高等数学-第六章定积分的应用习题.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 定积分应用习题课,第1页,一、定积分应用类型,1几何应用,平面图形面积,特殊立体体积,平面曲线弧长,旋转体体积,平行截面面积为已知立体体积,2物理应用,变力作功,水压力,引力,第2页,二、结构微元基本思想及解题步骤,1.结构微元基本思想,不论是几何应用还是物理应用通常采取元素法。,元素法实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、,“以均匀改变代不均匀改变”方法，其“代替”标准必须,是无穷小量之间代替。将局部,上所对,应这些微元无限积累，经过取极限，把所求量表示成,定积分,第3页,2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：,选取适当坐标系；,三、经典例题,1.几何应用,定积分几何应用包含求平面图形面积、特殊立体,体积和平面曲线弧长。处理这些问题关键是确定面积元,素、体积元素和弧长元素。,在,上求出微元解析式,把所求量表示成定积分,确定积分变量和改变范围 ；,第4页,【例1】求由 所围成图形面积。,分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成几何图形,如图所表示。假如取 为积分变量,则,设区间 所对应曲边梯形面积为 则面积元,素,就是在,上以“以直代曲”所形成矩形面积。,解,：(,1)确定积分变量和积分区间：,交点为 和 ,取 为积分变量,则,因为曲线,和,第5页,（2）求微元：任取,假如将图形上方直线纵坐标识为 ,将图形下方抛物线纵坐标识为 ,那么，就是区间 所对应矩形面积。所以,（3）求定积分：所求几何图形面积表示为,计算上面积分得：,第6页,分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成面积如图,【例2】*求位于曲线 下方，该曲线过原点切线,左方以及 轴上方之间图形面积。,所表示。假如取 为积分变量，则 设区间,所对应曲边梯形,就是在 上“以直代曲”,所形成矩形面积。,面积为,则面积元素,第7页,考虑到当 和,时,上所对应曲边梯形不一样，所以，相对应矩形面积表示式也,不一样，所以微元,应该分别去求.,解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点 坐标为,则过原点且与 相切切线方程为：,由 得 坐标为 .,故得到切线方程为 .,所以选取 为积分变量,.,（2）求微元：任取,则当,时,那么面积元素,就是,区间 所对应矩形面积，,第8页,（3）求定积分：所求几何图形面积可表示为：,解上面积分得：,即,当 时,那么面积元素,就是区间,所当对应矩形面积，,即,第9页,【例3】求由摆线 ,一拱,与 轴所围成图形面积.,分析：曲线方程为参数方程，围成图形如图所表示，,设区间 所对应曲边梯形面积为,则面积元素 就是在 上“以直代曲”,所形成矩形面积。,假如取,为积分变量,则 .,第10页,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：选取,为积分变量，,(2)求微元：,那么面积元素 就是区间,所对应,矩形面积，即 .,(3)求定积分：所求几何图形面积可表示为：,第11页,【例4】求曲线 围成图形面积.,分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成面积如图所表示。,所对应曲边扇形面积为,所求图形面积,则面积元素 就是用区间,所对应扇形面积代替曲边扇形面积,面积,因为曲线关于 轴对称，所以只须考虑第一象限中情况.,取,为积分变量,则 设区间,第12页,解：(1)确定积分变量和积分区间:取 为积分变量，,(2)求微元：任取,则面积,元素 就是区间,所对应扇形面积,(3)求定积分：第一象限图形面积表示为,则所求几何面积为,第13页,【例5】设由曲线,，,及 围成,平面图形,绕 轴,轴旋转而成旋转体体积。,分析：此题为求解旋转体体积问题，绕,轴旋转时，,取 为积分变量;绕 轴旋转时,取 为积分变量。,设区间,对,或对,或 所对应曲边梯形为,是以直代曲,所形成矩形为 则绕,轴、轴旋转而成旋,转体体积微元 就是矩形 分别绕,轴、轴,旋转而成体积.,第14页,解,:(,一)求 绕轴旋转而成旋转体体积,（1）确定积分变量和积分区间：绕,轴旋转如图,旋转体体积元素 是 对应矩形绕 轴所得,旋转体体积，即,（2）求微元：对,取 为积分变量,则,第15页,（3）求定积分：绕 轴旋转而成旋转体体积表示为,计算积分得：,（1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,取 为积分变量,则,(二)求绕,轴旋转而成旋转体体积,第16页,（2）求微元：对,旋转体体积元素,是 对应矩形绕,轴所得旋转体体积,即,（3）求定积分：绕 轴所得旋转体体积表示为,第17页,计算积分得:,经过例5，一样可求出绕平行于 轴和平行于,轴直线,旋转而成旋转体体积，见例6。,第18页,对 设区间,所对应曲边梯形为,旋转而成旋转体体积。,【例6】设由曲线,及 围成,平面图形 试求平面图形,绕直线 旋转而成,旋转体体积。,旋转体体积微元 就是矩形 分别绕直线,分析：此题为求解旋转体体积问题，因为直线,以直代曲所形成矩形为,则绕直线 旋转而成,平行于 轴,所以绕直线,旋转时,取 积分变量。