D10-3三重积分-柱坐标与极坐标.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,利用柱坐标计算三重积分步骤,考虑是否用柱坐标计算,化为柱坐标系下,三重积分,积分次序：,定限方法：,化为累次积分,计算累次积分,注意,对一个变量积分时，将其余变量视为常数,投影,为圆或圆一部分,f,(,x,y,z,)中含有,或,三变、一勿忘,积分区域,柱坐标表示,被积函数,体积元素,一个勿忘,普通先,z,后,再,投影、发射,第1页,利用球坐标计算三重积分步骤,考虑是否用球坐标计算,化为球坐标系下,三重积分,积分次序：,定限方法：,化为累次积分,计算累次积分,注意,对一个变量积分时，将其余变量视为常数,球,或球一部分,f,(,x,y,z,)中含有,三变、一勿忘,积分区域,球坐标表示,被积函数,体积元素,一个勿忘,普通先,r,后,再,观察、想象,第2页,三重积分定义和计算,在直角坐标系下体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,小结,方法1.“先一后二”,方法2.“先二后一”,第3页,2.确定上下曲面函数，得,z,积分限;,1.把,往,xoy,平面上投影,得积分区域,D,;,3.先求关于,z,定积分,得,x,y,二元函数;,4.再求关于,x,y,二重积分.,先一后二”积分法基本步骤:,对,z,a,b,用过点(0,0,z),且平行,xOy,平面平面去截，得截面,D,z,;,1.把,向,z,轴投影,得,z,积分限,a,b,;,3.先求关于,x,y,二重积分,得,“先二后一”积分法基本步骤:,4.最终计算单积分,第4页,第三节,一、,三重积分概念,二、三重积分计算,三重积分,第十章,第5页,回想用投影法（,先一后二,）计算三重积分,假如积分区域,在坐标面上投影区域,D,是圆域,则二重积分应该考虑用极坐标计算.,这就等于用,柱面坐标,计算三重积分.,2.利用柱坐标计算三重积分,第6页,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,柱坐标.,直角坐标与柱面坐标关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,第7页,在柱面坐标系中体积元素为,所以,元素区域由六个坐标面围成,第8页,如图所表示,在柱面坐标系中体积元素为,所以,其中,适用范围:,1),积分域,表面用柱面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用柱面坐标表示时,变量相互分离,.,第9页,常见曲面柱面坐标方程,曲面,直角坐标方程,柱面坐标方程,半球面,圆锥面,旋转抛物面,圆柱面,圆柱面,圆柱面,第10页,常见曲面柱面坐标方程,第11页,2、,利用公式,用柱面坐标计算三重积分普通步骤：,1、将区域,往,xoy,面上投影，确定平面区域,D,3、,过,D,内任一点,（,x,，,y,）,做平行于,z,轴直线,，,穿区域,确定,z,上下限,；,4、,在,D,上分别确定,r、,上下限（类同于平面极坐标）,次序为,：,z,r,将,边界曲面,、,被积函数,f（x，y，z）,、,体积元素,、,三重积分化为柱面坐标系下形式,；,柱面坐标惯用于：,圆柱体和圆锥体上三重积分。,第12页,例1.,计算三重积分,所围成.,与平面,其中,由抛物面,在柱面坐标系下,原式=,解:,在,xOy,面上,投影区域,D,:,上边界曲面为,z,=,4,下边界曲面为,z,.,第13页,例2.,计算,解：,故在,xOy,平面,得交线,上投影区域为,所围成.,与平面,其中,由圆锥面,上边界曲面为,z,=,4,下边界曲面为,z,.,第14页,解:,例3.,计算三重积分,所围成.,与抛物面,其中,由球面,知交线为,由,原式=,上边界:,下边界:,第15页,其中,为,例4.,计算三重积分,所,解:,在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,第16页,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点,M,球坐标.,直角坐标与球面坐标关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,第17页,半平面,及,+,d,；,半径为,r,及,r+,d,r,球面；,圆锥面,及,+,d,r,d,r,d,r,sin,x,z,y,0,圆锥面,r,d,球面,r,圆锥面,+,d,球面,r+,d,r,元素区域由六个坐标面围成,：,d,rsin,d,球面坐标下体积元素,第18页,元素区域由六个坐标面围成：,球面坐标下体积元素,半平面,及,+,d,；,半径为,r,及,r+,d,r,球面；,圆锥面,及,+,d,r,d,r,d,x,z,y,0,d,r,d,rsin,d,.,d,v,第19页,如图所表示,在球面坐标系中体积元素为,所以有,其中,第20页,球面坐标,直角坐标,球体,下面介绍一些区域球面坐标描述,第21页,球面坐标,直角坐标,球体,第22页,球面坐标,直角坐标,球顶锥体,第23页,常见曲面在球坐标下方程,第24页,次序为:,r,2.,将区域,往,xoy,面上投影,，,确定平面区域,D,，,4.