1,x,2,+,k,(,t,-1)(,x,1,+,x,2,)+(,t,-1),2,=0,将(*)代入,得,t,=-,.,直线,l,过定点,.,9/21,考点二最值与范围问题,典例2,(课标全国,20,12分)已知椭圆,E,:,+,=1焦点在,x,轴上,A,是,E,左顶点,斜率为,k,(,k,0)直线交,E,于,A,M,两点,点,N,在,E,上,MA,NA,.,(1)当,t,=4,|,AM,|=|,AN,|时,求,AMN,面积;,(2)当2|,AM,|=|,AN,|时,求,k,取值范围.,解析,(1)设,M,(,x,1,y,1,),则由题意知,y,1,0.,当,t,=4时,E,方程为,+,=1,A,(-2,0).,(1分),由已知及椭圆对称性知,直线,AM,倾斜角为,.,所以直线,AM,方程为,y,=,x,+2.,(2分),10/21,将,x,=,y,-2代入,+,=1得7,y,2,-12,y,=0.,解得,y,=0或,y,=,所以,y,1,=,.,(4分),所以,AMN,面积,S,AMN,=2,=,.,(5分),(2)由题意,t,3,k,0,A,(-,0).将直线,AM,方程,y,=,k,(,x,+,)代入,+,=1得,(3+,tk,2,),x,2,+2,tk,2,x,+,t,2,k,2,-3,t,=0.,(7分),由,x,1,(-,)=,得,x,1,=,故|,AM,|=|,x,1,+,|,=,.,(8分),由题设,直线,AN,方程为,y,=-,(,x,+,),同理可得|,AN,|=,.,(9分),11/21,由2|,AM,|=|,AN,|得,=,即(,k,3,-2),t,=3,k,(2,k,-1).,当,k,=,时上式不成立,所以,t,=,.,(10分),t,3等价于,=,0,即,0.,(11分),由此得,或,解得,k,2.,所以,k,取值范围是(,2).,(12分),12/21,方法技巧,圆锥曲线中最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有,两种方法:一是几何法,即经过利用曲线定义、几何性质以及平面几,何中定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)几何,量或代数表示式表示为某个(些)变量函数,然后利用函数方法、不等,式方法等进行求解.,2-1,(北京文,19,14分)已知椭圆,C,:,x,2,+2,y,2,=4.,(1)求椭圆,C,离心率;,(2)设,O,为原点.若点,A,在直线,y,=2上,点,B,在椭圆,C,上,且,OA,OB,求线段,AB,长度最小值.,13/21,解析,(1)由题意,知椭圆,C,标准方程为,+,=1.,所以,a,2,=4,b,2,=2,从而,c,2,=,a,2,-,b,2,=2.所以,a,=2,c,=,.,故椭圆,C,离心率,e,=,=,.,(2)设点,A,B,坐标分别为(,t,2),(,x,0,y,0,),其中,x,0,0.,因为,OA,OB,所以,=0,即,tx,0,+2,y,0,=0,解得,t,=-,.,又,+2,=4,所以|,AB,|,2,=(,x,0,-,t,),2,+(,y,0,-2),2,=,+(,y,0,-2),2,=,+,+,+4,14/21,=,+,+,+4,=,+,+4(0,4).,因为,+,4(0,b,0)离心率为,点,P,(0,1)和点,A,(,m,n,)(,m,0)都在椭圆,C,上,直线,PA,交,x,轴于点,M,.,(1)求椭圆,C,方程,并求点,M,坐标(用,m,n,表示);,(2)设,O,为原点,点,B,与点,A,关于,x,轴对称,直线,PB,交,x,轴于点,N,.问:,y,轴上是,否存在点,Q,使得,OQM,=,ONQ,?若存在,求点,Q,坐标;若不存在,说明,理由.,解析,(1)由题意得,解得,a,2,=2.,故椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,16/21,设,M,(,x,M,0).,因为,m,0,所以-1,n,0,解,得,k,.,即,k,取值范围为,.,20/21,(2)不存在.,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),则,+,=(,x,1,+,x,2,y,1,+,y,2,),由方程知,x,1,+,x,2,=-,.,由(1)知,y,1,+,y,2,=,k,(,x,1,+,x,2,)+2,=-,+2,=,.,由题意知,A,(,0),B,(0,1),所以,=(-,1),所以,+,与,共线等价于,x,1,+,x,2,=-,(,y,1,+,y,2,),将代入上式,解得,k,=,.,由(1)知,k,故不存在符合题意常数,k,使得,+,与,共线.,21/21,