,第19页,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：,(2)求微元：对,轴所得旋转体体积，即,取,为积分变量,则,绕直线 旋转如图，,旋转体体积元素 是 对应矩形绕,第20页,计算积分得：,(3)求定积分：绕 轴旋转而成旋转体体积表示为,第21页,【,例7】计算底面是半径为2 圆，而垂直于底面上一条固定,直径全部截面都是等边三角形立体体积。,分析：此题为平行截面面积为已知立体体积。若选择,积分变量为,假如能求出平面,所截立体截面面积 那么，,所对应体积元素为 .,建立如图所表示坐标系，,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：,则底圆方程为,取 为积分变量,所以,第22页,（2）求微元：因为过点 截面为等边三角形（如图），,其边长为 高为,所以截面积为,所以,对 所对应体积元素为,（3）求定积分：所求立体体积为,第23页,【例8】计算半立方抛物线了 被抛物线,截得一段弧长度。,分析：所给定曲线弧如图所表示。,对 把区间 上,所对应曲线段长 用切线段长,代替，则得到弧长微元,解析式.,取积分变量为 则,取 为积分变量,则,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：计算两曲线交点,横坐标得,第24页,(2)求微元：,区间,所对应曲线段长 用切线段长,来代替,得弧长元素,因为,从而,(3)求定积分：所求曲线弧长可表示成定积分计算得,第25页,【例9】求星形线 全长,.,分析：曲线为参数方程，因为星形线关于,轴都对称,所以只须考虑第一象限中情况。取参数,为积分变量，,对 把区间,上所对应曲线,段长 用切线段长,代替,则得到曲线弧长微元,解析式。,解,:(,1)确定积分变量和积分区间:,取参数 为积分变量,第26页,(2)求微元：把区间,上所对应曲线弧长,用切线段长,代替,得弧长元微元,(3)求定积分：所求曲线弧长可表示成定积分计算得,则所求曲线弧长为,第27页,注：若曲线用极坐标形式表出，也可转化为直角坐标,来做，但积分时要注意积分上下限确实定。,以上例1-9给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体积，截面面积为已知立体体积和曲线弧长方面应用。下面例10给出了定积分综合应用。,【例10】*设曲线 与 交于点,过坐标原点,和点 直线与曲线 围成一平面图形，,问 为何值时,该图形绕 轴旋转一周所得到旋转体,体积最大？最大致积是多少？,第28页,分析：此题为定积分应用最值问题，首先应先求出交点,方程与曲线 围成一平面图形绕 轴旋转一周,所得到旋转体体积可看成直线 绕 轴旋转一周,所得旋转体体积减去曲线,绕 轴旋转一周所得,旋转体体积,见图,最终求驻点，即可得 .,解：求交点：,坐标，确定 范围,然后求出直线 方程,直线,解得,第29页,直线 方程为,直线,与曲线 围成一平面图形绕,轴旋转一周,所得到旋转体体积为,第30页,令 得 为唯一驻点.,所以，当 时旋转体体积最大,2.物理应用,定积分物理应用包含作功、水压力和引力等问题。本节,仅给出作功、水压力和引力问题例子。,重点强调应用元素法怎样确定功元素、水压力元素和引力元素。,尤其指出是，在应用定积分处理物理应用方面问题时，选,取适当坐标系，有利于积分式简化，从而实现计算简单。,第31页,【例11】将半径为 半球形水池内注满水,若将满池水,全部抽出，需作多少功？,分析：吸水作功是水重力在作功问题，此问题可了解成,将水一层一层吸出。取坐标原点在水平面，,轴铅直向下,假如设,所对应薄层体积为,那么在 上以直代曲，便得体积元素,从而得到重力作功功元素,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：,建立如图所表示坐标系.,第32页,则半圆方程为,取 为积分变量,则,(2)求微元:对 把区间,所对应薄层体积用圆柱体体积代替,得到,因为将这一薄层水吸出是这一薄层水重力在作功，设水,比重为 所以功元素为,(3)求定积分：将满池水全部抽出所作功为,第33页,【例12】一底为8厘米，高为6厘米等腰三角形片，铅直沉,入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘,米，求每面所受压力。,分析：因为水压力等于受力面积乘以压强。假如取如图所,示坐标系，,压力可了解水深 处压强乘上受力面积.,矩形面积 代替,所以水压力元素为,对应受力面积,可用对应,那么,在 窄条所受水,第34页,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：建立如图所表示,坐标系，则直线,方程为 取 为积分,变量，则,(2)求微元：,且 窄条,上所受压强为 窄条,面积 用对应矩形面积 近似代替,得到,所以水压力元素为,(3)求定积分：每面所受压力为,第35页,【例13】*有二分之一径为 得均匀半圆弧，质量为 求它对,位于圆心处单位质量质点引力。,分析：圆弧对质点引力可采取元素法，将,对应弧长看成一个质点，由物理学中两点引力公式，得引力元素,解,:(,1)确定积分变量和积分区间：,建立如图坐标系.,(2)求微元：对 且,设线密度为,取 为积分变量，则,第36页,将 对应弧长质量看成一个质点，则,对应弧长质量为,所以它对单位质点引力元素为,由对称性知 所以有,第37页,(3)求定积分：把对位于圆心处单位质量质点引力,表示成定积分计算得,故圆弧对质点引力为 方向从圆心指向半圆弧中点，即,轴方向.,第38页,