过原点做射线，穿区域,确定,r,上下限.,1.关系式,3.对任一,，,过,z,轴做半平面，找出,角改变最,用球面坐标计算三重积分普通步骤：,将,边界曲面、被积函数,f,（,x，y，z,）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；,由,D,找出,上下限,；,大,与,截面，确定,上下限,注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选取球面坐标计算较简便。,第25页,例5.,计算三重积分,解:,在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,第26页,例,6.,求半径为,a,球面与半顶角为,内接锥面所围成立体体积.,解:,在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,第27页,求半径为,a,球面与半顶角为,内接锥面所围,成,于是所求立体体积为,此球面方程为,x,2,y,2,(,z,a,),2,a,2,即,x,2,y,2,z,2,2,az,例6.,立体体积,由圆锥面和球面围成,解:,采取球面坐标，,锥面方程为,在球面坐标下球面方程为,r,2,a,cos,第28页,例7.,计算三重积分,解:,在球面坐标系下,所围立体.,其中,面,是由两个球,第29页,第30页,解:,例7.,计算三重积分,所围立体.,其中,面,是由两个球,原式,第31页,z,O,x,y,a,.,M,.,r,解:,在球面坐标系下,10(2).,计算,其中,由不等式,所确定.,第32页,.,.,解:,在球面坐标系下,10(2).,计算,其中,由不等式,所确定.,第33页,所围成闭区域.,11(2).,计算,其中,是由球面,解:,在球面坐标系下,第34页,所围成闭区域.,10(1).,计算,其中,是由球面,解:,在球面坐标系下,第35页,所围成在第一卦限内闭区域.,11(1).,计算,其中,为柱面,解:,在柱面坐标系下,及平面,第36页,11(2).,求曲面,所围立体体积.,解:,由曲面方程可知,立体位于,xOy,面上部,利用对称性,所求立体体积为,yOz,面对称,并与,xOy,面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于,xOz,第37页,3.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提醒:,利用对称性,用球坐标,第38页,内容小结,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简练,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,*说明,:,三重积分也有类似二重积分,换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,第39页,作业,P164,9，10，11（1，2）。,第四节,第40页,例7.,求曲面,所围立体体积.,解:,由曲面方程可知,立体位于,xOy,面上部,利用对称性,所求立体体积为,yOz,面对称,并与,xOy,面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于,xOz,第41页,3.,计算,其中,解:,利用对称性,第42页,1.,将,用三次积分表示,其中,由,所,提醒:,思索与练习,六个平面,围成,第43页,44,例8,解1,解2,第44页,例9,解,第45页,例10,解,第46页,备用题,1.,计算,所围成.,其中,由,分析,：,若用“先二后一”,则有,计算较繁!,采取“三次积分”很好.,第47页,所围,故可,思索:,若被积函数为,f,(,y,)时,怎样计算简便?,表为,解:,第48页,如图所表示,在球面坐标系中体积元素为,所以有,其中,适用范围:,1),积分域,表面用球面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用球面坐标表示时,变量相互分离,.,第49页,例5.,计算三重积分,解:,在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中,由抛物面,原式=,第50页,